高等數(shù)學(xué) 函數(shù)的單調(diào)性與極值.課件

第三章第三講函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)大于零f

(x)>0

，函數(shù)f(x)單調(diào)增加導(dǎo)數(shù)小于零f

(x)<0

，函數(shù)f(x)單調(diào)減少。f

(x)>0f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)<0xyOx0f

(x)=0【復(fù)習(xí)與思考】高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.練習(xí)４.列表分析

解高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.

列表可使問題明朗化高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.二、導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【復(fù)習(xí)與思考】高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.

３。求函數(shù)的最大最小值問題。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問題。高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)稱f(x2)為極大值極小值f(x１)

稱為極值點(diǎn)【函數(shù)極值】一、函數(shù)極值的定義高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值定義請(qǐng)同學(xué)們自己看書.函數(shù)極值怎么定義？有誰(shuí)來說一說.高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，(1)如果在x=x0處的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，即f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)

y=f(x)的一個(gè)極大值。記作:y極大值=f(x0)【函數(shù)極值的定義】(2)如果在x=x0處的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，即f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)

y=f(x)的一個(gè)極小值。記作:y極小值=f(x0)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，x0叫做函數(shù)的極值點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.yOxabx1x2x3x4

觀察上述圖象，試指出該函數(shù)的極值點(diǎn)與極值，并說出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.(1)函數(shù)的極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn);(2)極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值;(3)函數(shù)的極大(小)值可能不止一個(gè),而且函數(shù)的極大值未必大于極小值;【關(guān)于極值概念的幾點(diǎn)說明】(4)極值是一個(gè)局部概念,反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況。高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.【問題探究】問題:函數(shù)y=f(x)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為多少?yOxabx1x2x3x4高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)問題:f

(x)全部零點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？【問題探究】問題:函數(shù)y=f(x)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為多少?高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.觀察與思考：如何找極值點(diǎn)？找單調(diào)上升，下降分界點(diǎn)f

(x)全部零點(diǎn)(駐點(diǎn))或不可導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).判斷

極值可疑點(diǎn)高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.三.求函數(shù)y=f(x)極值的一般步驟是：(3)找出所給函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(4)順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格,考察上述點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)；(5)求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得到極值.請(qǐng)同學(xué)總結(jié)求極值的步驟（1）確定函數(shù)的定義域高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.４.極大值極小值解

5.極值

四、例題講解例1高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.xf

(x)f(x)

例２

確定函數(shù)f(x)

2x3

9x2

12x

3的極值

解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?

)

(2)f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

(3)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x1

1、x2

2

(4)列表分析

(5)函數(shù)f(x)(

1)(1

2)(2

)↗↘↗＋－＋y

2x3

9x2

12x

3１12

００極大值極小值高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.練習(xí)：見習(xí)題冊(cè)2.132．13、求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間．

解極大值f(1)=1,單調(diào)增加區(qū)間單調(diào)減少區(qū)間0(0,1)1(1,2)2不存在

0

不存在

高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.

２

1５

確定函數(shù)f(x)

的單調(diào)區(qū)間和極值

x？？？？f

(x)f(x)

解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(2)f

(x)

(3)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)

,不可導(dǎo)點(diǎn)為

(4)列表分析

(5)函數(shù)f(x)在區(qū)間(

]單調(diào)減少

在區(qū)間[

)上單調(diào)增加

練習(xí)高等數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與極值.xf

(x)f(x)

解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?

)

(2)f

(x)

x2e–x(3

x)

(3)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x1

0

，x２

3,

(4)列表分析

(5)函數(shù)f(x)在[３

)區(qū)間單調(diào)減少

在區(qū)間(

３]上單調(diào)增加

(

０)(０

3)(3

)－０3↘↗＋↗極大值

例２

1４

確定函數(shù)f(x)

x3e-x的單調(diào)區(qū)間和極值

＋00高等數(shù)學(xué)函