2023-2024學年福建省三明市一中高三上學期10月月考數(shù)學試題及答案

三明一中2023-2024學年高三月考1數(shù)學學科試卷（總分150分，時間：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.Axx2Bxx0，則AReB21.設全集為R，若集合，（）x1x2x2xB.A.Cx1x2x2xD.z2.若z1，則（）zz11313A.1B.1C.iD.i33332，則“3”是“a//b”的（）R，向量ab，3.已知A.必要不充分條件C.充分必要條件B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件2023π14.已知sin，則的值為（）π23713791D.A.B.C.935.在中，已知B120，，2，則（）A.1B.2C.5D.3的前項和為，若，1，則有（）n12SnN*anS16.已知數(shù)列nnn為等差數(shù)列為等比數(shù)列anaA.C.B.D.n為等差數(shù)列為等比數(shù)列SnSnsinx,0x17.已知函數(shù)fx，若實數(shù)a，b，c互不相等，且fafbfc，則abc的log2023x,x1取值范圍是（）202420232023D.A.B.C.第1頁/共5頁2πfxxcosx上單調(diào)，則的取值范0)π,π8.已知函數(shù)在3上存在最值，且在3圍是（）2358235111746,,A.B.C.D.3二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.在中，ABsinAsinBB.在銳角中，不等式sinAcosB恒成立C.在中，若aAbB，則必是等腰直角三角形D.在中，若B600，b2ac，則必是等邊三角形10.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果P當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（0A.點P第一次到達最高點需要20秒B.當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面2米C.當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米π30π3th4t2D.點P距離水面的高度h（米）與（秒）的函數(shù)解析式為的前項積為，且，則下列結(jié)論正確的是（）anTn1111.已知正項等比數(shù)列nTTT114A.若B.若，則，則68TTT7n68第2頁/共5頁TTTT78C.若D.若，則67TTTT78，則67xxya與曲線y相交于A，B兩點，與曲線yx相交于B，C兩點，A，B，C的12.已知直線exxxx3橫坐標分別為，，.則（）122ae2x21xC.3e2xx2xD.13A.B.2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若aS12anSa，則___________.8n2614.已知，則，，x3y，x3y的最小值為__________．27733，則2______，______.15.已知，均為銳角，cos，sin1416.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c，bCcB2，若點P是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是所在平面內(nèi)一點，OA0，則下列說法中正確的命題有______.（填序號）ABAC6；ABACBC0①若，則②若CA在CB方向上的投影向量為CB，則PQ10的最小值為；4③若點P為BC的中點，則0；ABAC為定值18.BC0APABAC，則④若ABAC四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.如圖，在菱形ABCD中，E是CD的中點，AE交BD于點F，設ABa，ADb．（1）用向量a，b表示和；第3頁/共5頁（2）若AD2，BAD60，求cosAFB．18.如圖，在平面四邊形ABCD中，ABAD,ABAD3,BC2．2，求sinADC；（1）若CD（2）若C45，求四邊形ABCD的面積．12319.已知數(shù)列滿足：a，數(shù)列aa，是以4為公差的等差數(shù)列．2n1naa1n2（1）求數(shù)列的通項公式；an1（2）記數(shù)列nS的前項和為，求S的值．nan12xRmx,sinx，nx,3xfxmn，設函數(shù)20.已知向量，（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；fxcfA（2）設，，分別為b的內(nèi)角，B，的對邊，若AC2，bc22，的面積a1a為，求的值．2na是首項為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足anbnnnaa9a，已知，，成等差數(shù)列.12321.設13（1）求和的通項公式；abnn和的前項和，求和STabnST.n（2）記和分別為nnnnnππfxesinxecosxx,22.已知函數(shù).22（1）求證：fxfx4；（2）求函數(shù)的極值.fx第4頁/共5頁三明一中2023-2024學年高三月考1數(shù)學學科試卷（總分150分，時間：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.Axx2Bxx0，則RAeB21.設全集為R，若集合，（）x1x2x2xB.A.C.x1x2x2xD.【答案】B【解析】eBR【分析】分別求出集合A，B，的區(qū)間，根據(jù)交集的定義求解即可.A2,2，BeB【詳解】由題意，，，ReAB2,1；R故選：B.z2.若z1，則A.1（）zz11313B.1C.iD.i3333【答案】C【解析】【分析】由共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的運算即可得解.【詳解】z1zz(11134.z113izz1333故選：C23”是“a//b”的（R，向量ab3.已知，，則“）A.必要不充分條件B.充分不必要條件第1頁/共21頁C.充分必要條件【答案】BD.既不充分也不必要條件【解析】【分析】首先利用向量平行的坐標表示求，再根據(jù)充分，必要條件的定義判斷.3210，即60【詳解】若向量a//b，則2解得：2或33”是“a//b”的充分不必要條件.所以“故選：B2023π14.已知sin，則的值為（π）23713791D.A.B.C.93【答案】C【解析】13cos【分析】利用誘導公式可求得，再用誘導公式即可求解.2023π3π3π21【詳解】因為sinsin1010πsincos，2231cosπ所以.3故選：C.B1205.在中，已知，，AB2，則（）A.1B.2C.5D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.c,b,a【詳解】設，結(jié)合余弦定理：b2a2c22acB可得：19a242accos120，即：a2a3a52a150，解得：（3.故第2頁/共21頁故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．的前項和為，若，n12SnN*，則有（）anSn116.已知數(shù)列nn為等差數(shù)列為等比數(shù)列anaA.C.B.D.n為等差數(shù)列為等比數(shù)列SnSn【答案】D【解析】n1a1SSaSaa1，得到1【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項；根據(jù)nn1nnn2nn123,n22n13Sn即可判斷CD選項.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和滿足2SnNn，annan1*a2Snan1an2SnSn12a當n2時，，兩式相減，可得，nn1a21n13n22，所以2，可得n1n，即，又由a11，當n1時，a221nn1所以數(shù)列的通項公式為an，故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以aABnann223,n2錯.1San1n1時，111，適合上式，當n2時，，又由nn12S所以數(shù)列的前項和為Sn1n；又由n13，所以數(shù)列S為公比為3的等比數(shù)列，故D正nannSn確，C錯.故選：D.sinx,0x17.已知函數(shù)fxfafbfcabc，則的，若實數(shù)a，b，c互不相等，且log2023x,x1取值范圍是（）第3頁/共21頁202420232023D.A.B.C.【答案】A【解析】ab1c及fafbfc【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，根據(jù)結(jié)合函數(shù)的對稱性可得abc的范圍，從而求解的范圍.sinx,0x1fx【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖：log2023x,x1fafbfcm設，且abc，yfx與直線ym的三個交點從左到右依次為a,mc,m，b,m則函數(shù)，，1則點a,m與b,m在函數(shù)上，而函數(shù)ysinx關(guān)于直線對稱，ysinxx0,1x21ab21log2023x1x2023得，所以，由21c2023，fafbfc0m2023若滿足，則，所以2abc2024，即abc所以的取值范圍是.故選：A.2πfxxcosx上單調(diào)，則的取值范0)π,π8.已知函數(shù)在3上存在最值，且在3圍是（）23582353111746,,A.B.C.D.【答案】B第4頁/共21頁【解析】π3x【分析】利用三角恒等變換然后結(jié)合整體法結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對進行最值分析，對區(qū)間2xπ,π上進行單調(diào)分析；3π6fxxcosxx【詳解】因為，πππππ當0x時，因為0，則x，36636π因為函數(shù)在fx上存在最值，3πππ，解得則當2，32π622πππxπx時，，336662π3因為函數(shù)在fx,π上單調(diào)，2ππ6ππ2,π,πkZ，則3622πππ,32122362πkZkZkk所以其中，解得，π3π,62321237kkk所以，解得，23又因為0，則k2．2k00當時，；353當k1時，1；58k2當時，．235823又因為2，因此故選：B．的取值范圍是,．第5頁/共21頁【點睛】關(guān)鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結(jié)合三角函數(shù)圖像分析是本題的核心；二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.在中，ABsinAsinBsinAcosBB.在銳角中，不等式恒成立C.在中，若aAbB，則必是等腰直角三角形D.在中，若B600，b2ac，則必是等邊三角形【答案】ABD【解析】【分析】中，由正弦定理可得sinAsinBabAB對于選項A在BAB0sinAsin(B)BC在銳角222aAbBsin2Asin2B2A2B2A2B或在2c2acB，代入已知可得即可判斷出正誤；對于選項D在中，利用余弦定理可得：b2a2ac，又B60，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.B，可得：ab，利用正弦定理可得：sinAsinB【詳解】對于A，由A，正確；AB(0,)對于B，在銳角中，，，2ABAB0，，222sinAsin(B)cosBsinAcosB，因此不等式恒成立，正確；2對于C，在aAbB，利用正弦定理可得：sinAAsinBB中，由，sin2Asin2B，A，B(0,)，2A2B或2A2B，AB或AB，2是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，C錯誤.對于D，由于B600，bac，由余弦定理可得：b22aca2cac2，第6頁/共21頁acACB60，故正確(ac)20可得，解得，可得.故選：.【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關(guān)系，主要涉及的考點是三角形內(nèi)角的誘導公式的應用，同時考查正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，屬于中等題.10.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果P當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（0A.點P第一次到達最高點需要20秒B.當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面2米C.當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米π30π3th4t2D.點P距離水面的高度h（米）與（秒）的函數(shù)解析式為【答案】ABC【解析】t【分析】根據(jù)題意求出點P距離水面的高度h（米）和時間（秒）的函數(shù)解析式為ππ306h4sint2，結(jié)合選項依次判斷即可.t【詳解】設點P距離水面的高度h（米）和時間（秒）的函數(shù)解析式為πAsinthBA，2hAB6A4hAB2B22π2ππT=60解得由題意得：=T300B0h0Asinπ6第7頁/共21頁ππ306h4sint2．故D錯誤；故ππ306對于A，令h6，即h4sint2，解得：t20，故A正確；ππ306對于B，令t155，代入h4sint2，解得：h2，故B正確；ππ306對于C，令t，代入h4sint2，解得：，故正確．h2C故選：ABC的前項積為，且，則下列結(jié)論正確的是（n）an1111.已知正項等比數(shù)列nTTT114A.若B.若C.若D.若，則，則，則，則68TTTTn768TTT8767TTT8767【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，逐項分析得出數(shù)列的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.an【詳解】不妨設正項等比數(shù)列的公比為q,q0，所以，nN；anaaqn1*n1TTaa1，由等比數(shù)列性質(zhì)可得78aaaaaa1對于A，若，則，681278Taaaaaa1所以可得對于B，若aa，即A正確；1，又11，所以0q1；1412781314TTaaaq61q712，可得68781aa1aa17所以，又，可得，87788aa,aa<1TT，所以B正確；n7因此可得，即1278TTaaq61，又11q對于C，若對于D，若，可得，可得，因此的大小無法判斷，所以C錯誤；6771TTaaq6<1，又1，所以可得10q1a為遞減數(shù)列；n，即數(shù)列6771第8頁/共21頁8787<1，即7T<可得，所以D正確；8故選：ABDxxyayyB，C兩點，A，B，C的12.已知直線與曲線相交于A，B兩點，與曲線相交于exxxxx，.則（3橫坐標分別為，）122ae2x21x3e2xx2xD.132A.B.C.【答案】ACD【解析】xgx0112ex3x項逐一判斷，即可得到結(jié)果.x1xfxfxfx0，可得x1，令【詳解】設，得，exex單調(diào)遞增，fx，則函數(shù)f(x)>0當x1時，fx0，則函數(shù)fx單調(diào)遞減，當x1時，1e有極大值，即最大值.x1時，fxfxf1則當x1xxe，則，gxgxgx0設，得，令xx2xe單調(diào)遞增，gx0，則函數(shù)gx當當時，xe時，gx0單調(diào)遞減，gx，則函數(shù)1xe時，有極大值，即最大值，gxfegx則當e2e20x1xexaxae2，得，故A正確；2從而可得.由12312212f1f2，由又，得，即e1e1e20x1xe021，，得12又在上單調(diào)遞增，則fx12，故B錯誤；第9頁/共21頁233e233xgx.3ge由，得，即2e2e2又12ex，得e2e，3又在e,上單調(diào)遞減，則e23，故C正確；gx2x2xx2xxxe2xa，e由前面知，，得，又由123132e222ae22axxxx22x132132x.故D正確.2得，，則，213故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.的前項和為，若Sn，則aa2S612813.已知等差數(shù)列n___________.n【答案】5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差即可計算作答.anaad1123【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則有21，解得1，anda,dS6a15d123611323所以817d故答案為：5，，x3y，則x3y75.14.已知的最小值為__________．【答案】6【解析】，，x3y，【詳解】試題分析：由已知x3y911(x3y)29（x3x3yx3y時，取“=”則此時{則于×，當且僅當，由x3y334x30x3y66，解得y1，,故答案為．考點：1.基本不等式；2.方程組的解法.2773315.已知，均為銳角，cos，sin，則2______，______.14第10頁/共21頁17π【答案】【解析】①.②.3cos2的正弦值即可【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式即可求出，先確定的范圍，再求出.27【詳解】因為cos，71cos22cos12所以，7π，則π，又因，均為銳角，所以,2π2ππ,，sin43，所以12，所以22733141314，所以cos1sin2又因sin，43131337147143則sin2sin2cos2sin，2π所以.31π故答案為：；.73bCcB2，若點P16.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c，是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是所在平面內(nèi)一點，0，則下列說法中正確的命題有______.（填序號）ABAC6；ABACBC0①若，則②若CA在PQ10方向上的投影向量為，則的最小值為；CBCB4③若點P為BC的中點，則0；ABAC為定值18.BC0AP，則④若ABAC【答案】①③④【解析】第11頁/共21頁PQ時，取得最小值，計算可得；對于③，根據(jù)向量加法結(jié)合律律及平行四邊形法則計算可得；對于④，根據(jù)向量數(shù)量積運算律計算即可.【詳解】如圖，設BC的中點為E，連接QE，∵bCcB2，由余弦定理可得：a2b2ab2c2a2c2b22a2bc2，∴2，∴a2，2ac2a2，2又0，∴，∴∴，ABACBC0對于①，∵又E為中點，∴，∴20，∴，11a1，22又ABc10，∴AE1013，AB2BE226∴，故①正確；方向上的投影向量為對于②，∵CA在，∴，CBCB又Q是AC的中點，P在BC上，∴當時，PQ最小，12102此時，故②錯誤；對于③，若點P為BC的中點，即P與E點重合，∵，∴OQOP，∴0，故③正確；ABACBC0，∴對于④，∵的平分線與BC垂直，ABAC∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由①分析知AE3，2∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知APAEAE9，APABACAP2AE2APAE2918∴，故④正確．第12頁/共21頁故答案為：①③④．【點睛】關(guān)鍵點點睛：設BC的中點為E，連接QE，根據(jù)0，得出決本題的關(guān)鍵.是解四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.如圖，在菱形ABCD中，E是CD的中點，AE交BD于點F，設ABa，b．（1）用向量a，b表示和；（2）若2，BAD60，求cosAFB．121313abab【答案】（1），7（2）14【解析】DFDE121）在菱形ABCD中，根據(jù)E是CD的中點，∥，，結(jié)合向量的線性BFAB運算可得答案；FAFB,FB,FA（2）用AD,AB表示向量FB,FA，然后分別求得，再由平面向量的夾角公式求解．【小問1詳解】DFDE12ABCD中，E是CD的中點，∥，則在菱形，BFAB112AEADADABab,2111111(ABAD)ABADab.333333【小問2詳解】第13頁/共21頁223FB2ADAB因為，313222FAFBBAADABBAADAB，333ABCD2，BAD60，又為菱形，22292312242FAFBADABADABADABADAB所以333994224922222260，9992892232494169422AD，，39322231491428927322AD，，399FAFB7cosAFB所以.14FAFB18.如圖，在平面四邊形ABCD中，ABAD,ABAD3,BC2．2，求sinADC；（1）若CD（2）若C45，求四邊形ABCD的面積．213【答案】（1）813（2）2【解析】1）連接后由余弦定理與兩角和的正弦公式求解（2）由余弦定理與面積公式求解【小問1詳解】第14頁/共21頁RtABD連接，在中，222，AB3ADBADB且tanADB，，所以．26AD32CD2244222234在△BCD中，由余弦定理得，2BDCD2347所以BDC1．4所以6733142213sinADCsinBDCsinBDCBDCsin66428【小問2詳解】在△BCD中，由余弦定理得BD2CD2BC2BC，4即20，解得CD13或132121212ABCDS的面積為SABDSABADBCsin3所以四邊形413滿足：a2，，數(shù)列an1an是以4為公差的等差數(shù)列．a(chǎn)119.已知數(shù)列n22（1）求數(shù)列的通項公式；an1nSS的前項和為，求（2）記數(shù)列的值．nan1an2n12n3【答案】（1）2200（2）199【解析】1）利用等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合累和法進行求解即可；第15頁/共21頁（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】an1aaa4n4n2；n21根據(jù)題意可得當nnN時，24n6n11an1an1an2a21anana1221212n122n12n3，211a1an2n12n3又符合上式，所以；22【小問2詳解】1211，2n12n32n32n1an1111112001991001113197199fxmn12x,sinxnx,3xxR，m20已知向量，，設函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；fxfA2的面積abc的內(nèi)角A，B，C的對邊，若，bc22，（2）設，，分別為12a，求的值．為ππ6π,π，kZ【答案】（1）3（2）a=3-1【解析】π6fxsin2x11單調(diào)遞增區(qū)間；πA，結(jié)合三角形面積公式求出bc2（2）在（1）基礎上，求出【小問1詳解】，進而由余弦定理求出答案.6mx,sinxx,3xn，，第16頁/共21頁1212fxmncos2x3sinxx1cos2x3113sin2xcos2xsin2x122222π6sin2x1πππ2π2x2πkZ，令，262πππxπkZ，解得，36ππ\(zhòng)f(x)π,πkZ的單調(diào)遞增區(qū)間是，63【小問2詳解】π6fxsin2x由（1）知：1fA2，π6π6sin2A12sin2A1，即0Aπ，02A2π，ππ13π∴2A，666ππ2A，62πA，6ABC12的面積為，111bcsinAbc，解得bc2，242bc22，由余弦定理得a2cbcA2b2b2c223bc)2bc238423423a0，第17頁/共21頁a42331，綜上所述，結(jié)論是：a=3-1.na是首項為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足anbnnn1，a2，93，已知成等差數(shù)列21.設1.3（1）求和的通項公式；abnn和的前項和，求和TnSTnabSn（2）記和分別為n.nnn1nnanbn【答案】（1），；1n312n34n34S)，n（2）.nn2【解析】1）設出等比數(shù)列的公比，利用等差中項列式求解即可.an（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列前n項和公式及錯位相減法求和得解.【小問1詳解】設的公比為q，則aqn1，ann1a1，a，9a6aa9a，則有9q26q10q由成等差數(shù)列