平面向量教材分析

全國名校高一數(shù)學(xué)必修二優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編（附詳解）第五章平面向量教材分析這一章主要介紹平面向量的基礎(chǔ)知識，包括平面向量的概念、運算以及簡單應(yīng)用等本章教學(xué)時間約25課時，具體安排如下：5.1向量約1課時5.2向量的加法與減法約2課時5.3實數(shù)與向量的積約2課時5.4平面向量的坐標(biāo)運算約2課時5.5線段的定比分點約l課時5.6平面向量的數(shù)量積及運算律約2課時5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示約1課時5.8平移約1課時5.9正弦定理、余弦定理約4課時5.10解斜三角形應(yīng)用舉例約2課時5.11實習(xí)作業(yè)約2課時5.12研究性課題向量在物理中的應(yīng)用約3課時小結(jié)與復(fù)習(xí)約2課時(一)本章內(nèi)容向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內(nèi)不都適用因此，本章在介紹向量概念時，重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運算法則，包括加法、減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運算法則等之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法——向量法和坐標(biāo)法本章共分兩大節(jié)第一大節(jié)是“向量及其運算”，內(nèi)容包括向量的概念、向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運算；線段的定比分點、平面向量的數(shù)量積及運算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等第二大節(jié)是“解斜三角形”這一大節(jié)可以看成是向量知識的應(yīng)用，內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形應(yīng)用舉例，實習(xí)作業(yè)和研究性課題等正弦定理、余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間關(guān)系的兩個重要定理，教科書通過向量的數(shù)量積把三角形的邊與角聯(lián)系起來，推導(dǎo)出了這兩個定理，并運用這兩個定理初步解決了測量、工業(yè)、幾何等方面的實際問題為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心，啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造性地解決問題，本節(jié)中安排了一個實習(xí)作業(yè)和研究性課題教學(xué)中要加以實施為擴大學(xué)生的知識面，本章中還安排了兩個閱讀材料，即“向量的三種類型”和“人們早期怎樣測量地球的半徑”本章重點是向量的概念，向量的幾何表示和坐標(biāo)表示，向量的線性運算，平面向量的數(shù)量積，線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，平移公式，解斜三角形等本章的難點是向量的概念，向量運算法則的理解和運用等(二)本章教學(xué)要求1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念2.掌握向量的加法與減法3.掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運算5.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件6.掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點公式和中點坐標(biāo)公式，并且能熟練運用，掌握平移公式7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決斜三角形的計算問題，通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力通過實習(xí)作業(yè)和研究性課題，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度對某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進行研究探索的能力本章一開始，從帆船航行的距離和方向兩個要素出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積，實際是向量的線性運算知識教科書先講了向量的加法、加法運算律，然后用相反向量及向量的加法定義向量的減法，這樣把向量的加法與減法統(tǒng)一了起來教科書又通過向量的加法引入了實數(shù)與向量的積的定義，接著給出了實數(shù)與向量的積的運算律，最后介紹了向量共線的充要條件和平行向量基本定理，這樣為后面介紹平面向量的坐標(biāo)表示奠定了理論基礎(chǔ)在“向量及其表示”中，主要介紹有向線段，向量的定義，向量的長度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量在“向量的線性運算”中，介紹向量加法的定義，向量加法的運算律；向量減法的定義，向量方程，向量長度的三角不等式；數(shù)乘向量的定義，單位向量，數(shù)乘向量的運算律在“向量的共線與共面”中，介紹平行向量，共線向量，共面向量，兩個向量共線的充要條件，直線的向量方程，三個向量共面的充要條件在“向量的內(nèi)積”中，介紹兩個向量的夾角，向量內(nèi)積的定義，向量內(nèi)積的幾何意義，向量內(nèi)積的運算律，向量內(nèi)積的性質(zhì)通過建立直角坐標(biāo)系，給出了向量的另一種表示式----坐標(biāo)表示式，這樣就使得向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，然后給出了向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運算，這就為用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁在向量坐標(biāo)運算的基礎(chǔ)上，還導(dǎo)出了線段的定比分點坐標(biāo)公式和線段的中點公式向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長度和三角函數(shù)之間的一種關(guān)系，特別用向量的數(shù)量積能有效地解決線段垂直的問題把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關(guān)問題平面向量數(shù)量積的概念，教科書是從學(xué)生熟知的功的概念引入的，在介紹了平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義之后，又介紹了平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)、運算律及其坐標(biāo)表示特別通過兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，很容易推導(dǎo)出平面內(nèi)兩點間的距離公式本大節(jié)的最后，介紹了平移(這里講的平移是指圖象的平移)接著推導(dǎo)出了平移公式，并舉例說明了平移公式的應(yīng)用對這一章中概念的處理，是根據(jù)概念在教科書中的地位、作用及特點，對不同的概念采用不同的處理方式一些概念是通過例舉反映概念實質(zhì)的具體的對象，并充分發(fā)揮幾何圖形的直觀的特點，使學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上建立概念，并理解概念的實質(zhì)，像向量的概念等；一些概念則不僅給出嚴(yán)格的定義，還要分析滿足定義的充要條件，要求學(xué)生理解、記憶，并通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，讓學(xué)生會用，像向量數(shù)量積的概念等這一章中的一些例題，不是先給出解法，而是先進行分析，探索出解題思路，再給出解法解題后，有的還總結(jié)出解決該題時運用的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，有的還讓學(xué)生進一步考慮相關(guān)的問題關(guān)于向量運算，是借助于幾何直觀，并通過與數(shù)的對比引入，這樣便于學(xué)生接受例如，關(guān)于向量的減法，在向量代數(shù)中，常有兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運算，也就是，如果a+x=b，則x叫做向量b與a的差這樣，作b-a時，可先在平面內(nèi)取一點O，再作，則就是b-a第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過向量的加法定義向量的減法，即已知a、b，定義b-a=b+(-a)在這種定義下，作b-a時，可先在平面內(nèi)任取一點O，作則由向量加法的平行四邊形法則知，由于b+(-a)=b-a，即就是b-a實驗表明，對中學(xué)生來講，用這一種定義方法，學(xué)生不易理解向量減法的定義，但很容易作b-a而用第二種定義方法，學(xué)生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a較繁為便于學(xué)生接受，在定義向量的減法時，先給出相反的向量(對比初中代數(shù)中的相反數(shù))，再把b-a定義為b+(-a)，并告訴學(xué)生，作b-a時，只要按教科書圖作出即可(三)注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力注意對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，對知識的處理，都盡量設(shè)計成讓學(xué)生自己觀察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形式，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力對于解斜三角形，教科書是這樣引入的：“在初中，我們已會解直角三角形，就是說，已會根據(jù)直角三角形中的邊與角求出未知的邊與角那么，如何來解斜三角形呢?也就是如何根據(jù)斜三角形中已知的邊與角求出未知的邊與角呢?”通過設(shè)問，引起學(xué)生思考(四)注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透在這一章中，從引言開始，就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想方法例如，從帆船在大海中航行時的位移，滲透數(shù)學(xué)建模的思想通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透平移變換的思想由于向量具有兩個明顯特點——“形”的特點和“數(shù)”的特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實際是把點與數(shù)聯(lián)系了起來，進而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題，同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題，因此這部分知識還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想(五)突出知識的應(yīng)用(1)加強向量在數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量來推導(dǎo)，如線段的定比分點公式、平面兩點間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等(2)加強向量在物理中的應(yīng)用為培養(yǎng)學(xué)生用向量知識解決有關(guān)物理問題的能力，在這一章的最后，安排了一個研究性課題，即向量在物理中的應(yīng)用對于一個物理問題，首先要把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即用數(shù)學(xué)知識建立物理量之間的關(guān)系，也就是抽象成數(shù)學(xué)模型，然后再用建立起的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象(3)注意聯(lián)系實際在這一章中，把聯(lián)系實際分成三個層次：第一層次，在知識的引入上聯(lián)系實際例如，向量的概念從帆船