第2章間接平差原理

測量平差原理lijingbu@/授課班級：礦山測量101主講:卜麗靜遼寧工程技術(shù)大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院間接平差原理誤差方程式列立2023/11/82第二章間接平差2023/11/8第二章間接平差3第一節(jié)間接平差原理間接平差法（參數(shù)平差法）是通過選定t個獨立未知量作為參數(shù)，將每個觀測值分別表達成這t個參數(shù)的函數(shù)，建立函數(shù)模型，按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數(shù)的最或然值，從而求得各觀測值的平差值。先看一個確定三角形形狀的例子：令：要求基礎(chǔ)方程誤差方程X2X1平差值方程參數(shù)的解2023/11/8第四章間接平差4第一節(jié)間接平差原理一般地：設(shè)有n個觀測值令：則有：一、間接平差原理設(shè)有n個觀測值，必要觀測個數(shù)為t,選定t個獨立參數(shù)近似值取為，有平差值方程為：令：觀測值平差值2023/11/8第四章間接平差5第一節(jié)間接平差原理令：則上式變?yōu)椋阂螅簩ψ宰兞縓求導(dǎo)，令一階導(dǎo)數(shù)為0，即：令：則有：將基礎(chǔ)方程第一式代入第二式，得：令：則有：法方程的解：或觀測值和參數(shù)的平差值：誤差方程法方程基礎(chǔ)方程P為對角陣2023/11/8第四章間接平差6第一節(jié)間接平差原理二、計算步驟1.確定t,選t個獨立量為參數(shù)X.2.列立誤差方程3.組成法方程式中4.解算法方程,求參數(shù)的改正數(shù)或5.求觀測值改正數(shù)6.求平差值7.精度評定

(以后介紹)2023/11/8第四章間接平差7第一節(jié)間接平差原理三、例題

(P104-106)1.選取、兩點高程平差值為未知參數(shù)取其近似值:定權(quán):C=22.列立誤差方程2023/11/8第四章間接平差8第一節(jié)間接平差原理3.組成法方程4.解算法方程5.求改正數(shù)6.求平差值觀測值平差值參數(shù)平差值2023/11/8第四章間接平差9第二節(jié)誤差方程的列立一、參數(shù)個數(shù)的確定參數(shù)的個數(shù)等于必要觀測個數(shù)。水準(zhǔn)網(wǎng)：有已知點：等于待定點個數(shù)。無已知點：待定點數(shù)減1。測角網(wǎng)：有四個必要的起算數(shù)據(jù)，等于2倍待定點數(shù)。少于四個必要起算數(shù)據(jù)，等于2倍總點數(shù)減4。測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)：有四個必要的起算數(shù)據(jù)，等于2倍待定點數(shù)。少于四個必要起算數(shù)據(jù)，等于2倍總點數(shù)減3。二、參數(shù)的選取可以選直接觀測值的平差值，也可以選非直接觀測量的平差值，甚至二者兼而有之。要保證參數(shù)獨立。水準(zhǔn)網(wǎng)一般選待定點高程平差值；三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)選待定點坐標(biāo)平差值。三、誤差方程的列立方法：把觀測值表示成所選參數(shù)的函數(shù)水準(zhǔn)網(wǎng)和GPS網(wǎng)一般是線性的，三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)一般為非線性的。如圖測角網(wǎng)，選D點坐標(biāo)平差值為參數(shù)：2023/11/8第四章間接平差10再如下圖的測邊網(wǎng)：以上均為非線性形式，需要線性化。二、參數(shù)的選取可以選直接觀測值的平差值，也可以選非直接觀測量的平差值，甚至二者兼而有之。要保證參數(shù)獨立。水準(zhǔn)網(wǎng)一般選待定點高程平差值；三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)選待定點坐標(biāo)平差值。三、誤差方程的列立方法：把觀測值表示成所選參數(shù)的函數(shù)水準(zhǔn)網(wǎng)和GPS網(wǎng)一般是線性的，三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)一般為非線性的。如圖測角網(wǎng)，選D點坐標(biāo)平差值為參數(shù)：第二節(jié)誤差方程的列立2023/11/8第四章間接平差11四、誤差方程的線性化一般方法：按泰勒公式展開：展開：下面結(jié)合測角網(wǎng)和測邊網(wǎng)，介紹其誤差方程的線性化問題，并從中找出線性化的規(guī)律。1.測角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程下面先求坐標(biāo)改正數(shù)與方位角改正數(shù)之間的關(guān)系第二節(jié)誤差方程的列立，，…，坐標(biāo)方位角改正數(shù)2023/11/8第四章間接平差12四、誤差方程的線性化1.測角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程而：代入上式得：

同理得：第二節(jié)誤差方程的列立2023/11/8第四章間接平差13四、誤差方程的線性化1.測角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程角度誤差方程：考慮到：代入并令：第二節(jié)誤差方程的列立坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程注意四種特殊情況公式的變化見P110將坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程代入即可，見P1112023/11/8第四章間接平差14四、誤差方程的線性化1.測角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程提示:列立步驟：1.計算網(wǎng)中各待定點近似坐標(biāo);2.計算各邊的近似邊長和近似坐標(biāo)方位角;3.列出各邊坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程,計算系數(shù);4.列出角度誤差方程.第二節(jié)誤差方程的列立記憶規(guī)律2023/11/8第四章間接平差15四、誤差方程的線性化1.測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程

提示:按J-K方向與按K-J方向列立的方程相同[例4-3]見教材P113-116第二節(jié)誤差方程的列立記憶規(guī)律注意:四種特殊情況導(dǎo)線網(wǎng)是上述兩種情況的綜合,此時要注意觀測值權(quán)的確定.2023/11/8第四章間接平差16第二節(jié)誤差方程的列立2023/11/8第四章間接平差17第三節(jié)精度評定一、單位權(quán)中誤差其中：顧及則而二、協(xié)因數(shù)陣已知求：基本思想：把這些向量表示成已知協(xié)因數(shù)陣的量L的線性函數(shù)，然后用協(xié)因數(shù)傳播律求解。具體表示方法要用到平差原理中的主要公式。2023/11/8第四章間接平差18第三節(jié)精度評定二、協(xié)因數(shù)陣因：所以：其中：根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律：則而要想找，要么把化為的函數(shù)，要么先求如下協(xié)因數(shù)陣：則：2023/11/8第四章間接平差19第三節(jié)精度評定三、參數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)參數(shù)函數(shù)按泰勒公式展開顧及則而令：其實只需全微分即可：參數(shù)函數(shù)：全微分：令則有：令：協(xié)因數(shù)：中誤差：權(quán)函數(shù)式2023/11/8第四章間接平差20第三節(jié)精度評定四、參數(shù)的中誤差參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣：對角線元素就是各參數(shù)的協(xié)因數(shù)，有：參數(shù)的中誤差：[例題]參閱教材P120-122權(quán)系數(shù)陣2023/11/8第四章間接平差21第三節(jié)精度評定2023/11/8第四章間接平差22第四節(jié)公式匯編觀測值個數(shù)n，必要觀測個數(shù)t，選t獨立量為參數(shù)近似值?。河校浩讲钪捣匠蹋赫`差方程：常數(shù)項：或法方程：式中：法方程的解：平差值：單位權(quán)中誤差：參數(shù)協(xié)因數(shù)陣：參數(shù)中誤差：2023/11/8第四章間接平差23第四節(jié)公式匯編參數(shù)函數(shù)：權(quán)函數(shù)式：式中：其中：函數(shù)協(xié)因數(shù)：函數(shù)方差：*2023/11/8第四章間接平差24第五節(jié)附有限制條件的間接平差

簡介間接平差要求選u=t個獨立的參數(shù)，但有時所選參數(shù)的個數(shù)會大于t,即：u>t如圖測角網(wǎng)，n=18,又高精度觀測了P1~P2的邊長和P3~P4邊的方位角，則

t=2X5-2=8,但在平差時，一般仍然選擇各待定點的坐標(biāo)平差值為參數(shù)，即：

u=10>t多選2個參數(shù)，在參數(shù)之間就會產(chǎn)生2個條件式：二、協(xié)因數(shù)陣除了要列立18個誤差方程外，還要列出這2個參數(shù)之間的條件式。2023/11/8第四章間接平差25第五節(jié)附有限制條件的間接平差一、平差原理設(shè)有n個觀測值L，權(quán)陣為P，必要觀測個數(shù)為t,選取u>t個參數(shù)X，則不獨立參數(shù)的個數(shù)為：

s=u-t方程總數(shù)為：r+u=r+t+s=n+s（個）。其中包含n個誤差方程和s參數(shù)之間的條件方程。一般形式為：或根據(jù)第二章知，線性化后有：要求滿足：組成新函數(shù)：求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零：轉(zhuǎn)置后：此式與函數(shù)模型一起稱為“基礎(chǔ)方程”函數(shù)模型2023/11/8第四章間接平差26第五節(jié)附有限制條件的間接平差

（1）基礎(chǔ)方程（2）（3）（1）代入（3）上式變?yōu)椋毫睿海?）（5）法方程解法一（顯性形式）：用左乘（4）-（5）得：令：則：所以：代如（4）：代入（1）法方程改正數(shù)參數(shù)改正數(shù)2023/11/8第四章間接平差27第五節(jié)附有限制條件的間接平差代入誤差方程求觀測值改正數(shù)：求平差值：解法二（矩陣形式）由前知（4）

（5）

上面法方程可寫成如下形式：法方程的解：

法方程2023/11/8第四章間接平差28第五節(jié)附有限制條件的間接平差二、精度評定1.單位權(quán)中誤差其中：基礎(chǔ)方程為：r+u=n+s2023/11/8第四章間接平差29第五節(jié)附有限制條件的間接平差二、精度評定2.協(xié)因數(shù)陣基本思想是把其它變量表示為已知協(xié)因數(shù)陣的量的線性函數(shù)。2023/11/8第四章間接平差30第五節(jié)附有限制條件的間接平差二、精度評定3.參數(shù)函數(shù)的協(xié)因數(shù)其中：如何求參數(shù)的中誤差？？？三、公式匯編及示例1.公式匯編函數(shù)模型：法方程：式中：2023/11/8第四章間接平差31第五節(jié)附有限制條件的間接平差三、公式匯編（續(xù)）參數(shù)的解：式中平差值單位權(quán)中誤差：根據(jù)第二章知，線性化后有：參數(shù)的函數(shù)：權(quán)函數(shù)式：式中：函數(shù)的協(xié)因數(shù)：函數(shù)的中誤差：如果要求參數(shù)X的中誤差，直接從Qxx中抄其協(xié)因數(shù)，開方后乘單位權(quán)中誤差。2023/11/8第四章間接平差32第五節(jié)