五年級(jí)奧數(shù)第1講-整除問(wèn)題初步

五年級(jí)奧數(shù)競(jìng)賽課本滿視界在線課堂上冊(cè)滿視界第一講整除問(wèn)題初步數(shù)論專題第1講知識(shí)精講

從這一講開(kāi)始，我們將會(huì)進(jìn)入一個(gè)神奇而美妙的世界：數(shù)論。什么是數(shù)論呢?人類從學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)開(kāi)始，就一直和整數(shù)打交道，人們?cè)趯?duì)整數(shù)的應(yīng)用和研究中探索出很多奇妙的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些富有魅力的規(guī)律，吸引了古往今來(lái)的許多數(shù)學(xué)家，于是就出現(xiàn)了數(shù)論這門學(xué)科。

確切地說(shuō)，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。我們就從最基本的性質(zhì)——整除開(kāi)始，一起在數(shù)論的海洋中遨游吧。

數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，偉大的，數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇冠”。知識(shí)精講

一、整除的意義

如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，也可以說(shuō)b能整除a，記作b/a。如果除得的結(jié)果有余數(shù)，我們就說(shuō)a不能被b整除，也可以說(shuō)并不能整除a。注意：整除指的是除數(shù)能整除被除數(shù)！知識(shí)精講

二、整除的一些基本性質(zhì)1.尾數(shù)判斷法（1）能被2、5整除的數(shù)的特性：個(gè)位數(shù)字能被2、5整除.（2）能被4、25整除的數(shù)的特性：末兩位能被4、25整除。（3）能被8、125整除的數(shù)的特性：末三位能被8、125整除。2.數(shù)字求和法能被3、9整除得數(shù)的特性：各位數(shù)字之和能被3、9整除。3.奇偶位求差法能被11整除的數(shù)的特性：“奇位和”與“偶位和”的差能被11整除。我們把一個(gè)數(shù)從右往左數(shù)的第1、3、5位，.......，統(tǒng)稱為奇數(shù)位，把一個(gè)數(shù)從右往左數(shù)的第2、4、6位，......，統(tǒng)稱為偶數(shù)位。我們把“奇數(shù)位上的數(shù)字之和”簡(jiǎn)稱為“奇位和”，把偶數(shù)位上的數(shù)字之和簡(jiǎn)稱為“偶位和”。例題一：判斷下面是一個(gè)數(shù)的整除性，23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407。（1）這些數(shù)中，有哪些數(shù)能被4整除，哪些數(shù)能被8整除？（2）哪些數(shù)能被25整除，哪些數(shù)能被125整除？（3）哪些數(shù)能被3整除，哪些數(shù)能被9整除？（4）哪些數(shù)能被11整除？練習(xí)一：在數(shù)列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些數(shù)能被4整除？哪些數(shù)能被3整除，哪些數(shù)能被11整除？如果將例題一中能被3整除的數(shù)相加或相減，會(huì)發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果還能被3整除；同樣的，如果將其中能被11整除的數(shù)相加或相減，會(huì)發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果同樣能被11整除，從中我們可以總結(jié)出如下規(guī)律。

和整除性與差整除性：兩個(gè)數(shù)如果都能被自然數(shù)a整除，則它們的和與差也能被a整除。

上面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何利用整除特性，解決單個(gè)數(shù)的整除問(wèn)題，下面我們?cè)賮?lái)看一看涉及多個(gè)數(shù)的整除問(wèn)題應(yīng)該如何解決。例題二：173□是一個(gè)四位數(shù)。溫老師說(shuō)，“我在其中的方框內(nèi)先后填入3個(gè)數(shù)字，得到3個(gè)四位數(shù)，依次能被9、11、8整除?！眴?wèn)：文老師在方框中先后填入的三個(gè)數(shù)字之和是多少？分析：本題包括三個(gè)小問(wèn)題，我們逐個(gè)分析，需要分別用到9、11和8的整除特性。練習(xí)二：在23□的方框內(nèi)先后填入三個(gè)數(shù)字，分別組成3個(gè)三位數(shù)使他們依次被3、4、5整除。例題三：劉叔叔給45名工人發(fā)完工資后，將總錢數(shù)記在一張紙上，但是記賬的那張紙破了兩個(gè)洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的洞，劉叔叔記得每名工人的工資都一樣，并且都是整數(shù)元，請(qǐng)問(wèn)這45名工人的總工資有可能是多少元呢？分析：這45名員工的工資都一樣，所以總工資就能被45整除，我們沒(méi)有學(xué)過(guò)被45整除的數(shù)的特性。但注意到，45=5×9，于是678應(yīng)該能同時(shí)被5和9整除，那么先考慮哪一個(gè)數(shù)的整除特性比較好呢？

在例三中我們并不知道45的整除特性，但是能被45整除的數(shù)也能被5和9整除，那么只考慮5和9的整除特性即可。請(qǐng)同學(xué)們注意，雖然45等于3×15，但是在考慮能否被45整除時(shí)，不能只考慮被3和15整除，你能想明白這是為什么嗎？練習(xí)三：四位數(shù)33。能被36整除，那么這個(gè)四位數(shù)可能是多少？例題四：一天，王經(jīng)理去電信營(yíng)業(yè)廳為公司安裝一部電話，服務(wù)人員告訴他，目前只有形如“123468”的號(hào)碼可以申請(qǐng)，也就是說(shuō)，在申請(qǐng)?zhí)柎a時(shí)，方框內(nèi)的兩個(gè)數(shù)字可以隨意選擇，而基于數(shù)字不得改動(dòng)，王經(jīng)理打算申請(qǐng)一個(gè)能同時(shí)被8和11整除的號(hào)碼，請(qǐng)問(wèn)他申請(qǐng)的號(hào)碼可能是多少？分析：要被8整除說(shuō)明號(hào)碼的后三位68是8的倍數(shù)，想一下這樣的三位數(shù)是唯一的嗎？練習(xí)四：七位數(shù)，22333能被44整除，那么這個(gè)七位數(shù)是多少？

有時(shí)候滿足題目條件的答案會(huì)非常多。如果只要求找出最大的或最小的，我們只需要從極端的情況考慮即可。這就是最值的思想。挑戰(zhàn)極限例題五：在所有各位數(shù)字互不相同的五位數(shù)中，能被45整除的數(shù)最小是多少？最大是多少？分析：要想讓五位數(shù)最大且數(shù)字不重復(fù)，位于前面數(shù)位上的數(shù)字應(yīng)盡可能的大。如果想讓五位數(shù)盡量小，位于前面數(shù)位上的數(shù)字盡可能的小。例題六：有1、3、4、5、7、8這六個(gè)數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大數(shù)是多少？分析：要想能被11整除，奇位和與偶位和的差應(yīng)該是11的倍數(shù)，奇位和與偶位和的和又是什么呢？課堂檢測(cè)（1）下面有9個(gè)自然數(shù)：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？（2）有如下5個(gè)自然數(shù)：12345，189，72457821，333666，54289，其中能被9整除的有哪些？（3）有如下5個(gè)自然數(shù)：3124，3823，45235，5289，5588，其中能被11整除的有哪些？（4）125是一個(gè)四位數(shù)。王老師說(shuō)，我在其中的方框內(nèi)先后填入3個(gè)數(shù)字，得到3個(gè)四位數(shù)，一次能被9，11，8整除，問(wèn)王老師在方框中先后填