小學(xué)數(shù)學(xué)五年級奧數(shù)舉一反三包含與排除容斥原理

第33周包含與排除（容斥原理）五年級奧數(shù)舉一反三

集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成一個數(shù)字集合。組成集合的每個事物稱為這個集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個集合，每一個學(xué)生都是這個集合的元素，數(shù)字集合中有10個元素。兩個集合中可以做加法運算，把兩個集合A、B合并在一起，就組成了一個新的集合C。計算集合C的元素的個數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、B的一切元素都“包含”進來加在一起，再“排除”A、B兩集合的公共元素的個數(shù)，減去加了兩次的元素，即：C=A＋B－AB。在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達清楚的關(guān)系，用了適當?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進行計算。知識要點五年級奧數(shù)舉一反三【例題1】五年級96名學(xué)生都訂了報紙，有64人訂了少年報，有48人訂了小學(xué)生報。兩種報紙都訂的有多少人？【思路導(dǎo)航】用左邊的圓表示訂少年報的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報的48人，中間重疊部分表示兩種報刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計了兩次：64＋48=112人，比總?cè)藬?shù)多112－96=16人，這16人就是兩種報刊都訂的人數(shù)。精講精練五年級奧數(shù)舉一反三【練習1】1，一個班的52人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有32人做完了語文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？2，五年級有122人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中語文得優(yōu)的有65人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有87人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？3，某班有50名學(xué)生，在一次測驗中有26人滿分，在第二次測驗中有21人滿分。如果兩次測驗都沒得過滿分的學(xué)生有17人，那么，兩次測驗都得滿分的有多少人？五年級奧數(shù)舉一反三【例題2】某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有35人懂英語，34人懂日語，兩種語言都懂的有21人。這個學(xué)校共有多少名教師？【思路導(dǎo)航】把懂英語和懂日語的人數(shù)加起來得35＋34=69人，但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計過兩次，應(yīng)該從69里去掉一個21才能得出這個地區(qū)外語教師的總?cè)藬?shù)：69－21=48人。五年級奧數(shù)舉一反三【練習2】1，某校的每個學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動。已知有900人愛好體育活動，有850人愛好文娛活動，其中260人兩種活動都愛好。這個學(xué)校共有學(xué)生多少人？2，某班在一次測驗中有26人語文獲優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有12人，另外還有8人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個班共有多少人？3，第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對第一題的有15人，做對第二題的有10人，兩題都做對的有7人，兩題都做錯的有2人。第一小組共有多少人？五年級奧數(shù)舉一反三【例題3】學(xué)校開展課外活動，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時活動，參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個小組都參加的有25人。問這250名同學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？【思路導(dǎo)航】兩個小組都參加的有25人，因此，至少參加這兩種小組的一個小組的人數(shù)是84＋86－25=144人，所以，這兩個小組都不參加的人數(shù)是250－144=106人。五年級奧數(shù)舉一反三【練習3】1，五年級有250人，其中參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個小組都參加的有25人。兩個小組都不參加的有多少人？2，五（1）班有50人，在一次測試中，語文90分以上的有30人，數(shù)學(xué)90分以上的35人，語文和數(shù)學(xué)都在90分以上的有20人。兩科都在90分以下的有多少人？3，老師在統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分以上的有25人，語文得90分以上的有21人，兩科中至少有一科在90分以上的有38人。兩科都在90分以上的有多少人？五年級奧數(shù)舉一反三【例題4】實驗小學(xué)各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有20人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?6人不是四年級的，有12人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？【思路導(dǎo)航】由“16人不是四年級的”可知：16人是五年級和其他年級的；由“12人不是五年級的”可知：12人是四年級和其它年級的。用16＋12可算出四年級加五年級以及兩個其它年級的人數(shù)和，再減去20就得兩個其他年級的人數(shù)，這樣其他年級的人數(shù)是：（16＋12－20）÷2=4人，該校參加書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是4＋20=24人。五年級奧數(shù)舉一反三【練習4】1，五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運動會，其中24名運動員不是六年級的，28名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員共有32名，求五、六年級和中低年級運動員各有多少名？2，少年樂團學(xué)生中有170人不是五年級的，有135人不是六年級的，已知五、六年級的共有205人，求少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有多少人？3，六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有24朵不是紅色的，有20朵不是黃色的，已知紅花和黃花一共有18朵，其他顏色的花一共做了多少朵？五年級奧數(shù)舉一反三【例題5】在100個外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？【思路導(dǎo)航】顯然，兩種語言都懂的人在懂英語的75人中統(tǒng)計過一次，在懂日語的45人中又統(tǒng)計過一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是兩種語言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語的75人中減去兩種語言都懂的20人，就是只懂英語的人數(shù)了：75－20=55人。五年級奧數(shù)舉一反三【練習5】1，40人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題。已知做對第一題的有30人，做對第二題的有21人。只做對第一題的有多少人？2，五年級122名同學(xué)參加語