高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第32講 第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 章末重點題型大總結(jié)（學(xué)生版）

第10講第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01有關(guān)指數(shù)、對數(shù)的運算【典例1】（2023春·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2).【典例2】（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)校考期中）求下列各式的值：(1)計算：；(2)若，求的值．【變式1】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谀?）已知，求實數(shù)的值；（2）【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）計算(1).(2).題型02數(shù)的大小比較問題【典例1】（2023春·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【典例2】（2021秋·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【變式1】（2023春·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．題型03定義域問題【典例1】（云南省紅河哈尼族彝族自治州2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的定義域為（

）．A． B．C． D．【典例2】（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學(xué)校校考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【變式1】（2023春·北京順義·高二牛欄山一中?？计谀┖瘮?shù)的定義域為.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)m的取值范圍是．題型04值域問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為．【典例2】（2023春·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并予以證明；(2)若存在使得不等式成立，求實數(shù)的最大值.【典例3】（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，且．(1)求實數(shù)a的值，并用單調(diào)性定義證明在上單調(diào)遞增；(2)若當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，求實數(shù)m的值．【典例4】（2023春·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)若，函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求的取值范圍；(2)若a＞1，且對任意，都有，使得成立，求a的取值范圍．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是.【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的解集；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【變式3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式4】（2023春·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期末）已知（實數(shù)b為常數(shù)）．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的定義域D；(2)若不等式當(dāng)時恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．題型05指數(shù)（型）函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù),若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；(2)若關(guān)于的方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【典例3】（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)，.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若為奇函數(shù)，求m的值；(3)當(dāng)時，不等在恒成立，求k的取值范圍.【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．【變式2】（2023春·湖北荊州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且，當(dāng)?shù)亩x域是時，此時值域也是.(1)求的值；(2)若，證明為奇函數(shù)，并求不等式的解集.【變式3】（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，解不等式；(2)當(dāng)對恒成立時，求整數(shù)的最小值.題型06對數(shù)（型）函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)在定義域上滿足，若在上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)的取值范圍是．【典例3】（2023春·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)若，求的值；(2)若實數(shù)滿足，求的取值范圍．【典例4】（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【變式1】（2023春·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）設(shè)，若，則的最大值為.【變式2】（2023春·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)若方程有解，求實數(shù)m的取值范圍．【變式3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，的圖象過點．(1)求a的值：(2)求的解析式；(3)求不等式的解集．題型07函數(shù)與方程【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（多選）（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若函數(shù)有三個零點，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．m的取值范圍為 B．的取值范圍為C． D．最大值為1【典例3】（2023春·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為．【變式1】（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．若是偶函數(shù)，則B．的單調(diào)減區(qū)間是C．的值域是D．當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，.函數(shù)(且)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有20個零點，則實數(shù)的取值范圍為.【變式3】（2023秋·山西運城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個公共點，求實數(shù)的取值范圍.題型08函數(shù)模型及其應(yīng)用【典例1】（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┠辰虒W(xué)軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)與天數(shù)t之間滿足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布的時間，則教師用戶超過30000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．11 B．12 C．13 D．14【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為51200，則當(dāng)時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為（

）A．400 B．800 C．1600 D．3200【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y是這種新材料的含量（單位：克）的函數(shù)．研究過程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（單位：克）02610…－488…已知當(dāng)時，，其中為常數(shù)．當(dāng)時，和的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個：①；②且；③且；其中均為常數(shù)．(1)選擇一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)求該新材料的含量為多少克時，產(chǎn)品的性能達到最大．【典例4】（2023秋·廣東清遠·高一統(tǒng)考期末）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實驗中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間x（單位：小時）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(1)當(dāng)時，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時間來估計某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計值之間的差的絕對值不超過0.5時，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時間為9小時時，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個，你認(rèn)為（1）中哪個函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）(3)請用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計17小時后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.【變式1】（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．9 B．10 C．11 D．12【變式2】（2023·全國·高三對口高考）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）1.953.003.945.106.120.971.591.982.352.61A． B． C． D．【變式3】（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離稱為剎車距離，在某種路面上，經(jīng)過多次實驗測試，某種型號汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米/時，）的一些數(shù)據(jù)如表．為了描述汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米時）的關(guān)系，現(xiàn)有三種函數(shù)模型供選擇：，，．040608008.418.632.8(1)請選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如果要求剎車距離不超過米，求行駛的最大速度．三、數(shù)學(xué)思想01數(shù)形結(jié)合的思想1．（2023春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）已知是定義上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，若在上恰好有4個不同實數(shù)根，則．2．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級中學(xué)?？计谀┒x在R上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則函數(shù)有個零點．02分類討論的思想1．（2023秋·吉林·高一吉林省實驗?？计谀┮阎瘮?shù)（，且）是指數(shù)函數(shù)．(1)求，的值；(2)求解不等式．2．（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)（且）．(1)求函數(shù)的定義域．(2)判斷函數(shù)的奇偶性并給出證明．(3)求使成立的x的取值范圍．03換元的思想1．（2023春·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，記函數(shù).(1)若成立的必要條件為，則實數(shù)的取值范圍；(2)若，且，求的取值范圍.2．（2023