因式分解法直接開平方法

解一元二次方程的算法本節(jié)內(nèi)容1.2——1.2.1因式分解法，直接開平方法

如何解1.1節(jié)問題一中的方程：探究

(35-2x)2-900=0．①可以用平方差公式，把方程①的左邊因式分解．

我們已經(jīng)會解一元一次方程，

首先，觀察方程①的左邊，可不可以通過因式分解把它表示成兩個一次多項式的乘積？

自然會想：能不能把一元二次方程降低次數(shù)，轉(zhuǎn)化為若干個一元一次方程呢？先把方程①寫成(35-2x)2-302=0.(35-2x)2-900=0．①把此方程的左邊因式分解

(35-2x+30)(35-2x-30)=0，即(65-2x)(5-2x)=0.②因此，從方程②得

65-2x=0或5-2x=0．③得x=32.5或x=2.5.即方程①有兩個解，通常把它們記成x1=32.5，x2=2.5.其次，我們知道:“如果pq=0，那么p=0或q=0.”最后分別解③中的兩個一元一次方程

對于問題一，x2=2.5符合題意，即人行道的寬度為2.5m．上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法.(35-2x)2-900=0．①

容易看出

x1=32.5不符合題意(為什么?)，應(yīng)當(dāng)舍去；方程①還有其他解法嗎？

動腦筋

(35-2x)2-900=0．①這種解一元二次方程的方法，叫作直接開平方法．把方程①寫成(35-2x)2=900，這表明35-2x是900的平方根，因此

或

，即35-2x=30

或35-2x=-30．解得x=2.5或x=32.5．舉例例1解方程：

4x2-25=0.

原方程可以寫成

(2x)2-52=0，解:(解法一)把方程左邊因式分解，得

(2x+5)(2x-5)=0.由此得出

2x+5=0或2x-5=0.解得

，

4x2-25=0.直接開平方，得

或即

原方程可以寫成

解:(解法二)可以直接開平方計算舉例例2解方程：

(x+1)2-2=0.原方程可以寫成解:(解法一)把方程左邊因式分解，得

=0.由此得出

或

.解得

x1=

，x2=

.我們可以用因式分解法解這個方程。直接開平方，得

=

，或

=

.原方程可以寫成

解:(解法二)

(x+1)2-2=0.

=

.解得

x1=

，x2=

.(x+1)2x+1x+1我們可以用直接開平方法解這個方程。小提示在解方程時，只要寫出一種解法就行．請同學(xué)自己小結(jié)這兩種解法，并應(yīng)用你的小結(jié)去解下面的練習(xí)題．練習(xí)解下列方程：（1）9x2-49=0；（2）36-x2=0；（3）(x+3)2-16=0；（4）(1-2x)2-3=0.

原方程可以寫成

62-x2=0，（1）9x2-49=0

，解

原方程可以寫成

(3x)2-72=0，把方程左邊因式分解，得

(3x+7)(3x-7)=0.由此得出

3x+7=0或3x-7=0.解得

，

（2）36-x2=0

，解把方程左邊因式分解，得

(6+x)(6-x)=0.由此得出

6+x=0或6-x=0.解得

，

（3）(x+3)2-16=0

，

解

原方程可以寫成

(x+3)2-42=0，把方程左邊因式分解，得

(x+3+4)(x+3-4)=0.由此得出

x+7=0或x-1=0.解得

，

（4）(1-2x)2-3=0

，解

原方程可以寫成

(1-2x)2-=0，把方程左邊因式分解，得

(1-2x+)(1-2x-)=0.由此得出

1-2x+=0或1-2x-

=0.解得

，

如何解1.1節(jié)問題二中的方程：動腦筋0.01t2-2t=0. ④

可以用提公因式法把方程④的左邊因式分解．把方程④的左邊因式分解，得

t(0.01t-2)=0.⑤

由此得出

t=0或

0.01t-2=0 解得

t1=0，

t2=200. t1=0表明小明與小亮第一次相遇；t2=200表明經(jīng)過200s小明與小亮再次相遇．

舉例例3解下列方程：

（1）5x2+15x=0；（2）x2=4x.

（1）5x2+15x=0

把方程左邊因式分解，得

5x(x+3)=0.解:由此得出

5x=0或x+3=0.解得

x1=0

，x2=-3.

（2）x2=4x

把方程左邊因式分解，得

x(x-4)=0.由此得出

x=0或x-4=0.解得

x1=0

，x2=4.

原方程可以寫成

x2-4x=0.解:說一說

小剛在解例3第(2)題的方程時，把方程兩邊同除以x，得x=4.這樣做對嗎？為什么？

不對，因?yàn)樵诜匠蘹2=4x中，x可以為0.如果方程兩邊除以x，而0不能作除數(shù)，所以是不對的，還會造成增根.舉例例4解下列方程：

（1）x(x-5)=3x；（2）2x(5x-1)=3(5x-1).

（1）x(x-5)=3x

原方程可以寫成

x(x-5)-3x=0.解:由此得出

x=0或x-5-3=0.解得

x1=0

，x2=8.

把方程左邊因式分解，得

x(x-5-3)=0.

（2）2x(5x-1)=3(5x-1)

把方程左邊因式分解，得

(5x-1)(2x-3)=0.由此得出

5x-1=0或2x-3=0.

原方程可以寫成

2x(5x-1)-3(5x-1)=0.解:解得

小提示

從例1至例4看到，解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法，即通過移項使方程右邊為0，然后把左邊分解成兩個一次因式的乘積，從而轉(zhuǎn)化成一元一次方程，進(jìn)行求解．練習(xí)1.解下列方程：（1）x2-7x=0；（2）3x2=5x.（1）x2-7x=0

，解把方程左邊因式分解，得

x(x-7)=0.由此得出

x=0或x-7=0.解得

x1=0，

x2=7.

（2）

3x2=5x

，

原方程可以寫成

3x2-5x=0，把方程左邊因式分解，得

x(3x-5)=0.由此得出

x=0或3x-5=0.解得

，

解2.解下列方程：（1）2x(x-1)=1-x；（2）5x(x+2)=4x+8.（2）5x(x+2)=4x+8

，

解原方程可以寫成

5x(x+2)-4(x+2)=0，把方程左邊因式分解，得

(5x-4)(x+2)=0.由此得出

5x-4=0或x+2=0.解得

，.

（1）2x(x-1)=1-x

，解

原方程可以寫成