擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的正確嚙合條件

擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的正確嚙合條件

具有傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊、承受能力大、傳動(dòng)效率高的特點(diǎn)。廣泛應(yīng)用于機(jī)械、礦山、冶金、化工、紡織、國(guó)防工業(yè)等行業(yè)。由于誤差的平均影響，傳輸質(zhì)量好，沒(méi)有柔性組件。近年來(lái)，它引起了廣泛應(yīng)用。此外，基于波動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)的葉片誤差原理的波動(dòng)軸泵的傳輸過(guò)程中的低干擾噪聲也受到了各國(guó)的高度重視。擺線(xiàn)針輪行星嚙合傳動(dòng)的理論通常描述為:外擺法和內(nèi)擺法形成短幅擺線(xiàn);短幅擺線(xiàn)和針齒滿(mǎn)足齒廓嚙合定律;連續(xù)傳動(dòng)條件.與漸開(kāi)線(xiàn)等齒輪共軛嚙合傳動(dòng)的理論相比,該理論存在以下問(wèn)題:(ⅰ)缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo),嚙合方程、嚙合線(xiàn)等與傳動(dòng)特性密切聯(lián)系的問(wèn)題沒(méi)有相應(yīng)的闡述;(ⅱ)理論不成體系,如一齒差、多齒差行星傳動(dòng)通常是分別論述,沒(méi)有反應(yīng)內(nèi)齒輪齒廓確定為針齒后其共軛齒廓的實(shí)質(zhì);(ⅲ)有自相矛盾的結(jié)論,如連續(xù)傳動(dòng)條件為針輪比擺線(xiàn)輪多一齒,而實(shí)際上二齒差、三齒差完全能夠正確嚙合傳動(dòng);(ⅳ)概念不清晰,對(duì)于正確嚙合條件、重合度等未給出明確的定義及計(jì)算方法.近年來(lái)不少學(xué)者在擺線(xiàn)齒輪嚙合傳動(dòng)理論方面做了有益的工作.李力行等推導(dǎo)了綜合考慮移距修形、等距修形及轉(zhuǎn)角修形的擺線(xiàn)輪齒形通用方程式.Litvin等根據(jù)齒輪嚙合原理運(yùn)動(dòng)學(xué)法推導(dǎo)了擺線(xiàn)齒輪泵、Root’sBlower等的共軛嚙合方程、多段共軛齒形包絡(luò)生成方法等.Joong-HoShin等利用普通平面機(jī)構(gòu)的速度瞬心的三心定理,通過(guò)針齒上嚙合點(diǎn)的位置和坐標(biāo)變換得到擺線(xiàn)輪的齒廓曲線(xiàn)方程.Lai根據(jù)曲面單參數(shù)的包絡(luò)方法建立了擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的嚙合方程.然而,上述研究局限于建立一齒差擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)嚙合方程及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方法,未見(jiàn)擺線(xiàn)針輪少齒差行星傳動(dòng)統(tǒng)一理論及關(guān)于嚙合特性的深入分析.本文將根據(jù)齒輪嚙合原理,由圓柱針齒及給定的運(yùn)動(dòng),建立行星輪共軛嚙合齒廓的通用方程,并系統(tǒng)分析擺線(xiàn)針輪嚙合傳動(dòng)的特性.1針齒的共軛齒形狀1.1建立整體固定坐標(biāo)系圖1中,件1為針輪,件2為行星輪.在針輪與行星輪的中心分別建立與之固連的動(dòng)坐標(biāo)系Obx1y1及Ogx2y2,在針輪中心建立整體固定坐標(biāo)系OXY.在初始位置,X和x1軸重合,x2軸與X軸平行.針齒中心分布圓半徑為RZ,針齒的半徑為rZ.針輪與行星輪的齒數(shù)分別為Zb和Zg兩輪中心距(輸入轉(zhuǎn)臂軸承的偏心距)為e.為簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論,采用轉(zhuǎn)臂(曲柄)ObOg固定法.將行星輪繞z2軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θa角,根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,針輪將隨行星輪繞z1軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θb角.1.2針齒配合函數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模針齒齒廓在Obx1y1中的方程為式中:θ為角參量.根據(jù)齒輪嚙合原理的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法,嚙合方程為其中,n1為針齒嚙合點(diǎn)處的法線(xiàn)矢量,在坐標(biāo)軸x1和y1上的投影為式中以上各式中分別為坐標(biāo)軸的單位矢量.將相關(guān)表達(dá)式代入(2)式,計(jì)算化簡(jiǎn)后得嚙合函數(shù)其中λ為系數(shù),且1.3葉斯塔科的齒廓方程在坐標(biāo)系Ogx2ay2a中,與針齒齒廓Σ(1)相共軛的行星輪齒廓Σ(2)由下式確定:式中,為從到的變換矩陣.由OXY到的變換矩陣為令θa-θb=?b′,由,可得于是根據(jù)三角函數(shù)公式解嚙合函數(shù)(3),有將(1),(8),(9)式帶入(5)式得到行星輪的齒廓方程Σ(2)的一般表達(dá)式其中1.4加u3000擺線(xiàn)機(jī)構(gòu)由方程(10)可看出,前述方法推導(dǎo)出的齒廓曲線(xiàn)方程與短幅外擺線(xiàn)等距曲線(xiàn)的方程形式上接近,現(xiàn)引入當(dāng)量齒輪的概念,令當(dāng)量擺線(xiàn)輪的齒數(shù)Zd=Zg(Zb-Zg),與其嚙合的當(dāng)量針輪齒數(shù)為Ze=igHbZd=igHbZg(Zb-Zg)=Zb(Zb-Zg).定義當(dāng)量擺線(xiàn)輪的變幅系數(shù)1K=λ,由(4)式得式中e′為當(dāng)量擺線(xiàn)輪的短幅擺線(xiàn)的偏心距,br′為針輪的節(jié)圓半徑,因此有式中(13)式與普通短幅擺線(xiàn)等距曲線(xiàn)的方程相同,由此可知前述方法推導(dǎo)出的行星輪齒廓是短幅擺線(xiàn)的等距線(xiàn).當(dāng)Zr=0時(shí),將得到理論短幅擺線(xiàn);當(dāng)針輪齒數(shù)大于擺線(xiàn)輪齒數(shù)時(shí),(14)式等號(hào)右邊取“正”,短幅擺線(xiàn)向內(nèi)等距,獲得短幅外擺線(xiàn)的等距線(xiàn),形成普通的針齒擺線(xiàn)行星傳動(dòng);當(dāng)針輪齒數(shù)小于擺線(xiàn)輪齒數(shù)時(shí),(14)式等號(hào)右邊取“負(fù)”,短幅擺線(xiàn)向外等距,獲得短幅內(nèi)擺線(xiàn)的等距線(xiàn),可形成內(nèi)擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng).上述通過(guò)推導(dǎo)與針齒共軛嚙合的曲線(xiàn)獲得短幅擺線(xiàn)方程的方法,我們稱(chēng)之為短幅擺線(xiàn)形成的包絡(luò)法.無(wú)論短幅外擺線(xiàn)或短幅內(nèi)擺線(xiàn),只要給針齒施加相應(yīng)運(yùn)動(dòng),都能通過(guò)包絡(luò)法得到因此包絡(luò)法是一種形成短幅擺線(xiàn)的通用方法.2在直線(xiàn)上的針傾斜運(yùn)動(dòng)中的各種性質(zhì)分析中2.1擺線(xiàn)輪傳動(dòng)的基本幾何參數(shù)由上節(jié)針齒的共軛齒形的推導(dǎo)過(guò)程及(12)式可以得到如下結(jié)論:對(duì)于給定的針輪及中心距,一個(gè)擺線(xiàn)輪與之正確嚙合的必要條件為:e=e′,即針輪與擺線(xiàn)輪的中心距必須等于短幅擺線(xiàn)的偏心距.事實(shí)上,該條件也是擺線(xiàn)針輪正確嚙合的充分條件.針輪節(jié)圓的齒距為,且由于,所以擺線(xiàn)輪節(jié)圓的齒距為,因此ptg=ptb,即擺線(xiàn)輪與針輪在節(jié)圓上的齒距相等,擺線(xiàn)輪與針輪可實(shí)現(xiàn)正確連續(xù)嚙合.當(dāng)Zb-Zg=1時(shí),,顯然,為整數(shù),擺線(xiàn)輪齒廓為連續(xù)完整的曲線(xiàn).由(12)式,容易得到根據(jù)以上論述,我們將少齒差擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)中基本幾何參數(shù)之間的關(guān)系式列表如下:2.2擺線(xiàn)輪齒廓的數(shù)值計(jì)算為了保證正反轉(zhuǎn)傳動(dòng)特性的一致,擺線(xiàn)行星輪的左右齒廓應(yīng)具有對(duì)稱(chēng)性.擺線(xiàn)輪一個(gè)輪齒的對(duì)稱(chēng)中軸與擺線(xiàn)齒廓起始線(xiàn)的夾角大小?0=π/Zg,令對(duì)稱(chēng)中軸的直線(xiàn)方程為y=kx,其斜率,所以y=xctan(π/Zg).將(10)式代入對(duì)稱(chēng)中軸的直線(xiàn)方程,得用數(shù)值計(jì)算方法可解得上式中與對(duì)稱(chēng)中軸及擺線(xiàn)輪齒廓的交點(diǎn)(即擺線(xiàn)輪齒頂)相對(duì)應(yīng)的?b′,令其為?max,只需在擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)方程式中取?b′∈[0,?max],即可作出擺線(xiàn)輪一個(gè)輪齒一側(cè)的齒廓曲線(xiàn),再根據(jù)齒廓曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,得到擺線(xiàn)輪左右齒廓曲線(xiàn).需要指出的是,當(dāng)針輪和擺線(xiàn)輪為一齒差時(shí),擺線(xiàn)輪齒廓為連續(xù)完整的變幅擺線(xiàn);當(dāng)針輪和擺線(xiàn)輪為二齒差及其他齒差數(shù)時(shí),擺線(xiàn)輪的齒廓僅為變幅擺線(xiàn)的一段,考慮到齒頂不能為尖點(diǎn),實(shí)際的?max應(yīng)根據(jù)齒頂圓確定.2.3擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的齒廓主體將嚙合函數(shù)φ(θ,θb)=K1cos(θ+θb)-cosθ=0進(jìn)行變換得針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)為取短幅系數(shù)1K=0.75,作出(17)～(19)式的函數(shù)圖像如圖2～4所示.結(jié)合圖2～4可知,針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)以2π為周期,且函數(shù)關(guān)于π點(diǎn)對(duì)稱(chēng).當(dāng)θb∈(0,π)時(shí),f′(θb)?0,原函數(shù)圖像上凸,當(dāng)θb∈(π,2π)時(shí),f′(θb)0,原函數(shù)圖像下凹,原函數(shù)分別在f′(θb)=0時(shí)(即A和B點(diǎn))取得極值為針齒的嚙合端點(diǎn),即針齒轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度,說(shuō)明針齒上只有一部分齒廓參與嚙合傳動(dòng).因?yàn)棣鹊臉O值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于其一階導(dǎo)數(shù)f′(θb)=0的點(diǎn)所以擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的針齒嚙合端點(diǎn)由以下方程組確定:解該方程組得由圖2可得,當(dāng)θb∈(0,π)或θb∈(π,2π)時(shí),只要θ≠θmax,取任一θ值,均有兩個(gè)不同的θb值與其對(duì)應(yīng),即針齒齒廓上一點(diǎn)在傳動(dòng)過(guò)程中將分別與擺線(xiàn)輪齒廓上的兩點(diǎn)(凹、凸齒)產(chǎn)生接觸.由于針齒只有一部分齒廓參與嚙合,所以針齒始終重復(fù)著由嚙合端點(diǎn)0°轉(zhuǎn)至θmax,再反向轉(zhuǎn)回0°的運(yùn)動(dòng),在兩零點(diǎn)處,針齒上的這點(diǎn)分別與擺線(xiàn)輪的凸、凹齒接觸,此過(guò)程表明擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)過(guò)程中針齒存在兩次接觸現(xiàn)象.2.4方程中的鉤子2.4.1匹配線(xiàn)方程的建立擺線(xiàn)針輪共軛嚙合副在坐標(biāo)系OXY中的嚙合線(xiàn)方程由下式確定:將(1),(6)和(9)式代入上式可得其中,當(dāng)時(shí),嚙合線(xiàn)方程簡(jiǎn)化為圓的方程.2.4.2聯(lián)立針齒齒廓方程擺線(xiàn)針輪共軛嚙合副在坐標(biāo)系Obx1y1中的嚙合線(xiàn),就是針齒上滿(mǎn)足嚙合函數(shù)的點(diǎn)的集合因此聯(lián)立針齒齒廓方程及嚙合函數(shù)即可得到所求嚙合線(xiàn)的方程其中(23)和(25)式等號(hào)右邊正、負(fù)號(hào)的選用方法與(14)式相同.顯然,該嚙合線(xiàn)就是針齒齒廓的一部分.2.5擺線(xiàn)針輪越界比例的確定根據(jù)齒輪嚙合原理中重合度的概念,擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的重合度可定義為:擺線(xiàn)輪齒單側(cè)齒面從齒根到齒頂(?b′∈[0,?max])的嚙合過(guò)程中,同時(shí)參與嚙合的齒數(shù).由于擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的嚙合線(xiàn)為曲線(xiàn),計(jì)算較困難,我們將依據(jù)嚙合線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角計(jì)算其重合度為.式中,為嚙合線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的針輪的轉(zhuǎn)角,?max由(16)式確定;,為針輪相鄰針齒之間的夾角,因此重合度計(jì)算式為當(dāng)針輪與擺線(xiàn)輪為一齒差時(shí),由于,因此重合度為.當(dāng)針輪與擺線(xiàn)輪為二齒差時(shí),由(16)式解得?max,將其代入計(jì)算即可三齒差的重合度計(jì)算方法與二齒差相同,其計(jì)算式為.3標(biāo)準(zhǔn)裝載量針輪齒差的橫向傳遞理論3.1齒差螺旋絲針的行駛性能3.1.1齒廓曲線(xiàn)方程令(10)和(11)式中的Zb-Zg=1即可得到一齒差擺線(xiàn)輪的齒廓曲線(xiàn)方程其中取代入(16)式解出,將代入(28)和(29)式,并由擺線(xiàn)齒廓曲線(xiàn)的周期性可作出如圖5所示的一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)圖及圖6所示的一齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合簡(jiǎn)圖.3.1.2建立線(xiàn)性小徑形的單元令(22)和(23)式中的Zb-Zg=1,得到坐標(biāo)系OXY中的嚙合線(xiàn)方程其中令(24)和(25)式中的Zb-Zg=1,得到坐標(biāo)系Obx1y1中的嚙合線(xiàn)方程其中取與3.1.1節(jié)相同的參數(shù)作圖,得到如圖7和8所示的坐標(biāo)系OXY及Obx1y1中的嚙合線(xiàn)圖形.圖8中的粗實(shí)線(xiàn)表示作出的嚙合線(xiàn),由該圖可知,針齒上僅有一部分齒廓參與嚙合,其滾動(dòng)的最大角度θmax可以通過(guò)解(20)式求得.3.2齒差擺線(xiàn)針輪機(jī)構(gòu)及其匹配與求一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)及嚙合線(xiàn)方程的方法相同,對(duì)于二齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)只需將統(tǒng)一表達(dá)式中的齒差數(shù)項(xiàng)取2即可.需要注意的是,任何齒差數(shù)的擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)及嚙合線(xiàn)方程都需根據(jù)(16)式確定的?max對(duì)其進(jìn)行限制,與一齒差表示相同,在此不再贅述,只取一例作嚙合簡(jiǎn)圖及嚙合線(xiàn)圖形.取RZ=90,rZ=7,e=4,Zg=22代入(16)式解出?max=8.77°,可作出如圖9所示的二齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合簡(jiǎn)圖及圖10所示的在坐標(biāo)系OXY中的嚙合線(xiàn)圖形,且由(27)式可計(jì)算出其重合度為6.43.由(20)式可知少齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的針齒都具有僅一部分齒廓參與嚙合的性質(zhì),其嚙合線(xiàn)方程在坐標(biāo)系Obx1y1中的圖形與圖8類(lèi)似.3.3齒差擺線(xiàn)針輪越界傳動(dòng)的匹配求擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)方程及嚙合線(xiàn)方程的方法與一、二齒差相同.取一例作其嚙合簡(jiǎn)圖及坐標(biāo)系OXY中的嚙合線(xiàn)圖形.取RZ=90,rZ=7,e=4,Zg=33代入(16)式解出?max=5.22°,可作出如圖11所示的三齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合簡(jiǎn)圖及圖12所示的在坐標(biāo)系OXY中的嚙合線(xiàn)圖形,并由(27)式可得其重合度為5.74.3.4擺線(xiàn)輪齒廓的耦合令(10)和(11)式中的Zb-Zg=-1,且由于負(fù)齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)是其理論曲線(xiàn)的外等距線(xiàn),因此(11)式等號(hào)右取“負(fù)”即可得到負(fù)一齒差擺線(xiàn)輪的齒廓曲線(xiàn)方程.取代入(16)式解出max?=11.25°,可作出如圖13所示的負(fù)一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn),圖14所示的嚙合簡(jiǎn)圖及圖15和16所示的不同坐標(biāo)系中的嚙合線(xiàn)圖形圖16中,粗實(shí)線(xiàn)部分表示作出的嚙合線(xiàn).由上兩嚙合線(xiàn)圖形可看出,負(fù)齒差擺線(xiàn)輪與正齒差擺線(xiàn)輪不同,它的實(shí)際齒廓是其理論齒廓曲線(xiàn)的外等距線(xiàn),同樣的,針齒上也只有一部分參與嚙合.上述嚙合理論研究揭示了擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)共軛嚙合的實(shí)質(zhì),其結(jié)果對(duì)于該類(lèi)傳動(dòng)特別是二齒或多齒差擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的幾何參數(shù)設(shè)計(jì)計(jì)算、多齒差嚙合特性分析、受力計(jì)算以及擺線(xiàn)輪的加工等具有重要的意義.4擺線(xiàn)的通用方法—結(jié)論(ⅰ)根據(jù)齒輪嚙合原理的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法,由針齒齒廓及給定運(yùn)動(dòng)建立了適用于一齒差及多齒差的擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的嚙合函數(shù),并得到了擺線(xiàn)輪齒廓的統(tǒng)一方程,給出了齒廓方程參數(shù)的確定方法.(ⅱ)由擺線(xiàn)輪齒廓的統(tǒng)一方程,取不同參數(shù)可分別得到理論擺線(xiàn)、短幅外擺線(xiàn)、短幅內(nèi)擺線(xiàn),從而提出了形成擺線(xiàn)的通用方法—包絡(luò)法.(ⅲ)擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)