擺線針輪傳動的正確嚙合條件

擺線針輪傳動的正確嚙合條件

具有傳動比大、結(jié)構(gòu)緊湊、承受能力大、傳動效率高的特點。廣泛應(yīng)用于機械、礦山、冶金、化工、紡織、國防工業(yè)等行業(yè)。由于誤差的平均影響，傳輸質(zhì)量好，沒有柔性組件。近年來，它引起了廣泛應(yīng)用。此外，基于波動軸運動的葉片誤差原理的波動軸泵的傳輸過程中的低干擾噪聲也受到了各國的高度重視。擺線針輪行星嚙合傳動的理論通常描述為:外擺法和內(nèi)擺法形成短幅擺線;短幅擺線和針齒滿足齒廓嚙合定律;連續(xù)傳動條件.與漸開線等齒輪共軛嚙合傳動的理論相比,該理論存在以下問題:(ⅰ)缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo),嚙合方程、嚙合線等與傳動特性密切聯(lián)系的問題沒有相應(yīng)的闡述;(ⅱ)理論不成體系,如一齒差、多齒差行星傳動通常是分別論述,沒有反應(yīng)內(nèi)齒輪齒廓確定為針齒后其共軛齒廓的實質(zhì);(ⅲ)有自相矛盾的結(jié)論,如連續(xù)傳動條件為針輪比擺線輪多一齒,而實際上二齒差、三齒差完全能夠正確嚙合傳動;(ⅳ)概念不清晰,對于正確嚙合條件、重合度等未給出明確的定義及計算方法.近年來不少學(xué)者在擺線齒輪嚙合傳動理論方面做了有益的工作.李力行等推導(dǎo)了綜合考慮移距修形、等距修形及轉(zhuǎn)角修形的擺線輪齒形通用方程式.Litvin等根據(jù)齒輪嚙合原理運動學(xué)法推導(dǎo)了擺線齒輪泵、Root’sBlower等的共軛嚙合方程、多段共軛齒形包絡(luò)生成方法等.Joong-HoShin等利用普通平面機構(gòu)的速度瞬心的三心定理,通過針齒上嚙合點的位置和坐標(biāo)變換得到擺線輪的齒廓曲線方程.Lai根據(jù)曲面單參數(shù)的包絡(luò)方法建立了擺線針輪傳動的嚙合方程.然而,上述研究局限于建立一齒差擺線針輪傳動嚙合方程及計算機實現(xiàn)方法,未見擺線針輪少齒差行星傳動統(tǒng)一理論及關(guān)于嚙合特性的深入分析.本文將根據(jù)齒輪嚙合原理,由圓柱針齒及給定的運動,建立行星輪共軛嚙合齒廓的通用方程,并系統(tǒng)分析擺線針輪嚙合傳動的特性.1針齒的共軛齒形狀1.1建立整體固定坐標(biāo)系圖1中,件1為針輪,件2為行星輪.在針輪與行星輪的中心分別建立與之固連的動坐標(biāo)系Obx1y1及Ogx2y2,在針輪中心建立整體固定坐標(biāo)系OXY.在初始位置,X和x1軸重合,x2軸與X軸平行.針齒中心分布圓半徑為RZ,針齒的半徑為rZ.針輪與行星輪的齒數(shù)分別為Zb和Zg兩輪中心距(輸入轉(zhuǎn)臂軸承的偏心距)為e.為簡化問題的討論,采用轉(zhuǎn)臂(曲柄)ObOg固定法.將行星輪繞z2軸逆時針旋轉(zhuǎn)θa角,根據(jù)相對運動關(guān)系,針輪將隨行星輪繞z1軸逆時針旋轉(zhuǎn)θb角.1.2針齒配合函數(shù)的運動學(xué)建模針齒齒廓在Obx1y1中的方程為式中:θ為角參量.根據(jù)齒輪嚙合原理的運動學(xué)方法,嚙合方程為其中,n1為針齒嚙合點處的法線矢量,在坐標(biāo)軸x1和y1上的投影為式中以上各式中分別為坐標(biāo)軸的單位矢量.將相關(guān)表達(dá)式代入(2)式,計算化簡后得嚙合函數(shù)其中λ為系數(shù),且1.3葉斯塔科的齒廓方程在坐標(biāo)系Ogx2ay2a中,與針齒齒廓Σ(1)相共軛的行星輪齒廓Σ(2)由下式確定:式中,為從到的變換矩陣.由OXY到的變換矩陣為令θa-θb=?b′,由,可得于是根據(jù)三角函數(shù)公式解嚙合函數(shù)(3),有將(1),(8),(9)式帶入(5)式得到行星輪的齒廓方程Σ(2)的一般表達(dá)式其中1.4加u3000擺線機構(gòu)由方程(10)可看出,前述方法推導(dǎo)出的齒廓曲線方程與短幅外擺線等距曲線的方程形式上接近,現(xiàn)引入當(dāng)量齒輪的概念,令當(dāng)量擺線輪的齒數(shù)Zd=Zg(Zb-Zg),與其嚙合的當(dāng)量針輪齒數(shù)為Ze=igHbZd=igHbZg(Zb-Zg)=Zb(Zb-Zg).定義當(dāng)量擺線輪的變幅系數(shù)1K=λ,由(4)式得式中e′為當(dāng)量擺線輪的短幅擺線的偏心距,br′為針輪的節(jié)圓半徑,因此有式中(13)式與普通短幅擺線等距曲線的方程相同,由此可知前述方法推導(dǎo)出的行星輪齒廓是短幅擺線的等距線.當(dāng)Zr=0時,將得到理論短幅擺線;當(dāng)針輪齒數(shù)大于擺線輪齒數(shù)時,(14)式等號右邊取“正”,短幅擺線向內(nèi)等距,獲得短幅外擺線的等距線,形成普通的針齒擺線行星傳動;當(dāng)針輪齒數(shù)小于擺線輪齒數(shù)時,(14)式等號右邊取“負(fù)”,短幅擺線向外等距,獲得短幅內(nèi)擺線的等距線,可形成內(nèi)擺線針輪行星傳動.上述通過推導(dǎo)與針齒共軛嚙合的曲線獲得短幅擺線方程的方法,我們稱之為短幅擺線形成的包絡(luò)法.無論短幅外擺線或短幅內(nèi)擺線,只要給針齒施加相應(yīng)運動,都能通過包絡(luò)法得到因此包絡(luò)法是一種形成短幅擺線的通用方法.2在直線上的針傾斜運動中的各種性質(zhì)分析中2.1擺線輪傳動的基本幾何參數(shù)由上節(jié)針齒的共軛齒形的推導(dǎo)過程及(12)式可以得到如下結(jié)論:對于給定的針輪及中心距,一個擺線輪與之正確嚙合的必要條件為:e=e′,即針輪與擺線輪的中心距必須等于短幅擺線的偏心距.事實上,該條件也是擺線針輪正確嚙合的充分條件.針輪節(jié)圓的齒距為,且由于,所以擺線輪節(jié)圓的齒距為,因此ptg=ptb,即擺線輪與針輪在節(jié)圓上的齒距相等,擺線輪與針輪可實現(xiàn)正確連續(xù)嚙合.當(dāng)Zb-Zg=1時,,顯然,為整數(shù),擺線輪齒廓為連續(xù)完整的曲線.由(12)式,容易得到根據(jù)以上論述,我們將少齒差擺線針輪傳動中基本幾何參數(shù)之間的關(guān)系式列表如下:2.2擺線輪齒廓的數(shù)值計算為了保證正反轉(zhuǎn)傳動特性的一致,擺線行星輪的左右齒廓應(yīng)具有對稱性.擺線輪一個輪齒的對稱中軸與擺線齒廓起始線的夾角大小?0=π/Zg,令對稱中軸的直線方程為y=kx,其斜率,所以y=xctan(π/Zg).將(10)式代入對稱中軸的直線方程,得用數(shù)值計算方法可解得上式中與對稱中軸及擺線輪齒廓的交點(即擺線輪齒頂)相對應(yīng)的?b′,令其為?max,只需在擺線輪齒廓曲線方程式中取?b′∈[0,?max],即可作出擺線輪一個輪齒一側(cè)的齒廓曲線,再根據(jù)齒廓曲線的對稱性,得到擺線輪左右齒廓曲線.需要指出的是,當(dāng)針輪和擺線輪為一齒差時,擺線輪齒廓為連續(xù)完整的變幅擺線;當(dāng)針輪和擺線輪為二齒差及其他齒差數(shù)時,擺線輪的齒廓僅為變幅擺線的一段,考慮到齒頂不能為尖點,實際的?max應(yīng)根據(jù)齒頂圓確定.2.3擺線針輪傳動的齒廓主體將嚙合函數(shù)φ(θ,θb)=K1cos(θ+θb)-cosθ=0進(jìn)行變換得針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)為取短幅系數(shù)1K=0.75,作出(17)～(19)式的函數(shù)圖像如圖2～4所示.結(jié)合圖2～4可知,針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)以2π為周期,且函數(shù)關(guān)于π點對稱.當(dāng)θb∈(0,π)時,f′(θb)?0,原函數(shù)圖像上凸,當(dāng)θb∈(π,2π)時,f′(θb)0,原函數(shù)圖像下凹,原函數(shù)分別在f′(θb)=0時(即A和B點)取得極值為針齒的嚙合端點,即針齒轉(zhuǎn)過的最大角度,說明針齒上只有一部分齒廓參與嚙合傳動.因為θ的極值點對應(yīng)于其一階導(dǎo)數(shù)f′(θb)=0的點所以擺線針輪行星傳動的針齒嚙合端點由以下方程組確定:解該方程組得由圖2可得,當(dāng)θb∈(0,π)或θb∈(π,2π)時,只要θ≠θmax,取任一θ值,均有兩個不同的θb值與其對應(yīng),即針齒齒廓上一點在傳動過程中將分別與擺線輪齒廓上的兩點(凹、凸齒)產(chǎn)生接觸.由于針齒只有一部分齒廓參與嚙合,所以針齒始終重復(fù)著由嚙合端點0°轉(zhuǎn)至θmax,再反向轉(zhuǎn)回0°的運動,在兩零點處,針齒上的這點分別與擺線輪的凸、凹齒接觸,此過程表明擺線針輪傳動過程中針齒存在兩次接觸現(xiàn)象.2.4方程中的鉤子2.4.1匹配線方程的建立擺線針輪共軛嚙合副在坐標(biāo)系OXY中的嚙合線方程由下式確定:將(1),(6)和(9)式代入上式可得其中,當(dāng)時,嚙合線方程簡化為圓的方程.2.4.2聯(lián)立針齒齒廓方程擺線針輪共軛嚙合副在坐標(biāo)系Obx1y1中的嚙合線,就是針齒上滿足嚙合函數(shù)的點的集合因此聯(lián)立針齒齒廓方程及嚙合函數(shù)即可得到所求嚙合線的方程其中(23)和(25)式等號右邊正、負(fù)號的選用方法與(14)式相同.顯然,該嚙合線就是針齒齒廓的一部分.2.5擺線針輪越界比例的確定根據(jù)齒輪嚙合原理中重合度的概念,擺線針輪行星傳動的重合度可定義為:擺線輪齒單側(cè)齒面從齒根到齒頂(?b′∈[0,?max])的嚙合過程中,同時參與嚙合的齒數(shù).由于擺線針輪行星傳動的嚙合線為曲線,計算較困難,我們將依據(jù)嚙合線所對應(yīng)的轉(zhuǎn)角計算其重合度為.式中,為嚙合線所對應(yīng)的針輪的轉(zhuǎn)角,?max由(16)式確定;,為針輪相鄰針齒之間的夾角,因此重合度計算式為當(dāng)針輪與擺線輪為一齒差時,由于,因此重合度為.當(dāng)針輪與擺線輪為二齒差時,由(16)式解得?max,將其代入計算即可三齒差的重合度計算方法與二齒差相同,其計算式為.3標(biāo)準(zhǔn)裝載量針輪齒差的橫向傳遞理論3.1齒差螺旋絲針的行駛性能3.1.1齒廓曲線方程令(10)和(11)式中的Zb-Zg=1即可得到一齒差擺線輪的齒廓曲線方程其中取代入(16)式解出,將代入(28)和(29)式,并由擺線齒廓曲線的周期性可作出如圖5所示的一齒差擺線輪齒廓曲線圖及圖6所示的一齒差擺線針輪行星傳動嚙合簡圖.3.1.2建立線性小徑形的單元令(22)和(23)式中的Zb-Zg=1,得到坐標(biāo)系OXY中的嚙合線方程其中令(24)和(25)式中的Zb-Zg=1,得到坐標(biāo)系Obx1y1中的嚙合線方程其中取與3.1.1節(jié)相同的參數(shù)作圖,得到如圖7和8所示的坐標(biāo)系OXY及Obx1y1中的嚙合線圖形.圖8中的粗實線表示作出的嚙合線,由該圖可知,針齒上僅有一部分齒廓參與嚙合,其滾動的最大角度θmax可以通過解(20)式求得.3.2齒差擺線針輪機構(gòu)及其匹配與求一齒差擺線輪齒廓曲線及嚙合線方程的方法相同,對于二齒差擺線針輪行星傳動只需將統(tǒng)一表達(dá)式中的齒差數(shù)項取2即可.需要注意的是,任何齒差數(shù)的擺線輪齒廓曲線及嚙合線方程都需根據(jù)(16)式確定的?max對其進(jìn)行限制,與一齒差表示相同,在此不再贅述,只取一例作嚙合簡圖及嚙合線圖形.取RZ=90,rZ=7,e=4,Zg=22代入(16)式解出?max=8.77°,可作出如圖9所示的二齒差擺線針輪行星傳動嚙合簡圖及圖10所示的在坐標(biāo)系OXY中的嚙合線圖形,且由(27)式可計算出其重合度為6.43.由(20)式可知少齒差擺線針輪行星傳動的針齒都具有僅一部分齒廓參與嚙合的性質(zhì),其嚙合線方程在坐標(biāo)系Obx1y1中的圖形與圖8類似.3.3齒差擺線針輪越界傳動的匹配求擺線輪齒廓曲線方程及嚙合線方程的方法與一、二齒差相同.取一例作其嚙合簡圖及坐標(biāo)系OXY中的嚙合線圖形.取RZ=90,rZ=7,e=4,Zg=33代入(16)式解出?max=5.22°,可作出如圖11所示的三齒差擺線針輪行星傳動嚙合簡圖及圖12所示的在坐標(biāo)系OXY中的嚙合線圖形,并由(27)式可得其重合度為5.74.3.4擺線輪齒廓的耦合令(10)和(11)式中的Zb-Zg=-1,且由于負(fù)齒差擺線輪齒廓曲線是其理論曲線的外等距線,因此(11)式等號右取“負(fù)”即可得到負(fù)一齒差擺線輪的齒廓曲線方程.取代入(16)式解出max?=11.25°,可作出如圖13所示的負(fù)一齒差擺線輪齒廓曲線,圖14所示的嚙合簡圖及圖15和16所示的不同坐標(biāo)系中的嚙合線圖形圖16中,粗實線部分表示作出的嚙合線.由上兩嚙合線圖形可看出,負(fù)齒差擺線輪與正齒差擺線輪不同,它的實際齒廓是其理論齒廓曲線的外等距線,同樣的,針齒上也只有一部分參與嚙合.上述嚙合理論研究揭示了擺線針輪傳動共軛嚙合的實質(zhì),其結(jié)果對于該類傳動特別是二齒或多齒差擺線針輪傳動的幾何參數(shù)設(shè)計計算、多齒差嚙合特性分析、受力計算以及擺線輪的加工等具有重要的意義.4擺線的通用方法—結(jié)論(ⅰ)根據(jù)齒輪嚙合原理的運動學(xué)方法,由針齒齒廓及給定運動建立了適用于一齒差及多齒差的擺線針輪行星傳動的嚙合函數(shù),并得到了擺線輪齒廓的統(tǒng)一方程,給出了齒廓方程參數(shù)的確定方法.(ⅱ)由擺線輪齒廓的統(tǒng)一方程,取不同參數(shù)可分別得到理論擺線、短幅外擺線、短幅內(nèi)擺線,從而提出了形成擺線的通用方法—包絡(luò)法.(ⅲ)擺線針輪行星傳動