復變函數(shù)3.1 中值定理

第三章微

分

中

值

定

理與導數(shù)的應(yīng)用羅

爾

中

值

定

理拉格朗日中值定理

推廣

泰

勒

公

式柯

西

中

值

定

理研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導數(shù)解決實際問題3.1中值定理·第3章1中值定理

3(第三節(jié))應(yīng)

用微

分

中

值

定

理一

、羅

爾(Rolle)

定

理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy

)中值定理3.1中值定理·第3章2一、羅爾(Rolle)

定理費

馬(fermat)

引理y=f(x)

在Y(xo)

有定義，且

f(x)≤f(x?),f'(x?)存

在(或≥)證：設(shè)√xo+△x∈Y(xo),f(xo+△x)≤f(xo),>f'(xo)=0證

畢3.1中值定理·第3章3>f'(xo)=0>(3)f(a)=f(b)——>

在(a,b)

內(nèi)至少存在一點ξ,使

f'(ξ)=0.證：因f(x)在[a,b]

上連續(xù)，故在[a,b]

上取得最大值M

和

最

小

值m

.若M=m,則f(x)=M,x∈[a,b],

因此

√

ξ∈(a,b),f'(ξ)=0.

3.1中值定理·第3章4羅爾

(Rolle

)定理y=f(x)

滿足：(1)在區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導若M>m,

則

M

和

m中

至

少

有

一

個

與

端

點

值

不

等

，不妨設(shè)M≠f(a),

則至少存

在

一

點ξ∈

(a,b),使f(ξ)=M,

則由費馬引理

得

f'(ξ)=0.y注

意

：1

)

定

理

條

件

條

件

不

全

具

備

，結(jié)

論

不

一

定

成

立

.

例

如

，f(x)=xx

∈[-1,1]3

.

1中

值

定

理

·

第

3

章

52)定理條件只是充分的.

本定理可推廣為y=f(x

)在(a,b)

內(nèi)可導，且limf(x)=lim

f(x)—二

>

在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使

f'(5)=0.證F(x)在

[a,b]

上滿足羅爾定理.3.1中值定理·第3章6證明提示：設(shè)f(O)=1,f(1)=-

3.由介值定理知存在

xo

∈(0,1),

使

f(xo)=

0,

即方程有小于1的正根xo.2)唯一性.假設(shè)另有x?∈(0,1),x?

≠xo,使f(x?)=0,⊙f(x)在以

xo,x?為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件，∴在xo,x?

之間

至少存在一點ξ,使f(ξ)=0

.但

f'(x)=5(x?-1)<0,x∈(0,1),

矛盾，故假設(shè)不真!例1.證明方程

x?-5x+1=0

有且僅有一個小于1的正

實

根

.證：1)存在性.設(shè)f(x)=x?-5x+1,則

f(x

)在[0,1]連續(xù)，且3.1中值定理·第3章71.設(shè)f(x)∈C[0,π],且在(0,π)內(nèi)可導，證明至少存在一點ξ∈(0,π),使

f(ξ)=-f(ξ)cotξ.提示：

由結(jié)論可知，只需證f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0設(shè)

F(x)=f(x)sin

x驗證

F(x)在[0,π]上滿足羅爾定理條件.3.1中值定理·第3章8即二、拉格朗日(Lagrange)

中值定理拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)滿足：(1)

f(x)

在

[a,b]

上連續(xù)；(2)f(x)在(a,b)

內(nèi)可導.則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點x,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)3.1中值定理·第3章9結(jié)

論

亦

可

寫

成幾

何

意

義

：在

曲

線

弧

AB

上至少有一點C,在該點處的切線平行

于

弦AB.將羅爾定理條件中去掉

f(a)=f(b),中

值

定

理得到拉格朗曰3.1中值定理·第3章11拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)

滿足：(1)

f

(x)在

[a,b]上連續(xù)；(2)

f

(x)在(a,b)

內(nèi)可導.則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點x,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)證

明

作

輔

助

函

數(shù)容易驗證，F(xiàn)(x)

滿足羅爾定理的條件，于是3ξ∈(a,b),

使3.1中值定理·第3章12拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)滿足：(1)

f

(x)

在

[a,b]上連續(xù)；(2)

f

(x)在(a,b)

內(nèi)可導.則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點x,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)證明

于是3ξ∈(a,b),

使3.1中值定理·第3章13即證作輔助函數(shù)g(x)-r(c)-r?)-dta)x,易知

g(x)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，

微分

中值定理

3.1中值定理·第3章14故在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點x,使得由此得

f(b)-f(a)=(b-a)f'(5).拉格朗日中值公式對

b<a

也

成

立

.上式也可叫做拉格朗日中值公式。也可以寫成下式f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)由于ξ∈(a,b),

因此可以將ξ表示成ξ=a+θ(b-a),0<0<1.于是，拉格朗日中值公式也可改寫成f(b)-f(a)=f'[a+0(b-a)](b-a),O<0<1.拉格朗日公式表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系3.1中值定理·第3章15拉格明日中值公式另外的表達方式：f(b)=f(a)+f(ξ)(b-a),5

介于a和b之間或

f(b)=f(a)+f'[a+θ(b-a)](b-a),0<θ<

1,特別地

，f(x?+△x)-f(x?)=f(x?+θ△x)·△x(0<θ<1)或

△y=f'(x?+θ△x)·△x(0<θ<1).增量△y的精確表達式。拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.3.1中值定理·第3章161f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)推論

如果函

數(shù)f(x)

在區(qū)間I

上的導數(shù)恒為零，

那末

f(x)

在區(qū)間I

上是一個常數(shù).證

在區(qū)間I上任取兩點x?,x?

(x?<x?)

,由拉格朗日中值定理，有由條件，則f(x?)=f(x?),

即在區(qū)間I中任意兩點的函數(shù)值都相等，所以，

f(x)=C

.3.1中值定理·第3章17例

證明當x>0

時，i+<ln(1+x)<x.證

設(shè)f(x)=In(1+x),[0,x]

關(guān)鍵f(x)

在[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，

∴f(x)-f(0)=f'(5)(x-0)

0<與<x)∴1+x<l+6<x,即3.1中值

理·第3章18定●例

證

明

：

.(0<a<b)證

令

f(x)=Inx,

在(a,

b)

上利用拉格朗日定理，a<E<b,∴3.1中值定理·第3章19即

得例

證

明aresinx+arccos.

證

：

設(shè)f(@)=arcsinO+arccosx

∈[-1,1]

由推

論∴f(x)=C,

x

∈[-1,1].

∴aresinx+arccos.類似可得：arctanx+arecot.3.1中值定理

·

第

3章

2

0,x

∈R.即●●三、柯西(Cauchy)中值定理f(x)

及F(x

)滿足：(1)在閉區(qū)間[a,b]

上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(3)在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)F'(x)≠0—>

至少存在一點ξ∈(a,b),

使分析：

F(b)-F(a)=F'(η)(b-a)≠03.1中值定理·第3章21a<η<bφ'(ξ)要

證思考：柯西定理的下述證法對嗎

?⊙f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)

兩

個ξ不

F(b)-F(a)=F'(5)(b-a),ξ∈(a,b)/

一定相同上面兩式相比即得結(jié)論.

錯

!3.1中值定理·第3章22證：

作輔助函數(shù)則p(x)

在[a,b]

上連續(xù)，在(a,b)

內(nèi)可導，且由羅爾定理知，至少存在一點ξ∈(a,b),使

φ'(ξ)=0,即yf(b)f(a)OF(a)F(ξ)f(b)-f(a)

F(b)-F(a)弦

的

斜

率f'(ξ)F'(ξ)切

線

斜

率柯西定理的幾何意義：3.1中值定理·第3章23注

意

：F(b)X例

設(shè)

f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，

證

明至少存在一點ξ∈(0,1),使

f'(ξ)=2ξ[f(1)-f(O)].證：結(jié)論可變形為設(shè)F(x)=x2,則f(x),F(x)在[0,1]上滿足柯西中值定理條件，因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點ξ,使即

f1(ξ)=2ξ[f(1)-f(O)]

3.1中值定理·第3章24分析：

sin

=

Cosln

n

3.1中值定理·第3章25例

試證至少存在

點

)使sin1=cos

lnξ.證：法1

用柯西中值定理.令f(x)=sinlnx,F(x)=lnx則f(x)

,F(x)

在

[

1

,e]

上滿足柯西中值定理條件，

S1]

coslnξ因

此即5∈(1,e)例5

.試證至少存在一點ξ∈(1,e)使

sin1=coslnξ.法

2

令

f(x)=sinlnx-sin1·ln

x則f(x)

在

[

1

,e]

上滿足羅爾中值定理條件，

因此存在

ξ∈(1,e),

使二

(in1=3.1中值定理·第3章26內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系費馬引理

f(b)=f(a)

拉

格

朗

日

中

值

定

理(x)=x羅

爾

定

理

(

)=xf(a)柯西中值定理2.

微

分

中

值

定

理

的

應(yīng)

用(1)證明恒等式

關(guān)鍵：(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論3.1中值定理·第3章27利

用

逆

向

思

維(

2

)

證

明

不

等

式

設(shè)輔助函數(shù)1.

填

空

題1)函

數(shù)f(x)=x?

在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件，則中值5=

3/2)設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),方程

f'(x)=0有

3

個根，它們分別在區(qū)間

(1,2),(2,3),(3,4)

上

.

3.1中值定理·第3章28思考與練習2.

若

f

(x)可導，試證在其兩個零點間一定有f(x)+f'(x)

的

零

點

.提示：設(shè)

f(x?)=f(x?)=0,x?

<x?,欲證：

3ξ∈(x?,x?)

,使f(ξ)+f'(ξ)=0只

要

證

e?

f(ξ)+

e?f'(ξ)=0亦

即

作輔助函數(shù)

F(x)=e*f(x),驗證

F(x)

在

[x?

,x?]上滿足羅

爾

定

理

條

件

.

3.1中值定理·第3章29當x→0+時

ξ→0+,

因此由上式得問是否可由此得出lim

cost=0?不

能

!

因

為ξ=ξ(x)是依賴于x的一個特殊的函數(shù).x→0+表示x

從右側(cè)以任意方式趨于0.3.1中值定理·第3章303.

思考：在[

0

,

上對函數(shù)應(yīng)

用

拉

格

朗

日

中

值

定

理

得f(x)-f(O)=f(ξ)(x-0),

ξ∈(0,x)即法國數(shù)學家、物理學家、天文學家.被譽為“歐洲最大的數(shù)學家”.他在方程論，解析函數(shù)論，及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻，近百余年來，數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作，他是對分析數(shù)學產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.拉

格

朗

日(1736-1813)