中學生標準學術能力診斷性測試2024屆數學高二上期末質量檢測模擬試題含解析

中學生標準學術能力診斷性測試2024屆數學高二上期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.2．如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點，則化簡的結果為（）A. B.C. D.3．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺4．若數列是等比數列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.85．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.66．已知，，若不等式恒成立，則正數的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.87．已知拋物線，為坐標原點，以為圓心的圓交拋物線于、兩點，交準線于、兩點，若，，則拋物線方程為（）A. B.C. D.8．中，，，分別為三個內角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.9．已知等差數列，，，則數列的前項和為（）A. B.C. D.10．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.11．已知函數，則的單調遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.12．在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，過雙曲線上一點作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數列滿足，則_________14．函數在處的切線與平行，則________.15．若直線與直線平行，且原點到直線的距離為，則直線的方程為____________.16．以正方體的對角線的交點為坐標原點O建立右手系的空間直角坐標系，其中，，，則點的坐標為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側面積；（2）若E為母線SA的中點，求二面角E-CD-B的大小.（結果用反三角函數值表示）18．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上任意兩點，為坐標原點，且以為直徑的圓經過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值19．（12分）已知的三個內角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若，，，求的長.20．（12分）已知的內角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.21．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數；（3）根據交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時速10%以內（含10%）不罰款，超過時速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.22．（10分）已知函數，其中為實數.（1）若函數的圖像在處的切線與直線平行，求函數的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】構造利用導數判斷函數在上單調遞減，利用單調性比較大小【詳解】設恒成立，函數在上單調遞減，.故選：B2、C【解析】根據向量的加法和數乘的幾何意義，即可得到答案；【詳解】故選：C3、B【解析】設影長依次成等差數列，公差為，根據題意結合等差數列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.4、C【解析】根據等比數列的性質，由題中條件，求出，即可得出結果.【詳解】因為數列是等比數列，由，得，所以，因此.故選：C.5、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.6、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到關于的不等式，求解，即可得出結論.【詳解】，因為不等式恒成立，所以，即，解得，所以.故選:B.【點睛】本題考查基本不等式的應用，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.7、C【解析】設圓的半徑為，根據已知條件可得出關于的方程，求出正數的值，即可得出拋物線的方程.【詳解】設圓的半徑為，拋物線的準線方程為，由勾股定理可得，因為，將代入拋物線方程得，可得，不妨設點，則，所以，，解得，因此，拋物線的方程為.故選：C.8、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.9、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數列的前n項和.【詳解】因為等差數列，，，所以，所以，所以數列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.10、A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題11、D【解析】利用導數分析函數單調性【詳解】的定義域為，，令，解得故的單調遞增區(qū)間為故選：D12、A【解析】根據條件可知四邊形為正方形，從而根據邊長相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設在第一象限，則，根據題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、84【解析】設公比為q，求出，再由通項公式代入可得結論【詳解】設公比為q，則，解得所以故答案為：8414、2【解析】由得出的值.【詳解】因為函數在處的切線與平行所以，故故答案為：215、【解析】可設直線的方程為，利用點到直線的距離公式求得，即可得解.【詳解】可設直線的方程為，即，則原點到直線的距離為，解得，所以直線的方程為.故答案為：.16、【解析】根據已知點的坐標，確定出坐標系即可得【詳解】如圖，由已知得坐標系如圖所示，軸過正方形的對角線交點，軸過中點，軸過中點，因此可知坐標為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先根據母線與底面的夾角求出圓錐的母線長，然后根據圓錐的側面積公式即可（2）利用三角形的中位線性質，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補關系即可求得【小問1詳解】根據母線SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側面積為：【小問2詳解】如圖所示，過點作底面的垂線交于，連接，則為的中位線則有：，，易知，則，又直徑AB與直徑CD垂直，則則有：為二面角可得：又二面角與二面角互為補角，則二面角的余弦值為故二面角大小為18、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯立方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，將題目轉化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將圓過原點轉化為是解題的關鍵.19、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化邊為角后，結合兩角和的正弦公式、誘導公式可求得；（2）用表示出，然后平方由數量積的運算求得向量的模（線段長度）【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，即，因為，所以，，∵，故；（2）由，得，所以，所以.20、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小問2詳解】根據題意，得，由余弦定理，得，即，整理得，當且僅當時，取等號，所以的最大值為所以.所以的周長的最大值為

.21、（1）（2）（3）【解析】（1）根據已知條件，結合頻率與頻數的關系，即可求解（2）根據已知條件，結合中位數公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結合古典概型的概率公式，即可求解【小問1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時之間的頻率為，所以，解得【小問2詳解】解：設這輛小汽車車速的中位數為，則，解得小問3詳解】解：由交通法則可知，小車速度在66公里小時以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在之間有輛，由統計