重慶南開(kāi)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

重慶南開(kāi)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里2．某商場(chǎng)開(kāi)通三種平臺(tái)銷(xiāo)售商品，五一期間這三種平臺(tái)的數(shù)據(jù)如圖1所示．該商場(chǎng)為了解消費(fèi)者對(duì)各平臺(tái)銷(xiāo)售方式的滿(mǎn)意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進(jìn)行滿(mǎn)意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示．下列說(shuō)法正確的是（）A.樣本中對(duì)平臺(tái)一滿(mǎn)意的消費(fèi)者人數(shù)約700B.總體中對(duì)平臺(tái)二滿(mǎn)意的消費(fèi)者人數(shù)為18C.樣本中對(duì)平臺(tái)一和平臺(tái)二滿(mǎn)意的消費(fèi)者總?cè)藬?shù)為60D.若樣本中對(duì)平臺(tái)三滿(mǎn)意消費(fèi)者人數(shù)為120，則3．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.相交C.相離 D.不確定4．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為（）A. B.C. D.5．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.6．過(guò)點(diǎn)（-2，1）的直線(xiàn)中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長(zhǎng)的直線(xiàn)的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=07．為調(diào)查學(xué)生的課外閱讀情況，學(xué)校從高二年級(jí)四個(gè)班的182人中隨機(jī)抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)數(shù)分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，28．已知雙曲線(xiàn)離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.9．已知橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.10．設(shè)函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.11．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.12．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對(duì)該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿(mǎn)足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門(mén)隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿(mǎn)意程度學(xué)生族上班族退休族滿(mǎn)意一般不滿(mǎn)意記滿(mǎn)分為分，一般為分，不滿(mǎn)意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿(mǎn)意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，若，則______.14．已知滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)__________15．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______16．圓關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離為，求直線(xiàn)l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)恰過(guò)點(diǎn)M，求證：線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值18．（12分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，（1）求異面直線(xiàn)所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值19．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)恒成立．求正整數(shù)m的最大值20．（12分）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）有一種魚(yú)的身體吸收汞，當(dāng)這種魚(yú)身體中的汞含量超過(guò)其體重的1.00ppm（即百萬(wàn)分之一）時(shí)，人食用它，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害．現(xiàn)從一批該魚(yú)中隨機(jī)選出30條魚(yú)，檢驗(yàn)魚(yú)體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并估計(jì)這批魚(yú)該項(xiàng)數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）有A，B兩個(gè)水池，兩水池之間有8個(gè)完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過(guò)2條魚(yú)①將其中汞的含量最低的2條魚(yú)分別放入A水池和B水池中，若這2條魚(yú)的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚(yú)最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚(yú)都先放入A水池中，若這2條魚(yú)均會(huì)獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由A水池進(jìn)入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚(yú)由不同小孔進(jìn)入B水池的概率22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B2、C【解析】根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【詳解】對(duì)于A：樣本中對(duì)平臺(tái)一滿(mǎn)意的人數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：總體中對(duì)平臺(tái)二滿(mǎn)意的人數(shù)約為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：樣本中對(duì)平臺(tái)一和平臺(tái)二滿(mǎn)意的總?cè)藬?shù)為：，故選項(xiàng)C正確：對(duì)于D：對(duì)平臺(tái)三的滿(mǎn)意率為，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C3、B【解析】直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，而此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可得直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，而，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為相交，故選：B.4、C【解析】求出兩次取球都沒(méi)有取到3的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的事件M，其對(duì)立事件是兩次都沒(méi)有取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為.故選：C5、C【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C6、A【解析】當(dāng)直線(xiàn)被圓截得的最弦長(zhǎng)最大時(shí)，直線(xiàn)要經(jīng)過(guò)圓心，即圓心在直線(xiàn)上，然后根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得所求【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為∵直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最大，∴直線(xiàn)過(guò)圓心，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（-2，1），所以所求直線(xiàn)的方程為，即故選：A7、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機(jī)剔除人.故選：A.8、C【解析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線(xiàn)C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意故選：C9、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)有，求解即可.【詳解】由題設(shè)，，整理得，可得.故選：B10、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)方程為，即，故選：A11、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D12、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿(mǎn)意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，由向量坐標(biāo)表示，列出方程，求出，，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，若，則，解得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量坐標(biāo)表示求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】根據(jù)題意，作出可行域，進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.【詳解】解：作出可行域如圖，將變形為，所以根據(jù)幾何意義，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最小值，所以聯(lián)立方程得，所以的最小值為故答案為：15、【解析】求得的垂直平分線(xiàn)的方程，在求得垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則問(wèn)題得解.【詳解】線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，故線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即.線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，故線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程的求解，直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.16、【解析】先將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得圓心坐標(biāo)(2,2)和半徑2，然后可根據(jù)直線(xiàn)的位置直接看出(2,2)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而寫(xiě)出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為原點(diǎn),所以所求對(duì)稱(chēng)圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】（1）設(shè)出直線(xiàn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得直線(xiàn)；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線(xiàn)垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）由條件知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為，則直線(xiàn)l的方程為：，即從而焦點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為，平方化簡(jiǎn)得：，故直線(xiàn)斜率為：.（2）證明：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，消元得：設(shè)，，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為，故因?yàn)椋瑢點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)中的定值問(wèn)題，涉及直線(xiàn)方程的求解，韋達(dá)定理，屬綜合基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo),求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一個(gè)法向量,利用向量夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以，所以直線(xiàn)所成角的余弦值為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)為平面的一個(gè)法向量，,則m?，同理,則,可取平面的一個(gè)法向量為，則,由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19、（1）；（2）2021.【解析】（1）求出公比和首項(xiàng)即可.(2)利用錯(cuò)位相減法，求出，再作差求出遞增，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足：，所以，設(shè)的公比為q，可得，又，即，解得，所以；（2），，，上面兩式相減可得，化簡(jiǎn)可，因?yàn)?，所以遞增，最小，且為所以，解得，則m的最大值為202120、（1）；（2）.【解析】（1）由遞推式可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再由累加法求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】由可得：，又，，∴，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴.∴.【小問(wèn)2詳解】∵，∴∴.21、（1）眾數(shù)為0.82，8％分位數(shù)約為1.34（2）①；②【解析】（1）根據(jù)題中表格數(shù)據(jù)即可求得答案；（2）①兩條魚(yú)有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根據(jù)互斥事件的概率結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算求得答案；②先求出這兩條魚(yú)由同一個(gè)小孔進(jìn)入B水池的概率，然后根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算方法，求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82，估計(jì)這批魚(yú)該項(xiàng)數(shù)據(jù)的80％分位數(shù)約為【小問(wèn)2詳解】①記“兩魚(yú)最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚(yú)最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚(yú)最終在同一水池的概率為②記“兩魚(yú)同時(shí)從第一個(gè)小孔通過(guò)”為事件，“兩魚(yú)同時(shí)從第二個(gè)小孔通過(guò)”為事件，…依次類(lèi)推，而兩魚(yú)的游動(dòng)獨(dú)立，∴，記“兩條魚(yú)由不同小孔進(jìn)入B水池”為事件C，則C與對(duì)立，又由事件，事件，…，事件互斥，∴，即22、（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線(xiàn)方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根