階段測試四（學(xué)生版）

階段測試四考查范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、復(fù)數(shù)、立體幾何與空間向量、平面解析幾何一、單選題（本大題共8小題，共分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知平面，直線m，n滿足，，則是的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.如圖，圓心為C的圓的半徑為r，弦AB的長度為4，則(

)

A.2r B.4r C.4 D.83.平面直角坐標(biāo)系中，、，動點P滿足，則使為等腰三角形的點P個數(shù)為.(

)A.0 B.2 C.3 D.44.已知，是雙曲線的兩個焦點，R是C上的一點，且，，C經(jīng)過點，則C的實軸長為(

)A. B. C.6 D.35.如圖1，在高為h的直三棱柱容器中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為如圖，則容器的高h為(

)

A.

B.3 C.4 D.66.已知，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.

C. D.7.已知拋物線C：的焦點為F，點是拋物線C上一點，以點M為圓心的圓與直線交于E，G兩點，若，則拋物線C的方程是(

)A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)若關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的解，，則的值為(

)A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，共分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知經(jīng)過點的圓C的圓心坐標(biāo)為為整數(shù)，且與直線l：相切，直線m：與圓C相交于A、B兩點，下列說法正確的是(

)A.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

B.若，則實數(shù)a的值為

C.若，則直線m的方程為或

D.弦AB的中點M的軌跡方程為10.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，且，數(shù)列的前n項和為，則正確的選項是(

)

A. B.

C. D.11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點，直線l與橢圓C交于A，B兩點，則(

)A.的最大值為16

B.的內(nèi)切圓半徑

C.的最小值為7

D.若M為AB的中點，則直線l的方程為12.如圖的六面體中，，，則(

)

A.平面ABC B.

C.AC與BE所成角的大小為 D.該六面體外接球的表面積為三、填空題（本大題共4小題，共分）13.復(fù)數(shù)z滿足，則__________.14.已知，則的值是__________.15.已知函數(shù)，若存在三個不相等的實數(shù)a，b，c，使得成立，則abc的取值范圍是__________.16.雙曲線：且，點在雙曲線上，由向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，設(shè)的面積為，則__________；__________.四、解答題（本大題共6小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分

在①，②，這兩個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前n項和為已知，__________.

求數(shù)列的通項公式;

設(shè)，，求18.本小題分在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知邊，且求面積的最大值；設(shè)當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時的內(nèi)角C為，已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個零點和兩個極值點，求的取值范圍．19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，，點M、N、Q分別為OA、BC、CD的中點．

證明：平面OAQ；

求點D到平面AMN的距離．20.本小題分若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：，，分別為橢圓的左，右頂點．橢圓以線段為短軸且與橢圓為“相似橢圓”．求橢圓的方程；設(shè)P為橢圓上異于，的任意一點，過P作軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓于點求證：21.本小題分已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性設(shè)，，若時，取極小值，證明：22.本小題分

已知拋物線E：，過點作斜率互為相反數(shù)的直線m，n，分別交拋物線E于A，B及C，D兩點.

若，求直線AB的方程；

求證：

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：若，，且，則一定有，但若，，且，則m與n有可能異面，“”是“”的充分不必要條件．故選2.【答案】D

【解析】解：如圖，

過點C作，垂足為E，所以E為AB中點，

則，，故故選3.【答案】D

【解析】解：設(shè)，，，

整理得，記為圓

，

若為等腰三角形，則有或

圓與圓M相交，故滿足點P有2個;

圓與圓M相交，故滿足點P有2個，

故使為等腰三角形的點P共有4個，故選D選項.4.【答案】B

【解析】解：由題意，結(jié)合，不妨設(shè)，，

由雙曲線定義有，即，

在中，由余弦定理有：，

結(jié)合，即可得，

又點在雙曲線上，則有，

結(jié)合，可解得，即實軸長為，

故選5.【答案】B

【解析】解：由圖2知：，其中h表示三棱柱的高，故，因此可知無水部分體積與有水部分體積比為，所以圖1中高度比為，得故選：6.【答案】B

【解析】解：由題設(shè)

，

，所以

，故A錯；

且

，而

，故B對；

，故C錯；

，設(shè)

，則

，則

在

上遞增，所以

，故D錯.故選：7.【答案】C

【解析】解：畫出圖形如圖所示，作，垂足為D，

由題意得點，在拋物線上，則，①

由拋物線的性質(zhì)，可知，

因為，所以，

所以，解得，②

由①②解得舍去或

故拋物線C的方程為故選：8.【答案】B

【解析】解：函數(shù)的圖象左平移個單位長度后，

得到的圖象;

對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，

，，即，

又，即

函數(shù)，

關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的解，，

即在內(nèi)有兩個不同的解，，

即在內(nèi)有兩個不同的解，，

即其中，，，為銳角，則，

在內(nèi)有兩個不同的解，，

即方程在內(nèi)有兩個不同的解，

則有，，

，

則，，故選9.【答案】BC

【解析】解：對于A，設(shè)圓C的半徑為，又圓C的圓心坐標(biāo)為為整數(shù)，

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為為整數(shù)，

點是圓C上的點，且圓C與直線相切，

則，解得或舍去，

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯誤;

對于B，由選項A知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，

點在圓C上，且，

線段AB為圓C的直徑，

直線與圓C相交于A、B兩點，

圓心在直線m上，

則，解得，故B正確;

對于C，由選項A知圓C的半徑為2，圓心，

則圓心C到直線m的距離，

由，即，解得，

，整理得，解得或，

則直線m的方程為或，故C正確;

對于D，直線m的方程可化為，易知其過定點，

又點M為弦AB的中點，由圓的性質(zhì)可得，

點M的軌跡是以線段CN為直徑的圓，

則此圓圓心為線段CN的中點，其坐標(biāo)為，半徑為，

則該圓的方程為，

由，解得或，

可得兩圓的交點坐標(biāo)為與，

故弦AB的中點M的軌跡方程為，故D錯誤.故選10.【答案】BC

【解析】解：由題意可知：

，

于是有

，顯然可得：

，

，

因此選項A不正確，選項B正確；當(dāng)

時，

，顯然

適合上式，

，因此選項D不正確；

，

，因此選項C正確，故選：11.【答案】AC

【解析】解：對于選項A，由橢圓的定義可得，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

即的最大值為16，

即選項A正確；

對于選項B，由橢圓的定義可得的周長為，

又的面積的取值范圍為

則則

即選項B錯誤；

對于選項C，由橢圓的定義可得，則，

又，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、三點共線時取等號，

即，即，

即的最小值為7，即選項C正確；

對于選項D，設(shè)，，則，，

又由題意有，，

則兩式相減可得，

即M為AB的中點時，直線l的方程為，

即，即選項D錯誤，故選：12.【答案】ABD

【解析】解：因為，，

所以，，

即，，又，CA，平面ABC，

所以平面ABC，故A正確；

因為，所以，

因為平面ABC，，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，所以四面體是正三棱錐，

因為，所以四面體是正四面體，

在正三棱錐中過點C作底面的垂線，垂足為正三角形ABD的中心G，

同理，在正四面體中，過頂點E作底面的垂線，垂足為正三角形ABD的中心G，

所以，C、G、E三點共線：因為，，，

因為G是正三角形ABD的中心，所以，

設(shè)，，因為在正四面體中，，

在正三棱錐中，，所以，解得，

所以，所以，又，

所以，，故AC與BE所成角的大小為，故C錯誤;

因為，所以，故B正確;

顯然，該六面體外接球的球心位于線段CE的中點，

因為，所以六面體外接球的半徑，

所以該六面體外接球的表面積為，故D正確.故選：13.【答案】1

【解析】解：，

故答案為：14.【答案】

【解析】解：由，得，

，解得或

當(dāng)時，，

，

；

當(dāng)時，，，

綜上，的值是故答案為：15.【答案】，5

【解析】解：，定義域為R，

則，

令，則或，

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

因為，，，，

所以函數(shù)的大致圖象如圖：

令，解得，，，

若存在三個不相等的實數(shù)a，b，c，使得成立，

不妨設(shè)，則，，，

且當(dāng)時，，且，，此時，此時，

且當(dāng)時，，且，，此時，此時，

則，

故答案為16.【答案】

；

【解析】解：雙曲線且的漸近線方程為，，

設(shè)，可得，，

則，

可得

故答案為；17.【答案】解：若選①，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，，解得或，，

若選②，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，由可得，，，，，

由知，，，兩式相減得，18.【答案】解：法一：由得：，即，則頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓除去長軸的兩個端點，

易知當(dāng)頂點C為橢圓的短軸的端點時的面積最大，此時，是等邊三角形.

所以

法二：由得：，

，

，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

此時是等邊三角形，的面積的最大值為

在區(qū)間上恰有三個零點和兩個極值點，

，

故的取值范圍為

19.【答案】證明：由題意可知AO、AB、AD兩兩垂直，以點A為坐標(biāo)原點，AB、AD、AO所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，從而可得以下各點的坐標(biāo)．

，，，，

，，，

則，，，

因為，所以，即，

因為底面ABCD，底面ABCD，所以，

因為，平面OAQ，平面OAQ，所以平面

解：設(shè)平面AMN的法向量為，

則，即，

令，可得平面DMN的法向量，

故點D到平面DMN的距離

20.【答案】解：由橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的方程為，且，

因為兩個橢圓“相似橢圓”，可得，解得，

所以橢圓的方程為

證明：不妨設(shè)，其中，則，可得，

把代入橢圓，可得，所以，

所以，

所以

所以

21.【答案】解：由函數(shù)知，定義域為，

，

當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增