兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)

完成，類類相加

完成，步步相乘不同點(diǎn)每類方案中的每一種方法

獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法

獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整分類分步都能都不能知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用解決較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般要將兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用.使用時(shí)要做到目的明確，層次分明，先后有序，還需特別注意以下兩點(diǎn)：(1)合理分類，準(zhǔn)確分步：處理計(jì)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)扣緊兩個(gè)原理，根據(jù)具體問(wèn)題首先弄清楚是“

”還是“

”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn).分類時(shí)需要滿足兩個(gè)條件：①類與類之間要_____(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn).分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分析，必須做到步與步之間互相獨(dú)立，互不干擾，并確保連續(xù)性.分類分步互斥(2)特殊優(yōu)先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過(guò)程中的主次思想.預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.甲、乙、丙三人站隊(duì)，其中甲站在最左端，則不同的站法種數(shù)為____.22.一個(gè)三位數(shù)的密碼，每一位都由0～4的5個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成，則不同的密碼種數(shù)為_____.1253.從1,2,3,4,5,6中選取3個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有_____個(gè).1204.已知集合A＝{－2,0,1,2}，m，n∈A，使點(diǎn)P(m，n)在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有____個(gè).72.從1,2,3,4,7,9六個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)不同數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值的個(gè)數(shù)有多少？答(1)當(dāng)取的兩數(shù)中有1時(shí)，且1只能為真數(shù)，此時(shí)不管取哪一個(gè)數(shù)為底數(shù)對(duì)數(shù)的值都為0.(2)當(dāng)兩數(shù)都不取1時(shí)，分兩步：①取底數(shù)，5種；②取真數(shù)，4種.其中l(wèi)og23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴即所有不同的對(duì)數(shù)的值的個(gè)數(shù)為1＋5×4－4＝17.要點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用例1數(shù)字不重復(fù)的四位偶數(shù)共有多少個(gè)？解(1)0在末位時(shí)，十、百、千分別有9,8,7種排法，共有9×8×7＝504(個(gè)).(2)0不在末位時(shí)，2,4,6,8中的一個(gè)在末位，有4種排法，首位有8種(0除外)，其余兩位分別有8,7兩種排法.∴共有4×8×8×7＝1792(個(gè)).由(1)(2)知，共有符合題意的偶數(shù)為504＋1792＝2296(個(gè)).跟蹤演練1用0,1，…，9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)：(1)三位整數(shù)？(2)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？(3)小于500的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？解由于0不可在最高位，因此應(yīng)對(duì)它進(jìn)行單獨(dú)考慮.(1)百位數(shù)字有9種選擇，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字都各有10種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)共有9×10×10＝900(個(gè)).(2)由于數(shù)字不可重復(fù)，可知百位數(shù)字有9種選擇，十位數(shù)字也有9種選擇，但個(gè)位數(shù)字僅有8種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)共有9×9×8＝648(個(gè)).(3)百位數(shù)字只有4種選擇，十位數(shù)字有9種選擇，個(gè)位數(shù)字有8種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)共有4×9×8＝288(個(gè)).要點(diǎn)二抽取(分配)問(wèn)題例2高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有(

)A.16種

B.18種C.37種

D.48種解析方法一(直接法)以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為三類：第一類，三個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外三個(gè)工廠，其分配方案共有3×3＝9(種)；第三類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他三個(gè)工廠，其分配方案共有3×3×3＝27(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(種).方法二(間接法)先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即：4×4×4－3×3×3＝37(種)方案.答案C規(guī)律方法解決抽取(分配)問(wèn)題的方法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用例舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.要點(diǎn)三涂色問(wèn)題例3一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.(1)如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a1，a2，a3，有多少種不同的種植方法？解如題圖1，先對(duì)a1部分種植，有3種不同的種植方法，再對(duì)a2，a3種植.因?yàn)閍2，a3與a1不同顏色，a2，a3也不同，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得3×2×1＝6(種).(2)如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a1，a2，a3，a4，有多少種不同的種植方法？解如圖2，當(dāng)a1，a3不同色時(shí)，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當(dāng)a1，a3同色時(shí)，有3×2×2×1＝12(種)種植方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6＋12＝18(種)種植方法.規(guī)律方法(1)涂色問(wèn)題的基本要求是相鄰區(qū)域不同色，但是不相鄰的區(qū)域可以同色.解決此類問(wèn)題要特別關(guān)注圖形的結(jié)構(gòu)特征.如果圖形不很規(guī)則，往往從某一塊出發(fā)進(jìn)行分步涂色，從而選用分步乘法計(jì)數(shù)原理；如果圖形具有一定的對(duì)稱性，那么先對(duì)涂色方案進(jìn)行分類，每一類再進(jìn)行分步.(2)涂色問(wèn)題往往涉及兩計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，因此，要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，兼顧條件的情況下分步涂色.要點(diǎn)四種植問(wèn)題例4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.解方法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2×1＝6(種)不同種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2×1＝6(種)不同種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同種植方法24－6＝18(種).規(guī)律方法按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生過(guò)程分步是計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本思想方法，區(qū)分“分類”與“分步”的關(guān)鍵，是驗(yàn)證所提供的某一種方法是否完成了這件事情，分類中的每一種方法都完成了這件事情，而分步中的每一種方法不能完成這件事情，只是向事情的完成邁進(jìn)了一步.例1中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種生物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有A.30種

B.50種

C.60種

D.90種一、有限制條件的計(jì)數(shù)問(wèn)題√解析①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有1×2×10＝20(種)，②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種).反思感悟解決有限制條件的計(jì)數(shù)問(wèn)題的策略有限制條件的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一是直接法，從限制條件出發(fā)，即特殊優(yōu)先原則，優(yōu)先安排有限制條件的，通常適用于“分類”較少的時(shí)候；二是間接法，先不考慮限制條件計(jì)數(shù)，再減去不符合條件的，適用于“分類”較多的時(shí)候.跟蹤訓(xùn)練1高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有A.16種 B.18種

C.37種 D.48種√解析方法一

(直接法)以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為三類：第一類，三個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外三個(gè)工廠，其分配方案共有3×3＝9(種)；第三類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他三個(gè)工廠，其分配方案共有3×3×3＝27(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(種).方法二

(間接法)先計(jì)算3個(gè)班級(jí)自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即4×4×4－3×3×3＝37(種)方案.例2

用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字：(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？二、組數(shù)問(wèn)題解三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個(gè)).(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？解三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個(gè)).(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法.即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問(wèn)題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.跟蹤訓(xùn)練2如果一個(gè)三位正整數(shù)a1a2a3，滿足a1<a2且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為A.240 B.204C.729 D.920√解析按照十位數(shù)的情況分8類進(jìn)行討論：當(dāng)十位數(shù)為2時(shí)，百位數(shù)只能選1，個(gè)位數(shù)可選1和0，有1×2＝2(個(gè))凸數(shù)；當(dāng)十位數(shù)為3時(shí)，百位數(shù)有2種選擇，個(gè)位數(shù)有3種選擇，有2×3＝6(個(gè))凸數(shù)；同理可得，當(dāng)十位數(shù)為4時(shí)，有3×4＝12(個(gè))凸數(shù)；當(dāng)十位數(shù)為5時(shí)，有4×5＝20(個(gè))凸數(shù)；當(dāng)十位數(shù)為6時(shí)，有5×6＝30(個(gè))凸數(shù)；當(dāng)十位數(shù)為7時(shí)，有6×7＝42(個(gè))凸數(shù)；當(dāng)十位數(shù)為8時(shí)，有7×8＝56(個(gè))凸數(shù)；當(dāng)十位數(shù)為9時(shí)，有8×9＝72(個(gè))凸數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))凸數(shù).例3

將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？三、涂色問(wèn)題1234解方法一

第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4×3＝12(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.1234方法二

以需要的顏色分類，分三類.第一類，需4種顏色，即每塊各涂1種顏色，共有5×4×3×2＝120(種)方法.第二類，需3種顏色，即把4塊分三組.1,4各一組，2和3一組或2,3各一組，1和4一組，共有5×4×3＋5×4×3＝120(種)方法.第三類，需2種顏色，即把4塊分兩組，1與4一組，2與3一組，共有5×4＝20(種)方法，綜上共有120＋120＋20＝260(種)不同的方法.1234反思感悟涂色問(wèn)題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，有幾種常用方法(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問(wèn)題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，求不同的染色方法.解由題意知，四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法.當(dāng)S，A，B染色確定時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，當(dāng)S，A，B染法確定時(shí)，C，D有7種染法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的染色方法有60×7＝420(種).3隨堂演練PARTTHREE1.小張等4位同學(xué)報(bào)名參加A，B，C三個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，且小張不能報(bào)A小組，則不同的報(bào)名方法有A.27種

B.36種

C.54種

D.81種12345√解析小張的報(bào)名方法有2種，其他3位同學(xué)各有3種，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2×3×3×3＝54(種)不同的報(bào)名方法.2.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)是A.5 B.12 C.15 D.412345√解析當(dāng)x＝1時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3,4,5，有6種情況；當(dāng)x＝2時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3,4，有5種情況；當(dāng)x＝3時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3，有4種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的(x，y)的個(gè)數(shù)為6＋5＋4＝15.3.從1,3,5,7,9中選2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中選1個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，則滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A.100 B.80 C.75 D.6012345√解析第一步，從0,2,4,6中選一個(gè)數(shù)字放在個(gè)位，有4種方法.第二步，從1,3,5,7,9中選2個(gè)數(shù)字放百位和十位，有5×4＝20(種)方法，所以共有4×20＝80(個(gè)).123454.現(xiàn)有5名醫(yī)生，10名護(hù)士，4名麻醉師，從這些人中選出1名醫(yī)生，1名護(hù)士和1名麻醉師組成1個(gè)醫(yī)療小組，其中醫(yī)生甲不參加醫(yī)療小組，麻醉師乙參加醫(yī)療小組，則不同的方案種數(shù)為____.40解析第一步，選一名醫(yī)生，有4種，第二步，選一名護(hù)士，有10種，第三步，選一名麻醉師，有1種.故共有4×10×1＝40(種)不同的方案.123455.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_____種.(用數(shù)字作答)750解析把4個(gè)格子從左至右依次記為ABCD，第一步，A涂色有6種方法，第二步，B涂色有5種方法，第三步，C涂色有5種方法，第四步，D涂色有5種方法.所以共有6×5×5×5＝750(種)不同的涂色方法.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)有限制條件的計(jì)數(shù)問(wèn)題.(2)組數(shù)問(wèn)題.(3)涂色問(wèn)題.2.方法歸納：分類討論法、列舉法、間接法.3.常見誤區(qū)：在分類討論計(jì)數(shù)時(shí)，容易重復(fù)計(jì)數(shù)或遺漏計(jì)數(shù),如組數(shù)時(shí)，首位不能為0易忽視.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A.15 B.12 C.10 D.5基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析分三類：第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè).2.古人用天干、地支來(lái)表示年、月、日、時(shí)的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，可配成的組數(shù)為A.22 B.55 C.60 D.6512345678910111213141516√解析分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果.第二類也有30組不同的結(jié)果，共可得到30＋30＝60(組).3.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法有A.24種 B.18種

C.12種 D.6種12345678910111213141516√解析第一步，種黃瓜有3種方法，第二步，從白菜、油菜、扁豆3種品種中選2種，種在兩塊不同的土地上，有3×2＝6(種)方法.故共有3×6＝18(種)不同的種植方法.4.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)).若某車主第1個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有A.180種

B.360種

C.720種

D.960種12345678910111213141516√解析按照車主的要求，從左到右第1個(gè)號(hào)碼有5種選法，第2個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余3個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此共有5×3×4×4×4＝960(種)情況.5.三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過(guò)3次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有A.1種

B.2種

C.4種

D.6種√12345678910111213141516解析畫出樹形圖如圖所示：所以經(jīng)過(guò)三次后，毽子又踢回甲，有2種不同的傳遞方法.6.若三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4，另外兩邊長(zhǎng)分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有_____.1234567891011121314151610個(gè)解析當(dāng)b＝1時(shí)，c＝4；當(dāng)b＝2時(shí)，c＝4,5；當(dāng)b＝3時(shí)，c＝4,5,6；當(dāng)b＝4時(shí)，c＝4,5,6,7，故共有10個(gè)這樣的三角形.123456789101112131415167.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的情況有___種.20解析因?yàn)檎麛?shù)m，n滿足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(種)，其中m，n都取到奇數(shù)的情況有4×5＝20(種).123456789101112131415168.五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案有____種.96解析完成承建任務(wù)可分五步：第一步，安排1號(hào)有4種；第二步，安排2號(hào)有4種；第三步，安排3號(hào)有3種；第四步，安排4號(hào)有2種；第五步，安排5號(hào)有1種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×4×3×2×1＝96(種).123456789101112131415169.用0,1,2,3，…，9十個(gè)數(shù)字：(1)可以組成多少個(gè)十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)？解分類討論，按十位數(shù)字為1,2,3，…，9，分9類討論，共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(個(gè)).所以能組成45個(gè)十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù).12345678910111213141516(2)可以組成多少個(gè)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解用0,1,2…9十個(gè)數(shù)字，能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，故有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè)).1234567891011121314151610.用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆.問(wèn)：該板報(bào)有多少種書寫方案？12345678910111213141516解分四步，第一步“英語(yǔ)角”用的粉筆顏色有6種不同的選法；第二步，“語(yǔ)文學(xué)苑”用的粉筆顏色與“英語(yǔ)角”不同，有5種不同的選法；第三步,“理綜視界”用的粉筆顏色與“英語(yǔ)角”和“語(yǔ)文學(xué)苑”都不同，有4種不同的選法；第四步，“數(shù)學(xué)天地”用的粉筆顏色只要與“理綜視界”不同即可，有5種不同的選法；故共有6×5×4×5＝600(種)不同的書寫方案.11.若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)時(shí)不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”.例如：因?yàn)?2＋33＋34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，所以32是“開心數(shù)”；因?yàn)?3＋24＋25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，所以23不是“開心數(shù)”.那么小于100的“開心數(shù)”的個(gè)數(shù)為A.9 B.10 C.11 D.12綜合運(yùn)用12345678910111213141516√12345678910111213141516解析若“開心數(shù)”為個(gè)位數(shù)，則“開心數(shù)”為0,1,2共3種，若“開心數(shù)”為兩位數(shù)，則十位數(shù)字只能從1,2,3中選取，個(gè)位數(shù)字只能從0,1,2中選取，故共有3×3＝9(種).綜上，共有3＋9＝12(個(gè))“開心數(shù)”.12.將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有A.12種

B.18種

C.24種

D.36種√12345678910111213141516解析先排第一列，因?yàn)槊苛械淖帜富ゲ幌嗤?，因此共?×2×1＝6(種)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1種排法，所以共有6×2×1＝12(種)不同的排法.1234567891011121314151613.用0,1,2,3,4