天津市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題

天津市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題一、中考幾何壓軸題1．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長．2．如圖1，在中，，點(diǎn)P在斜邊上，點(diǎn)D?E?F分別是線段??的中點(diǎn)，易知是直角三角形．現(xiàn)把以點(diǎn)P為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中．連接??．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，可以發(fā)現(xiàn)____________；（2）類比探究如圖3，中，于點(diǎn)P，請判斷與的大小，結(jié)合圖2說明理由；（3）拓展提高在（2）的條件下，如果，且，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)C?D?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形與以點(diǎn)B?E?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形都是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段??的長．3．（發(fā)現(xiàn)問題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線和直線交于點(diǎn)①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、之間的數(shù)量關(guān)系．4．類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整．原題：如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，的延長線交射線于點(diǎn)．若，求的值．（1）嘗試探究在圖1中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則和的數(shù)量關(guān)系是_________，和的數(shù)量關(guān)系是_________，的值是_________．（2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_________（用含有的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點(diǎn)是的延長線上的一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．若，，，則的值是________（用含、的代數(shù)式表示）．5．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接、，的值為______；（類比探究）（2）如圖2所示，在（1）的條件下，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的值會(huì)發(fā)生改變嗎？說明你的理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，在鈍角中，，，點(diǎn)在邊的延長線上，，連接．將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，連接，則______（請用含有，的式子表示）．6．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請直接寫出線段OP長度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．7．問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．8．（1）（操作）如圖，請用尺規(guī)作圖確定圓的圓心，保留作圖痕跡，不要求寫作法；（2）（探究）如圖，若（1）中的圓的半徑為2，放入平面直角坐標(biāo)系中，使它與軸，軸分別切于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與圓有唯一公共點(diǎn)（與不重合）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）（拓展）如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），過點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓，交第一象限角平分線于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，求出此時(shí)，并探索在變化過程中的值有變化嗎？為什么？9．（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系為______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_______．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進(jìn)行說明．（3）（解決問題）如圖③，在正方形中，，點(diǎn)M為直線上異于B，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)N為正方形的中心，連接，若，直接寫出的長．10．（閱讀理解）定義：如果四邊形的某條對角線平分一組對角，那么把這條對角線叫“協(xié)和線”，該四邊形叫做“協(xié)和四邊形”．（深入探究）（1）如圖1，在四邊形中，，，請說明：四邊形是“協(xié)和四邊形”．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖2，四邊形是“協(xié)和四邊形”，為“協(xié)和線”，，，若點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，連接，，．求：①與的面積的比；②的正弦值．（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，若四邊形，都是“協(xié)和四邊形”，“協(xié)和線”分別是、，求的最小值．11．如圖1，已知，，點(diǎn)D在上，連接并延長交于點(diǎn)F，（1）猜想：線段與的數(shù)量關(guān)系為_____；（2）探究：若將圖1的繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)小于時(shí)，得到圖2，連接并延長交于點(diǎn)F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展：圖1中，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G．當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時(shí)，若，，直接寫出的長．12．在與中，且，點(diǎn)D始終在線段AB上（不與A、B重合）．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；（2）類比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，BM的最小值為多少？直接寫出答案．13．綜合與實(shí)踐操作探究（1）如圖1，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)．請回答下列問題：①與全等的三角形為______，與相似的三角形為______．并證明你的結(jié)論：（相似比不為1，只填一個(gè)即可）：②若連接、，請判斷四邊形的形狀：______．并證明你的結(jié)論；拓展延伸（2）如圖2，矩形中，，，點(diǎn)、分別在、邊上，且，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)，連接．①設(shè)，，則與的數(shù)量關(guān)系為______；②設(shè)，，請用含的式子表示：______；③的最小值為______．14．（問題探究）課堂上老師提出了這樣的問題：“如圖①，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，求的長”．某同學(xué)做了如下的思考：如圖②，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，進(jìn)而求解，請回答下列問題：（1）___________度；（2）求的長．（拓展應(yīng)用）如圖③，在四邊形中，，對角線相交于點(diǎn)，且，，則的長為_____________．15．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長．16．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中和△DCE中，，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．填空：①的值為；②∠ABE的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△ABC中和△DCE中，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．請判斷的值及∠ABE的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請直接寫出BE的長．17．愛好思考的小明在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時(shí)，a=b=；（歸納證明）（2）請你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖2證明你的結(jié)論；（拓展證明）（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長．18．（1）問題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請說明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請直接寫出AE的長；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請直接寫出MN的長19．如圖1，在菱形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB上的點(diǎn)，且，猜想：①的值是_______；②直線DE與直線CF所成的角中較小的角的度數(shù)是_______．（2）類比探究：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中結(jié)論是否成立，就圖2的情形說明理由．（3）拓展延伸：在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出CF的長．20．（模型構(gòu)建）如圖所示，在邊長為1的正方形中，的頂點(diǎn)，分別在，上（可與點(diǎn)，，重合），且滿足．的高線交線段于點(diǎn)（可與，重合），設(shè)．（1）求的值．（模型拓展）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，將條件“邊長為1的正方形”改為“長、寬的矩形”（其他條件不變）．（2）判斷的值是否改變．若改變，請求出的取值范圍；若不改變，請證明．（深入探究）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，設(shè)的面積為．（3）①求的最小值；②當(dāng)取到最小值時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：4；（2）若點(diǎn)在右側(cè)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點(diǎn)在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．2．（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．解析：（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)，滿足條件，如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖2中，連接，．，，，，，，，，，，，同法可證，，，．故答案為1，1．（2）結(jié)論：．理由：如圖3中，連接．，，，，，，，，，同法可證，，，，，，，．（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，同法可證，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，此時(shí)，由（2）可知，，，．綜上所述，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等解析：（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等量代換即可求解；（3）首先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，和，即可求解．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點(diǎn)O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵證明全等和相似，并且分類討論．4．（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最解析：（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，不再是一個(gè)確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示．【詳解】解：（1）依題意，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖1所示．則有，∴，∴．∵，，∴，又∵為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．．故答案為：；；．（2）如圖2所示，作交于點(diǎn)，則．∴，∴．∵，∴．∵，∴．∴，∴．∴．故答案為：．（3）如圖3所示，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則有．∵，∴，∴，∴．又，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的設(shè)計(jì)獨(dú)特：由平行四邊形中的一個(gè)特殊的例子出發(fā)（第1問），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問）．各種圖形雖然形式不一，但運(yùn)用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構(gòu)造相似三角形，得到線段之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來表達(dá)，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三．5．（1）；（2）BE+BD的值不會(huì)發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問題；（2）如圖2中，作交于，過點(diǎn)作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問題；（3）如圖③中解析：（1）；（2）BE+BD的值不會(huì)發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問題；（2）如圖2中，作交于，過點(diǎn)作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問題；（3）如圖③中，作交的延長線于，作于．只要證明，可證，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，，，，，，，，故答案為：．（2）的值不會(huì)發(fā)生改變，理由如下：作交于，過點(diǎn)作交于，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，由（1），知，，，，為邊上的中點(diǎn)，，，，，，，，，，；（3）如圖3中，作交的延長線于，作于．，，，，，，，，，，，，，，，，，，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．6．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，結(jié)合∠AGB＝∠FGC，即可得到結(jié)論；（2）先證明ABCADE，從而得，結(jié)合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，(3，3)，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAD＝∠BAC?∠DAC，∠CAE＝∠DAE?∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴ABCADE，∴，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BADCAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴AB=kAC，直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-α-β；（3）由題意得：MN=MP，∠NMP=90°，把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），∴(3，3)∵OPM，∴，即線段OP長度最小時(shí)，的長度最小，∴當(dāng)⊥y軸時(shí)，的長度最小，此時(shí)(0，3)，∴N(0，3)，OP的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵．7．（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT解析：（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，利用勾股定理的逆定理證明∠CTD＝90°，可得結(jié)論；（3）將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ，證明PA+PB=JC，再求出JC的最大值即可求解．【詳解】（1）如圖①，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形∵BC=4∴OB=OC=2=OA∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值為4故答案為：4；（2）如圖②，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT由題意可得DT=BD=2，CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD＝90°，∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°（3）如圖③，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等邊三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值為米．【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形外接圓的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用．8．（1）見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)；的值不變，見解析【分析】（1）在圓上任意取兩條弦AC、BC，作AC、BC的垂直平分線，則它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)；（2）由題意得與相切于點(diǎn)，根據(jù)切線長解析：（1）見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)；的值不變，見解析【分析】（1）在圓上任意取兩條弦AC、BC，作AC、BC的垂直平分線，則它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)；（2）由題意得與相切于點(diǎn)，根據(jù)切線長定理和勾股定理求得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)勾股定理得，得到當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值．四邊形是正方形，即可求得此時(shí)，根據(jù)利用三角形面積公式，即可求解．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)P即為所作；（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，由題意得：與坐標(biāo)軸相切，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，則，由題意得與相切于點(diǎn)，∴，設(shè)，在中，，，，，由勾股定理得：，即：，解得，∴，由題意可得，∴，即：，∴，，則∴；（3）如圖，在中，，，，則，當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值．此時(shí)，，∵平分第一象限，∴∠EON=∠EOM=45，∴△EON△EOM，∴∠ENO=∠EMO，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ENO+∠EMO=180，∴∠ENO=∠EMO=90，又OM=ON，∴四邊形是正方形，∴；在這個(gè)變化過程中，沒有變化，理由如下：∵平分第一象限，∴是等腰直角三角形，∴則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)最值的求解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．9．（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)解析：（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）【解決問題】需分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC-CM=2，從而可求出CN的值；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長線上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC+CM=6，從而可求出CN的值．【詳解】解：（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段與的數(shù)量關(guān)系為；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．理由：如圖①中，連接．易證，，三點(diǎn)共線．∵．，∴．故答案為，．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接，，延長交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）【解決問題】①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵，∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC-CM=2，∴CN=BM=；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長線上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，即∠BAM=∠CAN,∵,∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC+CM=2=6，∴CN=BM=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．10．（1）證明見解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的解析：（1）證明見解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的判定定理可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后設(shè)，解直角三角形可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得；②如圖（見解析），設(shè)，先利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式可得，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見解析），先解直角三角形可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】證明：（1）如圖，連接，在和中，，，，平分和，四邊形是“協(xié)和四邊形”；（2）①如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，為“協(xié)和線”，平分和，，在和中，，，，∵點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，（等腰三角形的三線合一），設(shè)，則，∵在中，，，在中，，，，即與的面積的比為；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）①知，垂直平分，，設(shè)，則，同（2）①可得：，，，，解得，則在中，；（3）如圖，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，，，在中，，四邊形是菱形，，，同（2）①可證：垂直平分，，，，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，在和中，，，，即，解得，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），利用垂線段最短得出當(dāng)時(shí)，取得最小值是解題關(guān)鍵．11．(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(3)補(bǔ)充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進(jìn)而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【詳解】解：(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(2)仍舊成立，理由如下：延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示設(shè)BD延長線DM交AE于M點(diǎn)，∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(3)如下圖所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四邊形AEGC為矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，本題的關(guān)鍵是延長DF到G點(diǎn)并使FG=DC，進(jìn)而構(gòu)造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．12．（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB解析：（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB時(shí)，CD最小，此時(shí)DE最小，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【詳解】（1）①∵∴∴∵，∴∴，∴∴，∴，的值為1；（2）在中，，令，則，同理令，∴，∴①∵即∴②有①②得∴，∴（3）在中，，∴，當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB時(shí)，CD最小，此時(shí)DE最小，而，∴，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，∴【點(diǎn)睛】本題涉及全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、特殊的三角函數(shù)值和直角三角形的性質(zhì)．是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，要熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)．13．（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形解析：（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形與可得結(jié)論；（2）①如圖2，連接由折疊可得：再利用勾股定理可得答案；②如圖3，連接交于證明四邊形是菱形，可得從而可得答案；③由②得：可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）①矩形由折疊可得：如圖1，連接由折疊可得：同理：故答案為：，或②如圖1，由①得：矩形四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，（2）①如圖2，連接由折疊可得：矩形，，故答案為：②如圖3，連接交于矩形重合，同理可得：由對折可得：四邊形是菱形，，，故答案為：③由②得：當(dāng)時(shí)，最小，最小值為的最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．【問題探究】（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】．【分析】問題探究：（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出結(jié)果；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠E=∠BAD=72°，證出AC=AE解析：【問題探究】（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】．【分析】問題探究：（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出結(jié)果；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠E=∠BAD=72°，證出AC=AE，由平行線證明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；

拓展應(yīng)用：過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F．證明△BAE∽△DFE，得出=2，得出AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，證出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠CAD=，得出AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出BC=AB=2即可．【詳解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，

∴∠ACE=180°-108°=72°；

故答案為：72；

（2）∵CE∥AB，

∴∠E=∠BAD=72°，

∴∠E=∠ACE，

∴AC=AE，

∵CE∥AB，

∴△ABD∽△ECD，

∴，∵BD=2CD，

∴=2，∴AD=2ED=4，

∴ED=2，

∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展應(yīng)用：

：如圖3中，過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F．

∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，

∴∠DFA=∠BAC=90°，

∵∠AEB=∠DEF，

∴△BAE∽△DFE，

∴=2，∴AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，∵∠BAD=120°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=75°=∠ADC，

∴AC=AD，

在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，

∴DF=AF×tan∠CAD=3×，∴AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，∴AC=AB，

在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，

∴BC=AB=2；故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．15．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．16．（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)?，繼而推出；（2）利用已知解析：（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)?，繼而推出；（2）利用已知條件證明△ACD∽△BCE，即可推出,；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示，由已知條件可得出，在中運(yùn)用勾股定理可求出AD的值，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示，可證明，，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值．【詳解】解：（1）①∵，，∴為等邊三角形∴∴∴∴的值為1；故答案為：1；②∵∴∵∴∴∵∴故答案為：90°．（2）,.理由如下：在Rt△ABC中，，.∴.同理：.∴.又.∴.∴△ACD∽△BCE.∴,.∴.（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示：∵，，，∴，∴∵∴；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示同理，可得，∵∴∴∴∵∵∴綜上所述，BE的值為或.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于三角形相似的綜合題目，涉及的知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想．17．（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結(jié)論a2+b2=解析：（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，

∴PN=PM=2，PB=PA=4，

∴AN=BM=，∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，∴，故答案為：；（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖中，連接MN．∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．（3）解：如圖中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，

∴AG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=2BF=CF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用新的結(jié)論解決問題，屬于中考?jí)狠S題．18．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DA