圓錐曲線復習資料 講義 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

圓錐曲線復習資料

目錄圓錐曲線復習資料 2橢雙定義 2焦點三角形 4通徑 7橢圓焦半徑公式 9弦中點 11第三定義 13拋物線定義 15拋物線焦半徑公式 16定義法求解軌跡方程 18相關點法求解軌跡方程 21弦中點法求解軌跡方程 22解析幾何條件翻譯 23

圓錐曲線復習資料橢雙定義橢圓第一定義：平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。即：雙曲線第一定義：平面內(nèi)與兩個定點，的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線。即：配套練習例題1、點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是， B．， C． D．練習1、已知定點，是橢圓的一個焦點，是橢圓上的點，求的最大值．例題2、已知雙曲線的左右焦點分別為，，定點，點在雙曲線的右支上運動，則的最小值等于．練習2、若、是雙曲線的左右焦點，，，為雙曲線上的動點，求的最小值．

焦點三角形橢圓：=1\*GB3①周長=2\*GB3②面積雙曲線：=1\*GB3①面積配套練習例1．若過橢圓上焦點的直線交橢圓于點，，為橢圓下焦點，則三角形的周長為．練1．定義：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是．例2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為．練2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線的兩個焦點連線構成三角形面積為．例3．是橢圓上位于軸上方的一點，，是橢圓兩焦點，三角形內(nèi)切圓半徑為，則的縱坐標為A．2 B．4 C． D．練3．我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓為“最美橢圓”，且以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓的方程為A． B． C． D．例4．已知橢圓的焦點、在軸上，它與軸的一個交點為，且△為正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為，則橢圓的方程為．練4．已知橢圓的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為，橢圓的長軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，為橢圓的左焦點，求三角形的面積．通徑經(jīng)過橢圓或雙曲線的焦點作軸的垂線，與橢圓或雙曲線交于點，弦為橢圓或雙曲線的通徑，通徑的長為：配套練習例1、橢圓的通徑長為_________.練1．橢圓的通徑長為A． B． C． D．1例2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為________練2．雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線的準線過且與雙曲線的實軸垂直，若拋物線上的任意一點到的距離比它到軸的距離大3，過的直線與雙曲線的右支相交于、兩點，若弦長等于拋物線的通徑長的2倍，且的周長為56，求雙曲線和拋物線的方程．例3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸時，稱線段為雙曲線的通徑．若的最小值恰為通徑長，則此雙曲線的離心率的范圍為A．， B． C． D．，練3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸，稱為雙曲線的通徑．若過焦點的所有焦點弦中，其長度的最小值為，則此雙曲線的離心率的范圍為A． B．， C．， D．，橢圓焦半徑公式橫坐標版焦半徑公式：（為點橫坐標，點到左焦點距離為，右焦點距離為）夾角版焦半徑公式：（為焦點和準線間的距離，為開口朝向就近定點的夾角）夾角版焦點弦公式：配套練習例1．橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上，則的取值范圍為_______.練1．設、為橢圓的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為_______.例2．已知橢圓的左焦點為F，過F且傾斜角為45°的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______；若，則=______.練2．已知橢圓的左焦點為F，過F且斜率為2的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______.弦中點1、橢圓直線l與橢圓交于A、B兩點，M為AB中點，則OM的斜率與AB的斜率滿足：2、雙曲線直線l與雙曲線交于A、B兩點，M為AB中點，則OM的斜率與AB的斜率滿足：配套練習例1．若橢圓的動弦斜率為1，則弦中點坐標可能是A． B．， C． D．，練1．已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為，則直線的斜率為A．1 B． C． D．2例2．已知橢圓的一個焦點為，該橢圓被直線所截得弦的中點的橫坐標為2，則該橢圓的標準方程為．練2．已知中心在原點，焦點在軸上，焦距為4的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，則此橢圓的方程為A． B． C． D．例3．已知點是橢圓某條弦的中點，則此弦所在的直線的一般方程為．練3．直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標是A． B． C． D．第三定義橢圓為橢圓上關于原點對稱的兩點，橢圓上任一點（與不重合）與橢圓上兩點的連線的斜率之積為定值:雙曲線為橢圓上關于原點對稱的兩點，雙曲線上任一點（與不重合）與橢圓上兩點的連線的斜率之積為定值:配套練習例1、已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上的動點，且直線，的斜率分別為，，，若的最小值為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．例2、已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則的最小值為．例3、已知橢圓上點到點的最大距離為，離心率為．（1）求此橢圓方程；（2）若、為橢圓上關于原點的對稱的兩點，為橢圓上異于、的一點，且、都不垂直于軸，求．練1、已知，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是該橢圓上不同于，的一點，若直線的斜率的取值范圍為，，則直線的斜率的取值范圍為A． B． C． D．練2、已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則．拋物線定義1、定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。即：2、方程例1、已知，為拋物線焦點，為拋物線上動點，則的最小值為A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能確定練習1、若點的坐標為，點在拋物線上移動，為拋物線的焦點，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．拋物線焦半徑公式橫坐標版焦半徑公式：開口向右：，開口向左：開口向上：開口向左：橫坐標版焦點弦公式：夾角版焦半徑公式：（為開口朝向原點的夾角）夾角版焦點弦公式：（當焦點弦垂直于對稱軸時為通徑）拋物線焦點三角形面積例1．直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，兩點，連接點和坐標原點的直線交拋物線準線于點，則A．坐標為 B．最小值為4 C．一定平行于軸 D．可能為直角三角形例2．設點為拋物線的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是A． B． C． D．的面積為為坐標原點）例3．已知拋物線上有兩點，、，，焦點為，下列選項中是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件的是A． B． C． D．定義法求解軌跡方程圓：第一定義：平面內(nèi)一動點到定點的距離為定值的點的軌跡，即（）；第二定義（阿波羅尼斯圓）：平面內(nèi)一動點到定點與到定點的距離之比為一定值的點的軌跡，即（）；橢圓:定義：平面內(nèi)一動點到定點和定點的距離之和為定值的點的軌跡，即（）；雙曲線:定義：平面內(nèi)一動點到定點和定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，即；拋物線:平面內(nèi)一動點到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡，即配套練習例1、已知動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡的方程，并說明它是什么曲線練1、設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，過點作的平行線且交于點．證明為定值，并寫出點的軌跡方程．例2、已知圓，直線（與軸不重合）過點交圓于兩點，過點作直線的平行線交直線于點．證明：為定值，并求點的軌跡方程；練2、已知一動圓與圓、圓都外切，求動圓圓心的軌跡方程.例3、已知點到點的距離比點到直線的距離小1，求點的軌跡方程.練3、已知曲線上的任意一點到定點的距離與到定直線的距離相等，求曲線的方程；

相關點法求解軌跡方程例1、已知點為橢圓上的任意一點，為原點，M滿足，求點的軌跡方程．練1、已知點P在圓上運動，點P在x軸上的投影為Q，動點M滿足,求動點M的軌跡方程E；例2、已知圓，為圓上任一點，為定點，的中點為．求：動點的軌跡方程；練2、已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程；弦中點法求解軌跡方程弦中點模型直線與橢圓交于兩點，為中點，則有例1.過點的直線與橢圓相交于，兩點，且恰為，中點，則直線的方程為．練1、已知橢圓，若直線與橢圓相交于，兩點，橢圓內(nèi)一點是線段的中點，求直線的方程；第1頁（共1頁）解析幾何條件翻譯設直線與曲線C相交于點，，點A、B不與原點O重合，點，將下列信息轉化為關于的表達式：1．或，即2．3．4．．直線MA與直線MB的斜率之和為－1．銳角7．為直角8．為鈍角9．點M在以為直徑的圓內(nèi)為鈍角，同810．點在以為直徑的圓上為直角，同711．點在以為直徑的圓外為銳角，同612．，或垂直與軸13．大角對大邊，即14．為直角或，同1A、B、M三點共線，，，17．A、B、M三點共線或，即（亦可轉化為直線過定點的證明）18．四邊形為平行四邊形，即19．△ABM為等邊三角形或AB中點為N，20．△ABM是以M為頂點的等腰三角形，同321．以M為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點同2022．點M為△OAB的重心圓錐曲線復習資料橢雙定義例1．點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是A．， B．， C． D．【解答】解：，那么，所以，當點位于時，的差最小，其值為此時，也得到最小值，其值為．當點位于時，的差最大，其值為此時，也得到最大值，其值為．故選：．練1．已知定點，是橢圓的一個焦點，是橢圓上的點，求的最大值．【解答】解：是橢圓的一個焦點，，，橢圓，根據(jù)橢圓的第一定義：取得最大值時，即最大，如圖所示：，當，，共線時取得最大值．的最大值為：，故答案為：．例2．已知雙曲線的左右焦點分別為，，定點，點在雙曲線的右支上運動，則的最小值等于11．【解答】解：在雙曲線的右支上，，，又，雙曲線右焦點，（當且僅當、、三點共線時取“”．故答案為：11．練2．若、是雙曲線的左右焦點，，，為雙曲線上的動點，求的最小值．【解答】解：雙曲線，，，雙曲線右焦點為，，由雙曲線定義可得：，而，當且僅當、、三點共線時等號成立．的最小值：．焦點三角形例1．若過橢圓上焦點的直線交橢圓于點，，為橢圓下焦點，則三角形的周長為16．【解答】解：由橢圓知，所以，根據(jù)橢圓的定義，可得，，，的周長為．故答案為：16．練1．定義：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是．【解答】解：由題意可知：焦點，，則，，由橢圓的定義可知：，焦點三角形周長，則，，橢圓的標準方程為：，故答案為：，例2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為24．【解答】解：由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點，，由橢圓定義可知：，故與雙曲線兩焦點的距離之和為14，又，因此與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為．故答案為：24．練2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線的兩個焦點連線構成三角形面積為3．【解答】解：由雙曲線可得，，所以可得可得雙曲線的左右焦點，，聯(lián)立消整理可得，解得：，所以，故答案為：3．例3．是橢圓上位于軸上方的一點，，是橢圓兩焦點，三角形內(nèi)切圓半徑為，則的縱坐標為A．2 B．4 C． D．【解答】解：橢圓中，，，，可得焦點坐標為，．根據(jù)橢圓的定義，可得，，設△的圓心為，△的內(nèi)切圓半徑為，，又設的縱坐標為，可得，，解得，即的縱坐標為4．故選：．練3．我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓為“最美橢圓”，且以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓的方程為A． B． C． D．【解答】解：由已知，得，故，，即，，得，故，所以橢圓的方程為．故選：．例4．已知橢圓的焦點、在軸上，它與軸的一個交點為，且△為正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為，則橢圓的方程為．【解答】解：橢圓與軸的一個交點為，且△為正三角形，可得，再由焦點到橢圓上的點的最短距離為，則，而，所以，可得，即，，，所以橢圓的方程為：；故答案為：．練4．已知橢圓的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為，橢圓的長軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，為橢圓的左焦點，求三角形的面積．【解答】解：（1）經(jīng)過兩點，的直線為：，即，由已知原點到直線的距離，可得，又，所以，，所以橢圓的標準方程為：；（2）由（1）可得，設，，，，由題意可得，，代入，作差可得，可得，即直線的斜率，所以直線的方程為，即，所以到直線的距離；聯(lián)立，整理可得：，可得，，所以弦長，所以．通徑例1．橢圓的通徑長為3．【解答】解：由橢圓，可得，，所以橢圓的通徑長：．故答案為：3．練1．橢圓的通徑長為A． B． C． D．1【解答】解：由橢圓的方程，，所以橢圓的通徑長：．故選：．例2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為．【解答】解：設內(nèi)切圓的半徑為，橢圓，其中，，，則，與軸垂直，則有，，解得：，，的周長，其面積，由內(nèi)切圓的性質可知，有，解得．圓心橫坐標為，即圓心坐標為，，則的內(nèi)切圓方程是，故答案為：．練2．雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線的準線過且與雙曲線的實軸垂直，若拋物線上的任意一點到的距離比它到軸的距離大3，過的直線與雙曲線的右支相交于、兩點，若弦長等于拋物線的通徑長的2倍，且的周長為56，求雙曲線和拋物線的方程．【解答】解：依題可知拋物線的焦點為，所以，拋物線上的任意一點到的距離比它到軸的距離大3，由拋物線的定義可知，，所以，所以拋物線的方程為，其通徑長為，從而，由雙曲線的定義可知，，，所以，所以的周長為，解得，又因為，所以，所以雙曲線的方程為．綜上所述，雙曲線的方程為，拋物線的方程為．例3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸時，稱線段為雙曲線的通徑．若的最小值恰為通徑長，則此雙曲線的離心率的范圍為A．， B． C． D．，【解答】解：當經(jīng)過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上，可得雙曲線的通徑最小，令，可得，即有最小值為；當直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為0時，即為實軸，最小為．由題意可得，即為，即有，則離心率，，故選：．練3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸，稱為雙曲線的通徑．若過焦點的所有焦點弦中，其長度的最小值為，則此雙曲線的離心率的范圍為A． B．， C．， D．，【解答】解：當經(jīng)過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上，可得雙曲線的通徑最小，令，可得，即有最小值為；當直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為0時，即為實軸，最小為．由題意可得，即為，即有，則離心率，．故選：．橢圓焦半徑公式例1橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上，則的取值范圍為_______.【解析】由題意，，，，設，其中，則，，所以練1設、為橢圓的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為_______.【解析】為等腰三角形，點在M第一象限，且，又，所以，故只能，設，由橢圓焦半徑公式知，解得：，代入橢圓方程得，故例2已知橢圓的左焦點為F，過F且傾斜角為45°的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______；若，則=______.【解析】如圖，設，則由焦點弦公式，，由焦半徑公式，，，所以.練2已知橢圓的左焦點為F，過F且斜率為2的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______【解析】設直線l的傾斜角為，則，所以，由焦點弦公式，.弦中點例1．若橢圓的動弦斜率為1，則弦中點坐標可能是A． B．， C． D．，【解答】解：設，，，，，，，，，．由，①，②①②整理可得：，即，，又，故選：．練1．已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為，則直線的斜率為A．1 B． C． D．2【解答】解：設，，，，由題意可得，，代入雙曲線的方程：，作差可得，可得，即直線的斜率為1，故選：．例2．已知橢圓的一個焦點為，該橢圓被直線所截得弦的中點的橫坐標為2，則該橢圓的標準方程為．【解答】解：因為橢圓的一個焦點為，所以該橢圓的焦點在縱軸上，因此可設該橢圓的標準方程為：，且，設該橢圓被直線所截得弦為，設，，，，把代入直線方程中，得，即的中點坐標為，因此有，，由，因為，在橢圓上，所以有，②①，得，由，，所以該橢圓的標準方程為，故答案為：．練2．已知中心在原點，焦點在軸上，焦距為4的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，則此橢圓的方程為A． B． C． D．【解答】解：由直線與橢圓的中點的橫坐標可得縱坐標，即弦的中點坐標為，設交點，，，，由直線的方程可知，，，設橢圓的方程為，將交點的坐標代入，作差可得，所以可得，所以，即，由題意可得，即，而，所以，，所以橢圓的方程為：，故選：．例3．已知點是橢圓某條弦的中點，則此弦所在的直線的一般方程為．【解答】解：設過的直線與橢圓的交點為，，，，由題意可得，，代入橢圓的方程：，整理可得：，可得，即直線的斜率，所以直線的方程為：，整理可得：，故答案為：．練3．直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標是A． B． C． D．【解答】解：聯(lián)立，得．設直線被雙曲線所截得的弦的兩端點分別為，，，，則，，即中點的橫坐標為，代入，可得中點的縱坐標為，則直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標是．故選：．第三定義例1．已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上的動點，且直線，的斜率分別為，，，若的最小值為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設，，，，，則，．又、、都在橢圓上，，，，．，即．又．，即，，即，，即，．故選：．例2．已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則的最小值為1．【解答】解：設，，，則有，，兩式相減得，，則有，由于橢圓的離心率為，則，即有，即有，即有，，則有．當且僅當，取得最小值1．故答案為：1．例3．已知橢圓上點到點的最大距離為，離心率為．（1）求此橢圓方程；（2）若、為橢圓上關于原點的對稱的兩點，為橢圓上異于、的一點，且、都不垂直于軸，求．【解答】解：（1），，，即，橢圓方程可表示為：，設，則，，當時，取到最大值，，即，橢圓方程為：；（2）依題意，設，，，則，，兩式相減得：，，又，，．練1．已知，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是該橢圓上不同于，的一點，若直線的斜率的取值范圍為，，則直線的斜率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：設，，由題意可得，，，，則，作差可得：，，所以，又因為率，，所以，，所以，所以，，故選：．練2．已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則．【解答】解：橢圓的離心率為，可得，可得，設，，，可得，，相減可得，即有．故答案為：．拋物線定義例1．已知，為拋物線焦點，為拋物線上動點，則的最小值為A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能確定【解答】解：如圖所示，過作準線，垂足為．則，當且僅當，，三點共線時，取得最小值為，故選：．練1．若點的坐標為，點在拋物線上移動，為拋物線的焦點，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．【解答】解：拋物線的焦點的坐標是1，0；設點在準線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義可知要求取得最小值，即求取得最小當，，三點共線時最小，為故選：．拋物線焦半徑公式例1．直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，兩點，連接點和坐標原點的直線交拋物線準線于點，則A．坐標為 B．最小值為4 C．一定平行于軸 D．可能為直角三角形【解答】解：對選項，，，，即，故錯誤；對選項，設直線方程為，，，，，聯(lián)立拋物線得，則，，兩式相乘得，，當且僅當時等號成立，故，故正確；對選項，，令，則，故，因為，故一定平行于軸，故正確；對選項，因為，故不為直角；兩式作差得，故，即，，故不為直角，同理故不為直角，故錯誤，故選：．例2．設點為拋物線的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是A． B． C． D．的面積為為坐標原點）【解答】解：如圖，設，，，，，，，，，，又，，解得，故選項不正確；由上述分析可知，，，，又容易知，，則，，，故成立，故選項正確；，故選項正確；，故選項不正確．故選：．例3．已知拋物線上有兩點，、，，焦點為，下列選項中是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件的是A． B． C． D．【解答】解：設直線的方程為，則直線交軸于點，且拋物線的焦點的坐標為，，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，得，則，，對于，即，解得或，所以“，”是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于，解得，所以“”是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于，得，此時直線過拋物線的焦點，所以“”是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件；對于，化簡得，得，所以“”是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件．故選：．定義法求解軌跡方程例1．已知動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切．（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程，并說明它是什么曲線；【解答】解：設動圓的半徑為，由動圓與圓外切可知：，由動圓與圓，內(nèi)切可知：，則，所以動圓的軌跡是以，，為焦點，長軸長為10，焦距為8的橢圓，動圓圓心的軌跡方程為．練1．設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過點作的平行線且交于點．證明