高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題1第3講基本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用

第3講根本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用1.要點知識整合2.2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見下表：3.指數(shù)函數(shù)y＝ax對數(shù)函數(shù)y＝logax定義域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不變性恒過定點(0,1)恒過定點(1,0)增減性a>1時為增函0<a<1時為減函數(shù)數(shù)，a>1時為增函數(shù)，0<a<1時為減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)反函數(shù)f－1(x)＝logax(a>0且a≠1)f－1(x)＝ax(a>0且a≠1)圖象特征圖象始終在x軸上方圖象始終在y軸右側(cè)4.3.函數(shù)與方程(1)函數(shù)的零點對于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點．(2)零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.5.注意以下兩點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點．6.題型一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)熱點突破探究典例精析例1設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c(c＞0)，假設(shè)f(x)＝0有兩個實數(shù)根x1、x2(x1＜x2)．(1)求正實數(shù)c的取值范圍；(2)求x2－x1的取值范圍；(3)如果存在一個實數(shù)m，使f(m)＜0，求證：m＋1＞x2.7.8.9.【題后拓展】理清二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系：(1)Δ<0?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸無交點?ax2＋bx＋c＝0無實根?ax2＋bx＋c>0(<0)的解集為?或R；(2)Δ＝0?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸相切?ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實根；(3)Δ>0?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸有兩個不同的交點?ax2＋bx＋c＝0有兩個不等的實根．10.變式訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且x≤1時，f(x)≥0,1≤x≤3時，f(x)≤0恒成立．(1)求b，c之間的關(guān)系．(2)當c>－1時，是否存在實數(shù)m使得g(x)＝f(x)－m2x在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)？假設(shè)存在，求出m的取值范圍；假設(shè)不存在，說明理由．11.12.題型二指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例213.14.15.16.17.18.(3)法二是充分利用函數(shù)f(x)的性質(zhì)，對定義域{x|x>a或x<0}內(nèi)的x排除了x<0后，尋找f(x)＝1是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練19.20.題型三函數(shù)的零點例321.22.由圖象知零點存在于區(qū)間(1，e)內(nèi)．【答案】D23.【題后歸納】函數(shù)零點(方程的根)確實定問題，常見的類型有：(1)零點或零點存在區(qū)間確實定；(2)零點個數(shù)確實定；(3)兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點確實定．解決這類問題的常用方法有：解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解．24.變式訓(xùn)練3．函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個正實數(shù)的零點，那么實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪(0,1]D．(－∞，1)解析：選B.當m＝0時，x＝為函數(shù)的零點；當m≠0時，假設(shè)Δ＝0，即m＝1時，x＝1是函數(shù)惟一的零點，假設(shè)Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程mx2－2x＋1＝0有一個正根和一個負根，即mf(0)<0，即m<0.應(yīng)選B.25.題型四函數(shù)的實際應(yīng)用例426.(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y(萬元)表示為年促銷費用m(萬元)的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？27.28.29.【題后拓展】函數(shù)應(yīng)用主要是指運用函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性以及用函數(shù)的圖象解決函數(shù)的綜合問題，注意運用函數(shù)知識解決貼近生產(chǎn)、生活、科研中的實際問題．函數(shù)應(yīng)用主要表達函數(shù)與方程的思想、等價轉(zhuǎn)換的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想等數(shù)學(xué)思想的綜合運用，以及函數(shù)知識與其他數(shù)學(xué)知識的綜合運用．30.(1)把年利潤表示為年產(chǎn)量x(百件)(x≥0)的函數(shù)f(x)；(2)當年產(chǎn)量為多少件時，公司可獲得最大年利潤？變式訓(xùn)練31.32.33.方法突破例設(shè)y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，假設(shè)t在[－2,2]上變化時，y恒取正值，求x的取值范圍．【解】設(shè)y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，那么f(t)是一次函數(shù)，當t∈[－2,2]時，f(t)>0恒成立．34.35.【題后點評】此題外表上看是有限制條件的函數(shù)的定義域問題，但如果換一個角度來考慮，由于t在[－2,2]上變化，我們那么可以把y看作是t的函數(shù)，而此時是關(guān)于t的一次函數(shù)，原命題的陳述方式改變：關(guān)于t的一次函數(shù)y，當自變量t在[－2,2]上變化時，y恒大于零，求字母x的取值范圍，從而到達解題的目的．此題為常量與變量的轉(zhuǎn)化，即在處理多元問題時，選取其中的常量(或參數(shù))當“主元〞，其他的變量看作常量．36.高考動態(tài)聚焦考情分析從近幾年高考來看，本講高考命題有以下特點：1．涉及二次函數(shù)及其應(yīng)用的題連年出現(xiàn)，且二次函數(shù)最值、二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題在2021年高考中屢次出現(xiàn)．2．指數(shù)與指數(shù)函數(shù)在高考中處于次要位置，高考中往往以根底知識為主，如數(shù)值的計算、數(shù)值的大小比37.較等，有時也與函數(shù)的根本性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容結(jié)合起來出現(xiàn)在綜合題中．3．作為新課標所新增函數(shù)零點、二分法等在高考選擇題中有所表達．4．高考對函數(shù)的綜合應(yīng)用方面的考查要求較高，近幾年的高考試題中，根本上每套題都有一道難度較大的綜合題(有些題目與導(dǎo)數(shù)有一定聯(lián)系，實際應(yīng)用問題較少出現(xiàn))，重點考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力．38.真題聚焦1．(2021年高考四川卷)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：選C.2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.應(yīng)選C.39.2．(2021年高考四川卷)函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：選A.法一：∵函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝1對稱的充要條件是f(x)＝f(2－x)，∴x2＋mx＋1＝(2－x)2＋m(2－x)＋1，化簡得(m＋2)x＝