9.2 雙因素方差分析

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學院數(shù)學系“悟道詩---嚴加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第九章方差分析第二節(jié)雙因素方差分析二、單因素方差分析的數(shù)學模型四、小結一、單因素方差分析的基本原理三、統(tǒng)計分析如果在例9.1.1中,不只考慮家庭因素對成年孩子身高的影響,還考慮地域因素的影響,這就是一個雙因素方差分析.一、雙因素方差分析的基本原理如果和對的影響是相互獨立的，此時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析；

如果除了和對試驗結果的單獨影響外，因素

和因素的搭配還會對產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析．假設試驗指標同時受到因素和的影響，對于無交互作用的雙因素方差分析一、單因素方差分析的基本原理樣本觀測值—總均值

=因素的效應+因素的效應+隨機誤差一、雙因素方差分析的基本原理無交互作用的雙因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為三部分：系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，以及隨機因素所造成的離差平方和，然后根據(jù)這三個平方和構造檢驗統(tǒng)計量，推導統(tǒng)計量所服從的分布，最后確定檢驗的拒絕域．對于有交互作用的雙因素方差分析一、雙因素方差分析的基本原理樣本觀測值—總均值=

的效應+的效應+的交互作用+隨機誤差一、雙因素方差分析的基本原理有交互作用的雙因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為四部分：系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，

的交互作用所造成的離差平方和，以及隨機因素所造成的離差平方和，然后根據(jù)這四個平方和構造檢驗統(tǒng)計量，推導統(tǒng)計量所服從的分布，最后確定檢驗的拒絕域．二、雙因素方差分析的數(shù)學模型設因素有個不同的水平，因素有

個不同的水平,每種水平組合

下的試驗結果看作是取自正態(tài)總體的一個樣本，各水平組合與總體分布如下二、單因素方差分析的數(shù)學模型二、單因素方差分析的數(shù)學模型令則表示因素的第個水平的效應，表示因素的第個水平的效應，它們滿足二、單因素方差分析的數(shù)學模型1.無交互作用的雙因素方差分析模型若，即每種水平組合下的總體均值可看作是總平均與各因素水平效應

的簡單迭加，此時不考慮的交互作用．為簡單起見，假設每種水平組合下只做一次獨立試驗（無重復試驗），結果記為，試驗誤差為，則無交互作用的雙因素方差分析模型為二、單因素方差分析的數(shù)學模型1.無交互作用的雙因素方差分析模型二、單因素方差分析的數(shù)學模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型若，記

其中表示和對試驗結果的某種聯(lián)合影響，稱為和的交互作用的效應，簡稱交互效應，它們滿足為簡單起見，假設在每種水平組合下均做次試驗（等重復試驗），并假設所有的試驗是相互獨立的，所得試驗結果記為每次試驗誤差記為，則有交互作用的雙因素方差分析模型為二、單因素方差分析的數(shù)學模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型為研究交互作用的影響是否顯著，在兩因素的各種水平組合下需要做重復試驗．二、單因素方差分析的數(shù)學模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型(9.15)二、單因素方差分析的數(shù)學模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型注9.2.1對于雙因素方差分析，若不考慮交互作用，在因素A,B的每種水平組合下只需做一次試驗，即可進行后續(xù)的統(tǒng)計分析，當然也可以做重復試驗．若考慮交互作用，在各水平組合下需要做重復試驗，才可進行后續(xù)的統(tǒng)計分析．三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析檢驗因素對試驗指標的影響是否顯著，等價于檢驗假設

原假設成立表示因素對試驗指標無顯著影響．類似地，檢驗因素對試驗指標的影響是否顯著，等價于檢驗假設

原假設成立表示因素對試驗指標無顯著影響.(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析假設每種水平組合下只做一次獨立試驗，試驗結果如下(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析其中(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析由式(9.14)可知

用作為的估計，作為的估計，作為的估計，則有(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即

將分解如下：(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析可以證明，在上述平方和分解式中，所有交叉乘積的和項均為0．為因素所造成的離差平方和;為因素所造成的離差平方和;為隨機因素所造成的離差平方和.(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析定理9.2.1在以上記號下，對于模型(9.14)，有以下結論成立：·，且、和相互獨立；·成立時，；·成立時，；·和都成立時，．(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析構造檢驗統(tǒng)計量其中(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析由定理9.2.1，在原假設和分別成立時，有對于給定的顯著性水平，和對應的拒絕域分別為(3)無交互作用的雙因素方差分析表三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析當時，應拒絕原假設

，認為因素對試驗指標有顯著影響．(3)無交互作用的雙因素方差分析表當時，應拒絕原假設

，認為因素對試驗指標有顯著影響．表中臨界值可以分別替換為檢驗的值，其定義為

對于給定的顯著性水平，當時，應拒絕原假設；當時，應拒絕原假設．三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析例9.2.1某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料．飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無色透明．隨機從五家超市收集了前一時期該飲料的銷售量數(shù)據(jù)，見下表假設在超市和顏色的各種搭配下，銷售量總體服從同方差的正態(tài)分布．試分析超市和飲料的顏色對飲料的銷售量是否有顯著影響．（取顯著性水平）顏色B超市A橘黃色粉色綠色無色126.531.227.930.8228.728.325.129.6325.130.828.532.4429.127.924.231.7527.229.626.532.8三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析解:計算各行、各列的樣本均值及總均值得于是、、和的自由度分別為4、3、12和19，從而可得各均方分別為三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析計算得于是可得雙因素方差分析表三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析由方差分析表可知，

,故認為超市對飲料的銷售量無顯著影響，而飲料的顏色對飲料的銷售量有顯著影響．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析對于有交互作用的雙因素方差分析，除了要檢驗無交互作用的雙因素方差分析中的假設外，還要檢驗假設原假設成立表示因素和的交互作用對試驗指標無顯著影響．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解假設在每種水平組合下均做次試驗，并假設所有的試驗是相互獨立的，試驗結果如下三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解其中三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解由其中三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解用作為的估計，作為的估計，作為的估計，作為的估計，則有記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解可以證明，上式中所有交叉乘積的和項均為0．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解其中為因素所造成的離差平方和，為因素所造成的離差平方和，為因素的交互作用所造成的離差平方和，為隨機因素所造成的離差平方和．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解定理9.2.2在以上記號下，對于模型(9.15)，有以下結論成立．·，且、、和相互獨立；·成立時，；·、和都成立時，．·成立時，；·成立時，；(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析構造檢驗統(tǒng)計量其中(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析由定理9.2.2，在原假設、和分別成立時，有對于給定的顯著性水平，、和對應的拒絕域分別為(3)有交互作用的雙因素方差分析表三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析當時，應拒絕原假設，認為因素對試驗指標有顯著影響．(3)無交互作用的雙因素方差分析表當時，應拒絕原假設，認為因素對試驗指標有顯著影響．當時，應拒絕原假設，認為因素的交互作用對試驗指標有顯著影響．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(3)無交互作用的雙因素方差分析表表中臨界值可以分別替換為檢驗的值，其定義為

對于給定的顯著性水平，當時，應拒絕原假設；當時，應拒絕原假設；當

時，應拒絕原假設．三、統(tǒng)計分析2．有交互作用的雙因素方差分析例9.2.2考察合成纖維中對纖維彈性有影響的兩個因素：收縮率和總拉伸倍數(shù)，它們各取4種水平，在各水平組合下均做2次試驗，試驗結果如表中所列假設在各水平組合下，纖維彈性總體服從同方差的正態(tài)分布．試分析收縮率、總拉伸倍數(shù)及其交互作用分別對纖維彈性有無顯著影響.(取顯著性水平）

總拉伸倍數(shù)B收縮率AB