2023-2024學(xué)年吉林省長春市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長春市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．若復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)?z=5?5iA． B． C． D．2．如圖，△A'B'C'是水平放置△ABC的直觀圖，其中，A'B'A． B．2C． D．43．△ABC的內(nèi)角，所對的邊分別為，且，則的值為A． B． C． D．4．已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個不同的平面，則下列命題中錯誤的是A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則5．已知向量滿足則A．3 B．49 C．6 D．76．在△ABC中，若，，則A． B． C． D．7．如圖，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)BA=a，BC=A．12a+14C．23a?28．已知長方體中，，BC=6，若與平面所成的角的余弦值為，則該長方體外接球的表面積為A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分）9．已知平面向量a→，b→，A．若a=0，則a=C．方向相反的兩個非零向量一定共線 D．若a，b滿足a>b，且a與b10．已知圓臺的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺的兩個底面和側(cè)面都相切，則A．圓臺的母線長為4 B．圓臺的高為4C．圓臺的表面積為 D．球O的體積為11．已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是A．若,則B．若，則△ABC為直角三角形C．若,則△ABC為直角三角形D．若，則滿足條件的△ABC有兩個12．已知正方體的棱長為6，點分別是棱的中點，是棱上的動點，則A．直線與所成角的正切值為B．直線平面C．平面平面D．到直線的距離為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量a=1,2k,b14．在△ABC中，角A,B,所對邊分別是,,，若，則___________.15．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為__________．16．某同學(xué)為了測量天文臺的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽臺A，A到地面的距離為，在它們之間的地面上的點（B，，三點共線）處測得陽臺A，天文臺頂?shù)难鼋欠謩e是15°和60°，在陽臺處測得天文臺頂?shù)难鼋菫?0°，假設(shè)，和點在同一平面內(nèi)，則該同學(xué)可測得學(xué)校天文臺的高度為______.四、解答題（本大題共6小題，17題10分，其余各題12分，共70分）17．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，m∈R．(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求的取值范圍．18．已知e1，e(1)若AB=3e1?2e2，BC=4e1(2)若2λe1+e219．在△ABC中角A，B，所對的邊分別為，，，.(1)求；(2)若，求△ABC的面積.20．如圖，在四棱錐中，正方形的邊長為2，平面平面，且，，點分別是線段的中點.(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的大小.21．已知△ABC的內(nèi)角A，B，所對的邊分別為，，，向量m=(a,?cosA)，且n=(sinB，3(1)求；(2)若，且△ABC的面積為，求△ABC周長．22．在直三棱柱中，E為棱上一點，AB=CE=2，，D為棱上一點.(1)若，且D為靠近B的三等分點，求證：平面平面；(2)若△ABC為等邊三角形，且三棱錐的體積為，求二面角的正弦值的大小.答案解析：1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和共軛復(fù)數(shù)的概念可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：D2．C【分析】在直觀圖中，利用余弦定理求出，再由斜二測畫圖法求出及，借助勾股定理求解作答.【詳解】在中，，，由余弦定理得：，即，而，解得，由斜二測畫圖法知：，，在中，，所以.故選：C3．B【分析】應(yīng)用正弦定理、三角形內(nèi)角性質(zhì)求的值.【詳解】由正弦定理知：，則，，所以或，又，故.故選：B4．A【分析】設(shè)出、、的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷B，C，D；根據(jù)線面關(guān)系判斷A.【詳解】設(shè)平面、、的法向量分別為、、，直線，的方向向量為，，對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：若，則，又，則，所以，則，故B正確；對于C：若，，則，，又，則，所以，則，故C正確；對于D：因，，則，，因此向量、共面于平面，令直線的方向向量為，顯然，，而平面，即、不共線，于是得，所以，故D正確.故選：A5．D【分析】根據(jù)公式直接計算可得.【詳解】.故選：D6．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得.故選：C．7．D【分析】取BC中點F，先征得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合平面向量基本運算求解即可.【詳解】取BC中點F，連接AF，如圖所示，

又因為，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.故選：D.8．B【分析】根據(jù)直線與平面所成角的定義得，即，設(shè)，求出，根據(jù)該長方體外接球的直徑是，可求出，再根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.【詳解】連，因為平面，所以是與平面所成的角，所以，所以，設(shè)，則，即，又，所以，所以，即，所以，，因為該長方體外接球的直徑是，所以半徑，所以該外接球的表面積為.故選：B9．BD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項判斷正誤即可.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，單位向量的模為，但是方向不一定相同，故B錯誤；對于C，方向相同或相反的兩個非零向量為共線向量，故C正確；對于D，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故D錯誤；故選：BD10．ACD【分析】作出圓臺的軸截面，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，半徑分別為，連接，利用平面幾何知識得到，即可逐項計算求解．【詳解】設(shè)梯形ABCD為圓臺的軸截面，則內(nèi)切圓為圓臺內(nèi)切球的大圓，如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，半徑分別為，則共線，且，連接，則分別平分，故，，故，即，解得，母線長為，故A正確；圓臺的高為，故B錯誤；圓臺的表面積為，故C正確；故選：AC.11．AC【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，，故A選項正確；對于B選項，由可得：，則，得到為鈍角，故B選項不正確；對于C選項，若，由正弦定理可得，所以為直角三角形，故C選項正確；.對于D選項，由正弦定理可得，則，故，由可得或，因為，則，故，故D選項不正確.故選：AC.12．BCD【分析】把直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，在直角中，求得所成的角的正切值為，可判定A不正確；由，利用線面平行的判定定理，證得平面，可判定B正確；由平面，得到平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，可判定C正確；設(shè)，證得，得到即為點到直線的距離，在直角中求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，在正方體中，可得，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，取的中點，連接和，在直角中，，即異面直線與所成的角的正切值為，所以A不正確；對于B中，因為點分別是棱的中點，可得，又因為平面，平面，所以直線平面，所以B正確；對于C中，在正方體中，可得平面，因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面，所以C正確；對于D中，設(shè)，因為平面，且平面，可得，所以即為點到直線的距離，在直角中，，所以，即到直線的距離為，所以D正確.故選：BCD.13．1【分析】由數(shù)量積等于0并結(jié)合數(shù)量積的坐標運算公式即可求解.14．/【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【詳解】，，，.故答案為.15．5【分析】確定表示復(fù)數(shù)幾何意義，再結(jié)合的幾何意義求解作答.【詳解】由，得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到的距離，點到點的距離為，所以的最大值為.故516．30【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，運用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，計算可得天文臺的高度.【詳解】在中，有，在中，，，，由正弦定理得，，故，在中，，又，則.故30.17．(1)(2)【分析】（1）由純虛數(shù)定義列方程求參數(shù)；（2）由復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由是純虛數(shù)，則，故.（2）由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，，所以.18．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）求出，找到使成立的即可證明；（2）通過平行，必存在實數(shù)使，列方程組求出實數(shù)的值.【詳解】（1），又，，，又，A，B，D三點共線；（2）向量和共線，存在實數(shù)使，又，是不共線，，解得.19．(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，，因為，所以，且，所以或.（2）由（1）可知或，且，，所以即，由余弦定理可得，，即，解得或，當時，，當時，，所以的面積為或.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接可得為的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；（2）利用四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面垂直的判定定理，建立以為坐標原點的空間直角坐標系，利用空間向量和線面角的位置關(guān)系，即可求得直線與平面所成角的大小為.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，連接，則交與；如下圖所示：

在中，為的中點，又點是線段的中點，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）由平面平面，且平面平面，又四邊形是正方形，所以，又平面，所以平面；過點作直線平行于，又，所以以為坐標原點，分別以直線，直線，直線為軸建立空間直角坐標系；如下圖所示：

由正方形的邊長為2，，可得，；所以；；又點分別是線段的中點，所以；即；設(shè)平面的一個法向量為；所以，可得，令，解得；即設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得；所以直線與平面所成角的大小為.21．(1)(2)【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；（2）由面積公式和余弦定理可得答案.【詳解】（1）（1）∵，∴m?n由正弦定理得sinAsinB?3∴sinA?3cosA=0，tan（2），，又，，，△ABC的周長為.22．(1)見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的判定定理即可證明；（2）由三棱錐的體積公式可求出，以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）分別取的中點，連接，則，，且，由題意可知，，所以，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）由（1）可得，以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為三棱錐的體積為，所以，即，解得：，所以，則，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得.故設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得.故，所以，設(shè)二面角的大小為，，即二面角的正弦值為.

2023-2024學(xué)年吉林省長春市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選1.若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義得共軛復(fù)數(shù)，進而可得解.【詳解】∵，∴，∴在復(fù)平面上對應(yīng)點為．故選D．本題主要考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.已知AD為的中線，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運算可直接求得結(jié)果.【詳解】為中線，，即.故選.本題考查平面向量線性運算問題，屬于基礎(chǔ)題.3.已知在中，，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接利用余弦定理可解得，由此可知為直角三角形，所以.【詳解】由余弦定理可得，

解得，所以，所以為直角三角形，則在中，．故選：A.4.已知為單位向量，，向量的夾角為，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用投影向量定義即可求得在上的投影向量.【詳解】在上的投影向量是故選：B5.某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點B在A的正北方向，游船正好到達B處時，（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)船的實際速度為，則，由題意可得，即，代入計算即可求出答案．【詳解】解：設(shè)船的實際速度為，則，北岸的點在的正北方向，游船正好到達處，則，所以，即，解得，故選：D．6.為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位【正確答案】C【分析】由，再根據(jù)平移規(guī)則，得到答案．【詳解】由，所以為了得到函數(shù)的圖像，函數(shù)需要向右平移個單位，即，故選：C．7.已知，則下列描述中正確的是（）A.函數(shù)周期B.當，函數(shù)最大值是C.直線不是該函數(shù)的一條對稱軸D.當，函數(shù)沒有最小值【正確答案】B【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性判定選項即可.【詳解】，顯然周期,故A錯誤；當時，，(時取得)，故B正確；由B知，時函數(shù)取得最值，則是該函數(shù)的一條對稱軸，故C錯誤；當時，，函數(shù)有最小值，在時取得，故D錯誤.故選：B.8.在中，角所對的邊分別為，且.若，則的最大值是（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】由正弦定理和已知求出，再利用正弦定理求得，在中，運用余弦定理和的范圍可得答案.【詳解】由正弦定理、可得，因為，所以，所以，為三角形的內(nèi)角，，由正弦定理可得，其中為的外接圓半徑，，，在中，運用余弦定理，可得，化簡，可得，，當時，取得最大值，.故選：C.二、多選9.下列說法錯誤的有（）A.三點確定一個平面B.平面外兩點A、B可確定一個平面與平面平行C.三個平交，交線平行D.棱臺的側(cè)棱延長后必交與一點【正確答案】ABC【分析】利用平面的基本性質(zhì)判斷選項A；舉反例判斷選項BC；利用棱臺的定義判斷選項D即得解.【詳解】A.不在同一條直線上的三點才能確定一個平面，所以該選項錯誤；B.平面外兩點A、B在平面的垂線上，則經(jīng)過A、B不能確定一個平面與平面平行，所以該選項錯誤；C.三個平交，交線不一定平行，如三棱錐的三個側(cè)面，所以該選項錯誤；D.棱臺的側(cè)棱延長后必交與一點，所以該選項正確.故選：ABC10.下列命題為真命題的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則C.若，則D.若，其中a，b為實數(shù)，a=1，b=-1【正確答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷選項A；通過計算判斷選項BD；舉反例判斷選項C即得解.【詳解】A.若復(fù)數(shù)，則,所以該選項正確；B.若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則，所以該選項錯誤；C.若，則不一定成立，如，所以該選項錯誤；D.若，其中a，b為實數(shù)，則.所以該選項正確.故選：AD11.在中，角所對的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則為銳角三角形B.若為銳角三角形，則C.若，則為等腰三角形D.若，則是等腰三角形【正確答案】BD【分析】對于A，用余弦定理可以判定；對于B，利用正弦函數(shù)單調(diào)性及誘導(dǎo)公式即可判定；對于C，由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角即可判定；對于D，利用正弦定理及兩角和的正弦公式即可判定.【詳解】對于A，由余弦定理可得，即，但無法判定A、C的范圍，故A錯誤；對于B，若為銳角三角形，則有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，故B正確；對于C，若，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得或，又，故或，所以C錯誤；對于D，若，由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式得又，所以，故，所以D正確故選：BD12.已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，則以下說法正確的是（）A.B.若為偶函數(shù)，則C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為D.若的一個對稱中心為，則【正確答案】BC【分析】求得的值判斷選項A；求得的值判斷選項B；求得的最大值判斷選項C；求得的值判斷選項D.【詳解】，由圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，可得周期，則.則.選項A：由可得選項A判斷錯誤；選項B：若為偶函數(shù)，則，則或，又，則.判斷正確；選項C：由，可得，又，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解之得，則的最大值為.判斷正確；選項D：由的一個對稱中心為，可得，則，又，則.判斷錯誤.故選：BC三、填空題13.復(fù)數(shù)____.【正確答案】##【分析】利用復(fù)數(shù)除法即可求得的化簡結(jié)果.【詳解】故14.如圖，已知的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角，則的面積為________【正確答案】【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，求出即得解.【詳解】根據(jù)直觀圖畫出原圖，如圖所示，,,所以.故15.已知正三棱錐側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.【正確答案】【分析】正棱錐的外接球的球心在頂點向底面做投影所在的直線上，先求底面外接圓的半徑，再由勾股定理求錐的高，由勾股定理求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出表面積.【詳解】解析：過點作平面于點，記球心為.∵在正三棱錐中，底面邊長為6，側(cè)棱長為，∴，∴.∵球心到四個頂點的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面積為.故答案為.本題主要考查正三棱錐的外接球的表面積以及計算能力，屬于中檔題.16.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____________【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，進而求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，，即，所以，即，又由，可得，解得，即，因為，所以，即，令，解得，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為.四、解答題17.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為.（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（2）若點在第三象限，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先化簡，再利用為純虛數(shù)列方程組即可求解（2）依題意的實部和虛部均小于，解此不等式組即可求解【小問1詳解】由題意得，因為為純虛數(shù)，所以，解得.【小問2詳解】復(fù)數(shù)在平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，因為點在第三象限，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.18.如圖，在梯形中，為的中點，，，，．（1）求的值；（2）求與夾角的余弦值．【正確答案】（1）0（2）【分析】（1）首先由已知條件得出為等邊三角形，，把和作為一組基向量，分別表示出和，直接計算即可．（2）把和作為一組基向量，表示出，結(jié)合（1），由代入計算即可．【小問1詳解】因為，，所以，又因為，所以為等邊三角形，所以，，在中，由得，所以，所以，由，，則．【小問2詳解】由（1）得，，，又，，則，又，，所以．19.在中，已知，，．（1）求面積；（2）求內(nèi)切圓半徑．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）直接由三角形面積計算公式，代入計算即可；