2023-2024學(xué)年福建省南安市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省南安市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則sinA：sinB＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由條件利用正弦定理可得＝，運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】在△ABC中，a＝5，b＝3，則由正弦定理可得＝＝，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于簡單題.2．在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以由余弦定理得，又，則．故選：B.3．已知復(fù)平面內(nèi)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的坐標(biāo)為（-2，1），則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（-2，1），即得解.【詳解】解：復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（-2，1），又向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的坐標(biāo)為（-2，1），故選：.4．利用斜二測畫法畫一個水平放置的平面四邊形的直觀圖，得到的直觀圖是一個邊長為1的正方形（如圖所示），則原圖形的形狀是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】設(shè)直觀圖中的正方形為，則有，則對應(yīng)在原圖形中有且，故選A5．在中，，，，則的面積為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】直接利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】的面積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.6．如圖所示，三棱臺截去三棱錐后，剩余部分幾何體是（

）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．不規(guī)則幾何體【答案】C【分析】根據(jù)圖形特點(diǎn)進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)圖形可見，底面四條邊，所以為四棱錐.故選：C.7．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求出，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念求出它的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意知，令，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故選：C8．在中，角所對的邊分別為，若，則三角形一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理將已知的式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形即可判斷三角形的形狀【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理?所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以為等腰三角形，故選：C二、多選題9．在中，若，則為（

）A．60° B．150° C．120° D．30°【答案】AC【分析】由大邊對大角可知，從而得，由正弦定理可得，根據(jù)特殊三角函數(shù)值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?大邊對大角)，由正弦定理可知，∴，又因?yàn)?，∴或．故選:．10．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（

）A． B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的虛部為【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)為，結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，則，所以A正確；因?yàn)椋訠正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以C不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念可得，復(fù)數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：ABD.11．下列說法正確的是（

）A．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱B．棱錐的側(cè)面一定都是三角形C．棱臺各側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)D．有兩個面為矩形且相互平行，其余四個面均為等腰梯形的幾何體一定是四棱臺【答案】BC【分析】對A，根據(jù)棱柱的定義即可判斷；對B，根據(jù)棱錐的定義即可判斷；對C，根據(jù)棱臺的定義即可判斷；對D，根據(jù)棱臺的定義即可判斷.【詳解】解：對A，如圖所示：將兩個平行六面體合在一起，但不是棱柱，故A錯誤；對B，根據(jù)棱錐的定義可知：棱錐的側(cè)面一定都是三角形，故B正確；對C，根據(jù)棱臺的定義可知：棱臺各側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)，故C正確；對D，如圖所示：該幾何體的上下底面是兩個全等的矩形，兩矩形平行，且上面矩形的長與下面矩形的寬對應(yīng)平行，則四個側(cè)面均為等腰梯形，但四條側(cè)棱并不交于同一點(diǎn)，故不是四棱臺，故D錯誤.故選：BC.12．在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹饺藗冾^戴一種用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，隨著旅游和文化交流活動的開展，斗笠也逐漸成為了一種時尚旅游產(chǎn)品.有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，根據(jù)人的體型、高矮等制作成大小不一的型號供人選擇使用，不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬厘米，關(guān)于此斗笠，下面說法正確的是（

）A．若每100平方厘米的斗笠面需要價值1元的材料，此斗笠的制作費(fèi)為元B．用此斗笠盛水，則需要立方厘米的水才能將斗笠裝滿C．斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為D．過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米【答案】ABC【分析】根據(jù)圓錐的母線長為20，底面半徑為，分別求圓錐的側(cè)面積，體積和軸截面判斷.【詳解】如圖所示：由題意知：，A.圓錐的側(cè)面積為：，所以若每100平方厘米的斗笠面需要價值1元的材料，此斗笠的制作費(fèi)為元，故正確；B.，圓錐的體積為，所以用此斗笠盛水，則需要立方厘米的水才能將斗笠裝滿，故正確；C.，則，所以，所以斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為，故正確；D.由C知斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為，所以過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米，故錯誤；故選：ABC三、填空題13．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.【答案】0【分析】由余弦定理化簡求值．【詳解】∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.故答案為：014．已知是關(guān)于x的方程的一個根，則該方程的另一個根為________．【答案】【分析】由韋達(dá)定理可得兩根之和為，計(jì)算可得所求另一根．【詳解】解：是關(guān)于的方程的一個根，設(shè)該方程的另一個根為，可得，解得.故答案為：．15．如圖，若斜邊長為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為________．【答案】【分析】還原原圖，計(jì)算面積即可.【詳解】在斜二測直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，．還原原圖形如圖：則，則，故答案為：.16．如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)（其中）的陰影部分以直徑所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的體積為______．【答案】【分析】要求旋轉(zhuǎn)后陰影部分的體積即是球的體積減去兩個圓錐的體積，根據(jù)，，可以求得，、的長，再根據(jù)圓錐的體積公式和球的體積公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：為直徑，．，，又，，，，．，，故答案為：四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，.(1)求；(2)若滿足為純虛數(shù)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則即可求出；（2）根據(jù)純虛數(shù)的概念即可求出參數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出．【詳解】（1）．（2）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，∴，∴.即，．18．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出關(guān)于的方程，然后求出．【詳解】解：（1）因?yàn)?，?由正弦定理，可得，所以；（2）由余弦定理，，，（舍），所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，在已知兩邊和一邊對角時可用余弦定理列方程求出第三邊．19．如圖所示，正六棱錐的底面周長為24，H是的中點(diǎn)，O為底面中心，，(1)求出正六棱錐的高；斜高；側(cè)棱長(2)求出六棱錐的表面和體積【答案】(1)高為6，斜高為，側(cè)棱長為(2)表面積是，體積是【分析】（1）由條件依次求得，，的長即可.（2）由棱錐表面積及體積的計(jì)算公式，求得表面積和體積.【詳解】（1）因?yàn)檎忮F的底面周長為24，所以正六棱錐的底面邊長為4．在正六棱錐中，，H為中點(diǎn)，所以．因?yàn)镺是正六邊形的中心，所以為正六棱錐的高．，在中，，所以．在中，．在中，，，所以．故該正六棱錐的高為6，斜高為，側(cè)棱長為．（2）的面積為，的面積為，所以正六棱錐的表面積為，體積為.20．已知復(fù)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)取什么值時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)？（Ⅱ）當(dāng)時，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）20.【分析】（I）利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件即可得出；（II）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出【詳解】（Ⅰ）若為純虛數(shù)，則，解得．故當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．（Ⅱ）當(dāng)時，，∵，∴．21．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求A；（2）若A為銳角，，的面積為，求的周長．【答案】（1）或；（2）.【分析】(1)由正弦定理將邊化為對應(yīng)角的正弦值，即可求出結(jié)果；(2)由余弦定理和三角形的面積公式聯(lián)立，即可求出結(jié)果.【詳解】（I）由正弦定理得，，即又，或．（II），由余弦定理得，即，而的面積為．的周長為5+．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題型.22．如圖矩形是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中，．（1）畫出平面四邊形OABC的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；（2）若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．【答案】（1）平面圖見解析，面積為；（2）體積為，表面積為.【分析】（1）根據(jù)斜二測畫法所畫的直觀圖與平面圖的關(guān)系作出平面圖形，然后根據(jù)面積公式求解出面積即可；（2）畫出幾何體的直觀圖，然后根據(jù)圓柱、圓錐的體積和表面積公式求解出旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.【詳解】（1）平面四邊形的平面圖如下圖所示：由直觀圖可知菱形的高為：，所以面積為；（2）旋轉(zhuǎn)而成的幾何體如下圖所示：該幾何體可以看成圓柱挖去一個同底的圓錐再加上一個同底的圓錐，由（1）可知圓柱的底面圓半徑為，母線長為，所以體積；所以表面積.2023-2024學(xué)年福建省南安市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.若，則（）A B. C. D.【正確答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解.【詳解】由，得，所以.故選：A.2.已知，，，則的形狀是（）．A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示可得，，，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可判斷.【詳解】根據(jù)已知，有，，，因?yàn)椋?，即．故為直角三角形．故選：A本題考查了向量的坐標(biāo)表示、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖所示，在等腰梯形中，，對角線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交BC于點(diǎn)N，則在以，，為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，相等向量有A.1對 B.2對 C.3對 D.4對【正確答案】B【分析】利用相等向量的概念直接求解即可【詳解】由題，故相等向量有兩對故選：B本題考查相等向量的概念，是基礎(chǔ)題4.已知是銳角，，，且，則為（）A.30° B.45° C.60° D.30°或60°【正確答案】B【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值可得出結(jié)論.【詳解】∵，，且，∴，求得，，由是銳角，所以.故選：B.本題考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、已知三角函數(shù)值求角.5.在中，下列各式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用正弦定理、余弦定理以及誘導(dǎo)公式判斷四個選項(xiàng)的正誤，即可得正確答案.【詳解】對于選項(xiàng)A：由正弦定理有，故，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C：，由余弦定理得；故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D：由正弦定理可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：，即，故選項(xiàng)D正確；故選：D6.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】D【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.【詳解】若,可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先取正方形的中心，連接，由知為異面直線與所成的角，再在中求的正弦即可.詳解】連，相交于點(diǎn)，連、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，則，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，．故選：C.方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.8.如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用棱錐的體積公式計(jì)算即可．【詳解】三棱錐的體積為：故選：C本題考查柱錐臺體的體積公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（）A.共線 B.相等C.模相等，方向相反 D.模相等【正確答案】ACD【分析】根據(jù)向量的加法和減法的幾何意義（平行四邊形法則)，結(jié)合矩形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析可解.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，,所以共線，模相等,故A、D正確;∵矩形的對角線相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正確;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正確.本題考查向量的共線，相等，模，向量的加減法的幾何意義，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)向量的加減法的平行四邊形法則和矩形的性質(zhì)綜合判定是關(guān)鍵.10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，其中正確的是（）A.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是B.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)D.若，互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱【正確答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，共軛復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義判斷．【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，時，才是純虛數(shù)．A正確，B錯誤，，則，所以是實(shí)數(shù)，C正確；當(dāng)是實(shí)數(shù)時，其共軛復(fù)數(shù)是它本身，對應(yīng)的點(diǎn)是同一點(diǎn)，不關(guān)于虛軸對稱，D錯．故選：AC．11.已知直三棱柱中，AB⊥BC，，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到中點(diǎn)時，直線與平面所成的角的正切值為B.無論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動，都有⊥C.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到中點(diǎn)時，才有與相交于一點(diǎn)，記為Q，且D.無論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動，直線與AB所成角都不可能是30°【正確答案】ABD【分析】構(gòu)造線面角，由已知線段的等量關(guān)系求的值即可判斷A的正誤；利用線面垂直的性質(zhì)，可證明即可知B的正誤；由中位線的性質(zhì)有可知C的正誤；由直線的平行關(guān)系構(gòu)造線線角為，結(jié)合動點(diǎn)P分析角度范圍即可知D的正誤【詳解】直三棱柱中，，選項(xiàng)A中，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時，有E為的中點(diǎn)，連接、，如下圖示即有面∴直線與平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正確選項(xiàng)B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示由題意知，為正方形，即有而且為直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可證：，又∴面，又面，即有，故B正確選項(xiàng)C中，點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時，即在△中、均為中位線∴Q為中位線的交點(diǎn)∴根據(jù)中位線的性質(zhì)有：，故C錯誤選項(xiàng)D中，由于，直線與所成角即為與所成角：結(jié)合下圖分析知：點(diǎn)在上運(yùn)動時當(dāng)在或上時，最大為45°當(dāng)在中點(diǎn)上時，最小為∴不可能是30°，故D正確故選：ABD12.拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個正面”、“三個反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】利用n次的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式，分別求得的值，即可求解.【詳解】由題意，拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個正面”、“三個反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式，可得：，由，故A是錯誤的；由，故B是錯誤的；由，故C是正確的；由，故D是正確的.故選：CD本題主要考查概率的計(jì)算及其應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力.三、填空題.(本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在△ABC中，其外接圓半徑R＝2，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)正弦定理求邊的值，再根據(jù)的面積公式求面積.【詳解】根據(jù)正弦定理可知，所以，,，所以是等腰三角形，且，.故14.設(shè)為虛數(shù)單位，則的虛部為______．【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果【詳解】故易錯點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，在解題時一般利用分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，化簡為的形式，b就是這個復(fù)數(shù)的虛部，一定要注意符號，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于易錯題.15.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擊中目標(biāo)的次數(shù)，再用古典概型概率公式求解.【詳解】由數(shù)據(jù)得射擊4次至少擊中3次的次數(shù)有15，所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故本題考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16.如圖，已知直四棱柱的所有棱長均相等，，E是棱的中點(diǎn)，設(shè)平面經(jīng)過直線，且平面平面，若平面，則異面直線與所成的角的余弦值為_______．【正確答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明平面平面，平面即平面，然后分別取的中點(diǎn)，證明平面平面，可得，，可得異面直線與所成的角即與所成的角，由余弦定理可得答案.【詳解】由直四棱柱的所有棱長均相等，，所以是菱形，連接，，且，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，連接交與，所以，且是的中點(diǎn)，所以平面，所以平面平面，又平面，所以平面即平面，分別取的中點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以異面直線與所成的角即與所成的角，設(shè)，則直四棱柱的所有棱長均為2，由，所以，，且，由余弦定理得故答案為.本題考查了異面直線所成的角，關(guān)鍵點(diǎn)是作出平面及找出異面直線所成的角，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及空間想象力.四、解答題.（本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分）17.已知、、且（1）證明：是等腰直角三角形（2）求．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題意得，，由，，能夠證明是等腰直角三角形．（2）設(shè)點(diǎn)，則，．由，知且，由此能求出．【詳解】解：（1）證明：由題意得，因?yàn)?，所以所以是直角三角形又，，，是等腰直角三角形?）解：設(shè)點(diǎn)，則，，且，解得，，，，，，，．本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．解題時要認(rèn)真審題，注意平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的靈活運(yùn)用．18.甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率.【正確答案】（1）0.42；（2）0.46.【分析】（1）由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解；（2）由互斥事件概率的加法公式及相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB，事件A，B相互獨(dú)立，由題意可知，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且,互斥所以.19.成都七中為了解班級衛(wèi)生教育系列活動的成效，對全校40個班級進(jìn)行了一次突擊班級衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）.根據(jù)檢查結(jié)果：得分在評定為“優(yōu)”，獎勵3面小紅旗；得分在評定為“良”，獎勵2面小紅旗；得分在評定為“中”，獎勵1面小紅旗；得分在評定為“差”，不獎勵小紅旗.已知統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖如圖：（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；（2）學(xué)校用分層抽樣的方法，從評定等級為“良”、“中”的班級中抽取6個班級，再從這6個班級中隨機(jī)抽取2個班級進(jìn)行抽樣復(fù)核，求所抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率.【正確答案】（1）分；（2）.【分析】（1）利用頻率分布直方圖，能求出班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)．（2）“良”、“中”的頻率分別為0.4，0.2．又班級總數(shù)為40．從而“良”、“中”的班級個數(shù)分別為16，8．分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級個數(shù)分別為4，2．由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率．【詳解】（1）得分的頻率為；得分的頻率為；得分的頻率為；所以得分的頻率為設(shè)班級得分的中位數(shù)為分，于是，解得所以班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)為分.（2）由（1）知題意“良”、“中”的頻率分別為又班級總數(shù)為于是“良”、“中”的班級個數(shù)分別為.分層抽樣的方法抽取的“良”、“中”的班級個數(shù)分別為因?yàn)樵u定為“良”，獎勵2面小紅旗，評定為“中”，獎勵1面小紅旗.所以抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3為兩個評定為“良”的班級或一個評定為“良”與一個評定為“中”的班級.記這個事件為則為兩個評定為“中”的班級.把4個評定為“良”的班級標(biāo)記為2個評定為“中”的班級標(biāo)記為從這6個班級中隨機(jī)抽取2個班級用點(diǎn)表示，其中.這些點(diǎn)恰好為方格格點(diǎn)上半部分（不含對角線上的點(diǎn)），于是有種.事件僅有一個基本事件.所以所抽取的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和不少于3的概率為.本題考查中位數(shù)、概率的求法，考查分層抽樣、頻率分布直方圖、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．20.在中，內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)平面向量，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求中邊上的高.【正確答案】(1);(2).【詳解】分析：（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得，根據(jù)正弦、余弦定理得，即可得到；（2）由余弦定理和，得，再利用三角形的面積公式，求得，即可得到結(jié)論．詳解：（1）因?yàn)椋?，即，即，根?jù)正弦定理得，所以，所以；（2）由余弦定理，又，所以，根據(jù)△的面積，即，解得，所以中邊上的高．點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，對于解三角形問題，通常利用正