浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．已知，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋?，則.故選：A.2．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B．1 C．-1 D．【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求出虛部.【詳解】，故，的虛部為1.故選：B3．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則角（）A． B． C．或 D．或【正確答案】D【分析】由正弦定理即可求解．【詳解】在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以或，故選：D.4．下列說法中正確的是（

）A．直四棱柱是長(zhǎng)方體B．圓柱的母線和它的軸可以不平行C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐【正確答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)立體幾何圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由直四棱柱的定義可知，長(zhǎng)方體是直四棱柱，但當(dāng)?shù)酌娌皇情L(zhǎng)方形時(shí)，直四棱柱就不是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，會(huì)得到兩個(gè)同底的圓錐組合體，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．若復(fù)數(shù)，則（

）A．-1 B． C． D．0【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A.6．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，則的面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，最后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】因?yàn)榈捻旤c(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，則，，所以，，則為銳角，所以，，因此，.故選：B.7．三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)面面積分別為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（

）A．4 B． C． D．【正確答案】D【分析】結(jié)合題意可得，，進(jìn)而由勾股定理可得，，從而求得，再利用等體積法即可求解.【詳解】由題意，可得，解得，，由勾股定理可得，，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則，且，所以，即.設(shè)該三棱錐內(nèi)切球的球心為，半徑為，由，即，即，解得.故選：D.8．在中，在射線上，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，表示出，結(jié)合題設(shè)可得關(guān)于參數(shù)的方程，即可求得答案.【詳解】由于在射線上,設(shè)，則,因?yàn)?，故，解得，故選：D二、多選題9．已知，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．的最大值為2C．存在，使 D．的最大值為3【正確答案】BCD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求解AB，當(dāng)同向時(shí)，則有，將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】依題意，對(duì)于A：，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由A知，所以當(dāng)時(shí)，有最大值2，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D：，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值9，所以的最大值為3，故D正確.故選：BCD.10．已知復(fù)數(shù)，且，則的值可以是（

）A．2 B． C． D．1【正確答案】AC【分析】根據(jù)，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，則，，，因?yàn)?，所以，則，故選：AC11．已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則為鈍角三角形C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【正確答案】ABC【分析】對(duì)于A：結(jié)合大角對(duì)大邊及正弦定理即可求解；對(duì)于B：由向量夾角公式即可判斷；對(duì)于C：由銳角三角形內(nèi)角的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式即可求解；對(duì)于D：由余弦定理變形式即可求解.【詳解】對(duì)于A：由大角對(duì)大邊及正弦定理可知：，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)闉殇J角三角形，所以,所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，由正弦定理得：，設(shè)，由余弦定理變形式得：，所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．如圖是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，圓錐的底面和圓柱的上底面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的一半，若該組合體外接球的半徑為2，則（

）A．圓錐的底面半徑為1B．圓柱的體積是外接球體積的四分之三C．該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為D．圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半【正確答案】CD【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，圓柱上下底面的圓心分別為，，的中點(diǎn)為，設(shè)圓錐的高為，圓柱的高為，圓柱的上下底面圓半徑為，由題意可得，解出和的值，進(jìn)而結(jié)合圓柱、圓錐和球體的面積和體積公式求解各選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，圓柱上下底面的圓心分別為，，的中點(diǎn)為，由題意，設(shè)圓錐的高為，圓柱的高為，圓柱的上下底面圓半徑為，則，解得，，故A錯(cuò)誤；圓柱的體積為，外接球體積為，則，故B錯(cuò)誤；圓柱底面面積為，外接球表面積，則，故C正確；圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱側(cè)面積為，所以圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半，故D正確.故選：CD.三、填空題13．已知是方向相同的單位向量,且向量在向量方向上的投影向量為,求與的夾角__________.【正確答案】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量為,由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?所以,即,因?yàn)?所以,故答案為:.14．用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為__________.【正確答案】【分析】作出原圖形，根據(jù)原圖形與直觀面積之間的關(guān)系求解．【詳解】根據(jù)題意得，原四邊形為一個(gè)直角梯形，且，，，，則，所以，.故答案為.15．已知復(fù)數(shù)，，則的最大值為__________.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為.16．在中，已知，，，邊上的中線為，為三等分點(diǎn)，滿足，連接，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為__________.【正確答案】##【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得、、、、，所以，，，則，，所以，.故答案為.四、解答題17．當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)分別滿足下列條件：(1)與原點(diǎn)重合；(2)位于直線上；(3)位于第一象限或者第三象限.【正確答案】(1)(2)或(3)或.【分析】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合表示的點(diǎn)所處位置，列出相應(yīng)的方程或不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得復(fù)數(shù)z滿足時(shí)，表示的點(diǎn)與原點(diǎn)重合,解得.（2）當(dāng)時(shí)，表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于直線上，解得或.（3）方法一：由題意可得或，解，得或，解，解集為，故或.方法二：由題意得或.18．已知平面向量、，若，，.(1)求向量、的夾角；(2)若且，求.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）在等式兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得向量、的夾角的余弦值，結(jié)合向量夾角的取值范圍即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，所以，，又因?yàn)?，因此，，即向量、的夾角為.（2）解：因?yàn)榍?，則，解得，因此.19．如圖，正三棱錐中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿三棱錐側(cè)面爬行到點(diǎn)，求：(1)該三棱錐的體積與表面積；(2)螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng).【正確答案】(1)體積為，表面積為；(2).【分析】（1）將△當(dāng)作底面，將當(dāng)作三棱錐的高，由三棱錐體積公式即可求得三棱錐的體積；再由求出各個(gè)面的面積，由面積公式可得三棱錐的表面積；（2）將△與延展開，使得兩個(gè)三角形在同一個(gè)平面上，連接，再由余弦定理即可求得最短值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，又，VB、VC在面VBC內(nèi)，得面，，（2）情況一，如下圖：連接，線段的長(zhǎng)度即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，△中，，由余弦定理可得：，即；情況二，如下圖：連接，線段的長(zhǎng)度即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，所以，由余弦定理可得：，又，所以，則；綜上，，因此，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為.20．如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾斨g的距離，飛機(jī)沿水平方向在兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在同一鉛垂平面內(nèi).飛機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)路程為，途中在點(diǎn)觀測(cè)到處的俯角分別為，在點(diǎn)觀測(cè)到處的俯角分別為.(1)求之間的距離（用字母表示）；(2)若，求之間的距離.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理求得結(jié)果.（2）先利用余弦定理求解，再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得，即.所以.（2）因?yàn)椋桑?）知.，則為等腰三角形，，,由余弦定理可得在中，，由余弦定理可得：因此之間的距離為.21．已知矩形中，為中點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.(1)求的最小值；(2)設(shè)線段與的交點(diǎn)為，求的最小值.【正確答案】(1)0(2)【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)三角形相似得出，再求出的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，如圖建立直角坐標(biāo)系：，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為0；（2）有圖可得：則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，的最小值為.22．已知、、分別是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若銳角的面積為，求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理可得出，再利用兩角和的正弦公式以及輔助角公式可得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）法一：由三角形的面積公式可求得，利用余弦定理可得出，再由，可求得的取值范圍；法二：由三角形的面積公式可求得，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，根據(jù)為銳角三角形求出的取值范圍，再利用正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得①，又因?yàn)?，所?代入①得，即.因?yàn)椋瑒t，所以，則，即，因?yàn)?，則，則，所以.（2）解：法一：題意得，所以，在中，由余弦定理得：②，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即③，且④，由②③得，解得，即，解得.由②④得，即，綜上，的取值范圍是.法二：由題意得：，所以，則，又因?yàn)槭卿J角三角形，則則，所以，，則，故，即的取值范圍是.浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，，則.故選：A.2.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B.1 C.-1 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求出虛部.【詳解】，故，的虛部為1.故選：B3.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則角（）A. B. C.或 D.或【正確答案】D【分析】由正弦定理即可求解．【詳解】在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以或，故選：D.4.下列說法中正確的是（）A.直四棱柱是長(zhǎng)方體B.圓柱的母線和它的軸可以不平行C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐【正確答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)立體幾何圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由直四棱柱的定義可知，長(zhǎng)方體是直四棱柱，但當(dāng)?shù)酌娌皇情L(zhǎng)方形時(shí)，直四棱柱就不是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，會(huì)得到兩個(gè)同底的圓錐組合體，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.若復(fù)數(shù)，則（）A.-1 B. C. D.0【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A.6.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，則的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，最后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】因?yàn)榈捻旤c(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，則，，所以，，則為銳角，所以，，因此，.故選：B.7.三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)面面積分別為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（）A.4 B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合題意可得，，進(jìn)而由勾股定理可得，，從而求得，再利用等體積法即可求解.【詳解】由題意，可得，解得，，由勾股定理可得，，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則，且，所以，即.設(shè)該三棱錐內(nèi)切球的球心為，半徑為，由，即，即，解得.故選：D.8.在中，在射線上，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，表示出，結(jié)合題設(shè)可得關(guān)于參數(shù)的方程，即可求得答案.【詳解】由于在射線上,設(shè)，

則,因?yàn)?，故，解得，故選：D二?多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分）9.已知，則下列命題正確的有（）A.若，則 B.的最大值為2C.存在，使 D.的最大值為3【正確答案】BCD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求解AB，當(dāng)同向時(shí)，則有，將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】依題意，對(duì)于A：，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由A知，所以當(dāng)時(shí)，有最大值2，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D：，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值9，所以的最大值為3，故D正確.故選：BCD.10.已知復(fù)數(shù)，且，則的值可以是（）A.2 B. C. D.1【正確答案】AC【分析】根據(jù)，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，則，，，因?yàn)?，所以，則，故選：AC11.已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則為鈍角三角形C.若為銳角三角形，則D.若，則為銳角三角形【正確答案】ABC【分析】對(duì)于A：結(jié)合大角對(duì)大邊及正弦定理即可求解；對(duì)于B：由向量夾角公式即可判斷；對(duì)于C：由銳角三角形內(nèi)角的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式即可求解；對(duì)于D：由余弦定理變形式即可求解.【詳解】對(duì)于A：由大角對(duì)大邊及正弦定理可知：，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)闉殇J角三角形，所以,所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，由正弦定理得：，設(shè)，由余弦定理變形式得：，所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.如圖是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合體，圓錐的底面和圓柱的上底面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的一半，若該組合體外接球的半徑為2，則（）A.圓錐的底面半徑為1B.圓柱的體積是外接球體積的四分之三C.該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為D.圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半【正確答案】CD【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，圓柱上下底面的圓心分別為，，的中點(diǎn)為，設(shè)圓錐的高為，圓柱的高為，圓柱的上下底面圓半徑為，由題意可得，解出和的值，進(jìn)而結(jié)合圓柱、圓錐和球體的面積和體積公式求解各選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，圓柱上下底面的圓心分別為，，的中點(diǎn)為，由題意，設(shè)圓錐的高為，圓柱的高為，圓柱的上下底面圓半徑為，則，解得，，故A錯(cuò)誤；圓柱的體積為，外接球體積為，則，故B錯(cuò)誤；圓柱底面面積為，外接球表面積，則，故C正確；圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱側(cè)面積為，所以圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半，故D正確.故選：CD.非選擇題部分三?填空題：（本小題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知是方向相同的單位向量,且向量在向量方向上的投影向量為,求與的夾角__________.【正確答案】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量為,由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?所以,即,因?yàn)?所以,故答案為:.14.用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為__________.【正確答案】【分析】作出原圖形，根據(jù)原圖形與直觀面積之間的關(guān)系求解．【詳解】根據(jù)題意得，原四邊形為一個(gè)直角梯形，且，，，，則，所以，.故答案.15.已知復(fù)數(shù)，，則的最大值為__________.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為.16.在中，已知，，，邊上的中線為，為三等分點(diǎn)，滿足，連接，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為__________.【正確答案】##【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得、、、、，所以，，，則，，所以，.故答案為.四?解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)分別滿足下列條件：（1）與原點(diǎn)重合；（2）位于直線上；（3）位于第一象限或者第三象限.【正確答案】（1）（2）或（3）或.【分析】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合表示的點(diǎn)所處位置，列出相應(yīng)的方程或不等式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得復(fù)數(shù)z滿足時(shí)，表示的點(diǎn)與原點(diǎn)重合,解得.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于直線上，解得或.【小問3詳解】方法一：由題意可得或，解，得或，解，解集為，故或.方法二：由題意得或.18.已知平面向量、，若，，.（1）求向量、的夾角；（2）若且，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）在等式兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得向量、的夾角的余弦值，結(jié)合向量夾角的取值范圍即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得.【小問1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，所以，，又因?yàn)椋虼?，，即向量、的夾角為.【小問2詳解】解：因?yàn)榍?，則，解得，因此.19.如圖，正三棱錐中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿三棱錐側(cè)面爬行到點(diǎn)，求：（1）該三棱錐的體積與表面積；（2）螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng).【正確答案】（1）體積為，表面積為；（2）.【分析】（1）將△當(dāng)作底面，將當(dāng)作三棱錐的高，由三棱錐體積公式即可求得三棱錐的體積；再由求出各個(gè)面的面積，由面積公式可得三棱錐的表面積；（2）將△與延展開，使得兩個(gè)三角形在同一個(gè)平面上，連接，再由余弦定理即可求得最短值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，又，VB、VC面VBC內(nèi)，得面，，【小問2詳解】情況一，如下圖：連接，線段長(zhǎng)度即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，△中，，由余弦定理可得：，即；情況二，如下圖：連接，線段的長(zhǎng)度即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，所以，由余弦定理可得：，又，所以，則；綜上，，因