“同心協(xié)力”問題策略研究

“同心協(xié)力”問題策略研究摘要本文研究多人協(xié)力顛球的策略問題，使用動量守恒原理，并考慮了過程中非完全彈性碰撞中恢復(fù)系數(shù)作為影響因素主要條件，其他如空氣摩擦以及鼓面的受力不均勻在此處的影響較小，對其對排球再次彈起的高度的影響數(shù)值為忽略不計入計算過程與結(jié)果。在該前提下對不同問題進行策略研究。問題一，在所有隊員的力度，方向，時機的控制方面上都能夠達到精準操作，這樣一來，動能消耗的產(chǎn)生存在于空氣摩擦，與彈性碰撞恢復(fù)系數(shù)決定了球再次彈起時的高度，此時我們選擇忽視空氣摩擦這個微小的影響，以彈性恢復(fù)系數(shù)為主測得豎直方向上理想的高度為大于等于40cm的條件下求得最省的力。求出力的大小為39.6N，鼓的位移為0.051m，鼓的速度為0.6m/s。問題二，由于在現(xiàn)實狀態(tài)下，8個隊員參加，我們將鼓平均分成8份，根據(jù)繩長與初始位置較繩子水平時下降的距離計算出繩子與鼓水平面夾角的正弦值。結(jié)合受力分析模型對每份鼓受到的繩拉力與重力進行分析，最終得到豎直向上的加速度。運用加速度與距離公式計算出在開始后0.1s內(nèi)每名隊員對每份鼓的不同作用力產(chǎn)生的上升距離與其他部分鼓上升的距離，作差得到鼓面相對兩側(cè)的上升距離差值。用得到的差值與鼓面直徑建立反三角函數(shù)關(guān)系式從而計算得到鼓面傾斜的角度。問題三，在鼓面出現(xiàn)傾斜角度的問題下，在考慮排球下落至鼓面時與傾斜鼓面法線夾角和排球彈起時與鼓面法線的夾角，這兩個夾角的大小相等，通過問題一的公式推導(dǎo)，以及對排球在豎直方向上的分速度能夠達到排球剛接觸鼓面的速度大小，從而計算出有關(guān)的水平位移，以及對鼓的合力的大小相應(yīng)公式，在給定傾斜角度后可以算出最小的位移以及力度。以及對運動軌跡的反推可得到此時鼓的傾斜角度關(guān)于小球再次彈起最高位置的空間豎直方向?qū)ΨQ。問題四，根據(jù)前三問題以及第四問給定條件可算出小球下落到鼓面彈起的速度。最后通過計算可得出水平位移動0.11m，10人的合力為44.5N。鼓的傾角應(yīng)為關(guān)于排球在空間最高點對稱傾角為。問題重述“同心協(xié)力”是一項拓展項目，具體為在牛皮雙鼓面上沿圓周均勻固定相同長度的繩子，每位隊員起始時牽拉一根繩子，使鼓面水平，項目開始時，球從鼓面中心上方豎直落下，隊員齊心協(xié)力使球顛起并有節(jié)奏的在鼓面跳動。顛球過程中，隊員只能抓捏繩子末端，不能接觸其他位置。項目所用排球的質(zhì)量為270g。鼓面直徑為40cm，鼓身高度為22cm，鼓的質(zhì)量為3.6kg。隊員人數(shù)不少于8人，隊員之間的最小距離不得小于60cm。項目開始時，球從鼓面中心上方40cm處豎直落下，球被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40cm以上，如果低于40cm，則項目停止。項目的目標是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。試建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：1.在理想狀態(tài)下，每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度，試討論這種情形下團隊的最佳協(xié)作策略，并給出該策略下的顛球高度。2.在現(xiàn)實情形中，隊員發(fā)力時機和力度不可能做到精確控制，存在一定誤差，于是鼓面可能出現(xiàn)傾斜。試建立模型描述隊員的發(fā)力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。設(shè)隊員人數(shù)為8，繩長為1.7m，鼓面初始時刻是水平靜止的，初始位置較繩子水平時下降11cm，表1中給出了隊員們的不同發(fā)力時機和力度，求0.1s時鼓面的傾斜角度。3.在現(xiàn)實情形中，根據(jù)問題2的模型，你們在問題1中給出的策略是否需要調(diào)整？如果需要，如何調(diào)整？4.當鼓面發(fā)生傾斜時，球跳動方向不再豎直，于是需要隊員調(diào)整拉繩策略。假設(shè)人數(shù)為10，繩長為2m，球的反彈高度為60cm，相對于豎直方向產(chǎn)生1度的傾斜角度，且傾斜方向在水平面的投影指向某兩位隊員之間，與這兩位隊員的夾角之比為1:2。為了將球調(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，請給出在可精確控制條件下所有隊員的發(fā)力時機及力度，并分析在現(xiàn)實情形中這種調(diào)整策略的實施效果。

二、基本假設(shè)（1）問題一中，根據(jù)題意假設(shè)所有隊員都能準確控制力的大小與方向。（2）所有問題中由于空氣阻力的影響過小皆不考慮空氣阻力的對球彈起與下降高度的影響。（3）鼓與球的接觸的時間較小忽略不計，理解為瞬時發(fā)生，碰撞前后動量守恒。（4）排球的彈性恢復(fù)系數(shù)為0.9。（5）鼓面是標準平面，球是標準球體。（6）鼓初始時會有與排球超過40cm的加速過程的位移，使鼓獲得一定速度。（7）假設(shè)速度豎直向下為正方向。（8）假設(shè)在隊員用力拉繩時，繩子受力均衡，不會出現(xiàn)斷裂。三、問題分析2.1問題一針對問題一，在隊員能夠精確控制力的大小與方向，其中空氣阻力較小忽略不計，只考慮彈性恢復(fù)系數(shù)的情況下，其中根據(jù)動量是守恒的，并且規(guī)定排球的彈性恢復(fù)系數(shù)為0.9，由彈性恢復(fù)系數(shù)公式與動量守恒，以及排球下落時的速度的大小等于排球彈起時的速度且方向相反，即則有，根據(jù)動量守恒和彈性恢復(fù)系數(shù)公式求出鼓上升時所需要的速度，通過根據(jù)球落下的時間t與鼓的時間t相同，求出鼓的加速度a，根據(jù)鼓的加速度a，以及鼓的質(zhì)量m2可以求出對鼓在豎直向上方向的力的大小F,以及位移x2。針對問題二：由于問題二是在現(xiàn)實情況下進行討論的。所以每名隊員的發(fā)力時機和力度與方向不可能做到精確控制，會存在一定誤差。所以鼓面會產(chǎn)生一定的傾斜角度。題中給定參加隊員為8人，給定繩長為1.7米，鼓面初始時刻是水平靜止的，初始位置較繩子水平時下降11cm。我們將鼓分成八份，根據(jù)繩長與初始位置較繩子水平時下降的距離計算出繩子與鼓面夾角的正弦值。建立受力分析模型，對每份鼓進行受力分析，分析重力與繩的拉力，得到每份鼓受到的豎直向上的分力。運用分力與正弦值計算出每份鼓的加速度，運用加速度與距離公式計算出每份鼓0.1s內(nèi)上升的距離，將出問題的鼓上升的距離與其他鼓上升距離作差。將差值與鼓面直徑帶入反三角函數(shù)中即可得到鼓面的傾斜角度。四、符號說明五、模型的建立與求解5.1問題一模型的建立與求解對于問題一，在所有隊員能夠精確控制力的大小和方向，此時在假設(shè)條件下，排球上升時若能達到40cm的高度，其，為下落時接觸到鼓面的速度，此時在假設(shè)條件下有動量守恒定理：\\(1)且彈性恢復(fù)系數(shù)公式為：（2）由（1）（2）聯(lián)立解方程式得：（3）（4）根據(jù)（1）(2)(3)(4)公式聯(lián)立解出的關(guān)系式（5）排球與鼓面接觸時的速度，在題上給出高度，規(guī)定重力加速度，得到。根據(jù)已知排球質(zhì)量，鼓的質(zhì)量，排球的彈性恢復(fù)系數(shù)，以及排球與鼓面接觸時的速度，解出，則鼓的速度應(yīng)達到向上速度大小為。由于鼓與排球從靜止到接觸的時間在同一時刻發(fā)生，所以有相同的時間間隔t。則根據(jù)公式，，，可求出鼓加速度，此時時間。且可以求得鼓的位移。人對鼓的合力.5.2問題二的模型建立與求解對于問題二，由于是在現(xiàn)實情形中。每名隊員的發(fā)力時機與力度大小都是不可控制的存在誤差的。所以我們根據(jù)隊員數(shù)量將鼓分成8塊。每名隊員控制一塊鼓。由于題目已規(guī)定好繩長和鼓初始位置較繩子水平時下降的距離由此得到繩與鼓面的夾角的正弦值。已知繩長170cm，鼓初始位置較繩子水平時下降的距離11cm所以繩與鼓面夾角正弦值為：針對每八分之一塊鼓建立受力分析模型進行受力分析，已知鼓的質(zhì)量為3.6kg，所以每小塊鼓質(zhì)量為0.45kg。在針對序號1的情況下，1號隊員與其他隊員發(fā)力時機相同但是發(fā)力大小為90N，通過受力分析模型得到與重力相反方向的分力大小為：該塊鼓重力約為4.5N。所以該塊鼓受到豎直向上的合力為5.82N-4.5N=1.32N。由此可知該塊鼓的加速度為：根據(jù)加速度與距離公式得到在0.1s內(nèi)該部分鼓上升的距離為：綜上，其他部分鼓的上升距離也可由此計算，相減即可得到鼓兩側(cè)的上升高度差。由此可以得到隊員拉力與高度差的關(guān)系式：根據(jù)此公式即可計算出題中9中情況的高度差。最后根據(jù)高度差與鼓面直徑建立反三角函數(shù)：根據(jù)此函數(shù)關(guān)系式即可求得0.1s時鼓面的傾斜角度。9種情況的具體傾角如下表所示。

序號用力參數(shù)12345678鼓面傾角（度）1發(fā)力時機000000001.031用力大小90808080808080802發(fā)力時機000000001.031用力大小90908080808080803發(fā)力時機000000000.515用力大小90808090808080804發(fā)力時機-0.100000003.238用力大小80808080808080805發(fā)力時機-0.1-0.10000003.238用力大小80808080808080806發(fā)力時機-0.100-0.100000.529用力大小80808080808080807發(fā)力時機-0.100000007.368用力大小90808080808080808發(fā)力時機0-0.100-0.10003.712用力大小90808090808080809發(fā)力時機0000-0.100-0.12.650用力大小90808090808080805.3問題三模型的建立與求解對于問題三，在考慮鼓面具有傾斜角的情況下，排球的運動軌跡會隨傾斜角度發(fā)生變化，根據(jù)假設(shè)球接觸鼓面時的速度方向的變化時間過短，認為此時球彈起的速度方向與鼓面垂直的夾角和球下落接觸鼓面的速度方向與鼓面垂直方向的夾角都為，且由圖形可知該就是鼓的傾斜角。此時我們將彈起時的速度可以分為豎直速度與水平速度，要使物體豎直高度能夠達到40cm，則的速度需要達到與速度大小相等方向相反。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系式得，（6）聯(lián)立（1）（2）（3）（4）（6）得出鼓需要的速度的關(guān)系式：（7）從而可以得出鼓所需的加速度，則可以根據(jù)求出所有人所需最小合力。由公式（6）可以推算出水平方向速度大?。海?）此時只考慮速度的大小問題。小球豎直方向的速度與大小相等方向相反，此時球在從再次上升到下落的水平方向的位移時間，排球水平位移，人員需要相應(yīng)調(diào)整位移即排球水平位移。且要使排球再次彈起為豎直向上，根據(jù)運動模型逆推發(fā)現(xiàn)，此時鼓的傾斜角度關(guān)于小球再次彈起最高位置的空間豎直方向?qū)ΨQ。5.4問題四模型的建立與求解對于問題四是基于前三問的綜合求解，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)可以綜合求解出全體隊員分別對于鼓施加的力的大小，以及所需要的水平位移。以下根據(jù)前三問的基礎(chǔ)條件對第四問進行分布求解：在已知球體