專題08極值點偏移問題（講）【原卷版】

第一篇熱點、難點突破篇專題08極值點偏移問題（講）真題體驗感悟高考1．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．2.（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1.高考對導(dǎo)數(shù)的考查要求一般有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如研究函數(shù)零點、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設(shè)計綜合題.2.對于某些涉及函數(shù)零點的不等式證明問題，有時可以根據(jù)極值點的情況，采取特定處理方式，老師們稱為“極值點偏移問題”.所謂極值點偏移是指：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一結(jié)論x1＋x2>2x0型不等式證明問題【核心知識】對稱化構(gòu)造法：對結(jié)論x1＋x2>2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．【典例分析】典例1.【多選題】（2021·江蘇·淮陰高三階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個不等的正根，且，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．典例2.（2021·遼寧丹東·高三階段練習(xí)）已知，，(1)若恒成立，求的最大值(2)若，是的兩個零點，且求證：典例3.（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)在最大值；（2）當時，設(shè)函數(shù)的兩個零點為，試證明：．典例4.（2022?汕頭一模）已知函數(shù)有兩個相異零點，．（1）求的取值范圍；（2）求證：．【規(guī)律方法】對稱法解決極值點偏移的基本原理是利用函數(shù)的單調(diào)性，把要證明的（是極值點）轉(zhuǎn)化為證明，再轉(zhuǎn)化為，又根據(jù)，可以轉(zhuǎn)化為證明，而

是固定的，是變量，這樣就把一個雙變量不等式轉(zhuǎn)化為了單變量不等式，從而以為未知量來構(gòu)造函數(shù)證明不等式即可.考向二結(jié)論型不等式證明問題【核心知識】對稱化構(gòu)造法：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式.【典例分析】典例5.（2021·全國·高三階段練習(xí)（理））有同學(xué)在研究指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像時，發(fā)現(xiàn)它們在第一象限有兩個交點和．通過進一步研究，該同學(xué)提出了如下兩個猜想：請你證明或反駁該同學(xué)的猜想．(1)函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個公共點；(2)設(shè)，，且，若，則．其中為自然對數(shù)的底，典例5.（2022·廣東深圳·高二期末）設(shè)函數(shù)，已知直線是曲線的一條切線.(1)求的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，其中，證明：.典例6.（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（1）若時，恒成立，求的取值范圍；（2）求證且；（3）當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證考向三雙變量不等式不等式證明問題【核心知識】比值代換法：通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．【典例分析】典例7.（2021·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax，a為常數(shù)．（1）若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，求a的值；（2）當a＝1時，試比較f（m）與f（）的大??；（3）若函數(shù)f(x)有兩個零點x1、x2，試證明x1x2＞e2．典例8.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上有兩個極值點、．①求實數(shù)的取值范圍；②求證：．典例9.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，.（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）當時，證明：.典例10.（2021·安徽·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．(1)討論極值點的個數(shù)．(2)若有兩個極值點，，且，證明：．典例11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(