向量數(shù)量積專題

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--內(nèi)頁能夠根據(jù)需求調(diào)節(jié)適宜字體及大小--向量數(shù)量積專項(xiàng)(總)(總12頁)平面對(duì)量的數(shù)量積【知識(shí)點(diǎn)精講】一、平面對(duì)量的數(shù)量積（1）已知兩個(gè)非零向量和，記為，則叫做向量與的夾角，記作，并規(guī)定。如果與的夾角是，就稱與垂直，記為（2）叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量與垂直的充要條件是兩個(gè)非零向量與平行的充要條件是二、平面對(duì)量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，即（在方向上的投影為）；在方向上的投影為三、平面對(duì)量數(shù)量積的重要性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或性質(zhì)4性質(zhì)5注：運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)2能夠解決有關(guān)垂直問題；運(yùn)用性質(zhì)3能夠求向量長(zhǎng)度；運(yùn)用性質(zhì)4能夠求兩向量夾角；運(yùn)用性質(zhì)5可解決不等式問題。四、平面對(duì)量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）（交換律）；（2）（為實(shí)數(shù)）；（3）（分派律).數(shù)量積運(yùn)算法則滿足交換律、分派律，但不滿足結(jié)合律，不可約分不能得到。五、平面對(duì)量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表達(dá)設(shè)向量則，由此得到：若則或設(shè)則兩點(diǎn)間距離設(shè)是與的夾角，則①非零向量，的充要條件是②由得六、向量中的易錯(cuò)點(diǎn)（1）平面對(duì)量的數(shù)量積是一種實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是由于任一與垂直的非零向量都有。當(dāng)且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是由于是一種與共線的向量，而是一種與共線的向量，而與不一定共線，因此不一定等于。即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形成的選項(xiàng)，普通都是錯(cuò)誤選項(xiàng)。（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角），當(dāng)且僅當(dāng)且（或且）.【題型歸納】一、平面對(duì)量的數(shù)量積【例1】（1）在中，則().（北京理13）已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為；的最大值為。在中，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上且滿足，則等于（）.【變式1】如圖5-27所示，在平行四邊形中，，垂足為，且,則.【變式2】在中，，若為的重心，則.【例2】如圖所示，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是.【變式1】如圖所示，在中，，，，是邊上一點(diǎn)，，則.【變式2】如圖所示，在中，，，，則.【變式3】已知為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)滿足，，，若，則（）?！纠?】已知向量滿足，，則.【變式1】在中，若，則.【變式2】已知向量滿足，且，，則=.【變式3】已知向量滿足，且若，則.【例4】設(shè)是單位向量，且，則的最小值為（） 【變式1】已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（）. 【變式2】（安徽理14）若平面對(duì)量滿足，則的最小值是.【例5】在中，是的中點(diǎn)，，則=.二、平面對(duì)量的夾角 求夾角，用數(shù)量積，由，得，進(jìn)而求得向量夾角.【例1】已知向量,則與則的夾角是.【例2】已知是非零向量且滿足，則與則的夾角是（）.【例3】已知向量滿足，則與則的夾角等于（）. 【變式1】若是兩個(gè)非零向量，且，則與則的夾角為.【變式2】若平面對(duì)量滿足，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范疇是.【例4】已知，與的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范疇.【變式1】設(shè)兩個(gè)向量，滿足，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的范疇.【變式2】已知與均為單位向量，其夾角為,有下列四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）.【變式3】若向量與不共線，，且，則向量與的夾角為（）.三、平面對(duì)量的模長(zhǎng)求模長(zhǎng)，用平方，【例1】已知，向量與的夾角為，求.【變式1】已知向量滿足，與的夾角為，則.【變式2】已知向量滿足，，則等于（）.【變式3】在中，已知，求.【例2】已知，向量與的夾角為，,則等于（）.【變式1】已知向量的夾角為，且，則.【變式2】已知，則與的夾角為，【變式3】設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，，則（）【例3】已知平面對(duì)量，滿足，且與的夾角為，則的取值范疇是.【變式1】若均為單位向量，且，，則的最大值為（）.【變式2】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范疇是（）.【例4】在平面上，，.若，則的取值范疇是（）.【變式1】在直角三角形中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）加強(qiáng)練習(xí)：例1：在中，為中點(diǎn)，若，則_____例2：若均為單位向量，且，則的最大值為（）A.B.C.D.例3：平面上的向量滿足，且，若，則的最小值為___________例4：已知平面對(duì)量滿足，且與的夾角為，則的最小值是（）A.B.C.D.例5：已知平面對(duì)量的夾角，且，若，則的取值范疇是__________例6：已知，，則的最小值是（）A.B.C.D.例7：已知直角梯形中，∥，為腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________例8：如圖，在邊長(zhǎng)為的正三角形中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，其中，分別是的中點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.例9：已知與的夾角為，，，且，,在時(shí)取到最小值。當(dāng)時(shí)，的取值范疇是（）A.B.C.D.類型四平面對(duì)量與三角函數(shù)結(jié)合題1.已知向量，，設(shè)函數(shù)⑴求函數(shù)的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值．2.已知，A、B、C在同一種平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、、.(1)若，求角的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.3.已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別是a、b、c，平面對(duì)量，平面對(duì)量（1）如果求a的值；（2）若請(qǐng)判斷的形狀.4.已知向量,函數(shù)(1)求的周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)若在中，角所對(duì)的邊分別是，，求的取值范疇。有效訓(xùn)練題下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）.=1\*GB3①若,則；=2\*GB3②若且，則；=3\*GB3③；=4\*GB3④.已知向量，則向量的夾角為（）.已知向量.向量滿足，,則（）.