集合映射與函數(shù)

通知：9月29日(周四)中午12:30到理學(xué)院1樓大廳值班室購作業(yè)集，15元/套1.名稱工科數(shù)學(xué)分析總學(xué)時(shí)一學(xué)年(兩學(xué)期)教材?工科數(shù)學(xué)分析根底?第二版本學(xué)期96

學(xué)時(shí)王綿森馬知恩主編2.參考書?數(shù)學(xué)分析?第三版華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編?高等數(shù)學(xué)?第五版同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編3.書后習(xí)題參考書?工科數(shù)學(xué)分析根底學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解析?孫清華孫浩主編習(xí)題冊(cè)參考書?數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解華東師大第三版?張?zhí)斓马n振來主編4.本學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容1.一元函數(shù)的微分學(xué)；4.無窮級(jí)數(shù)。2.一元函數(shù)的積分學(xué)；3.微分方程；5.

高等數(shù)學(xué)

工科數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析

計(jì)算計(jì)算為主、證明兼顧

證明6.高等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的根底理論課之一，它是理工科大學(xué)生必修的數(shù)學(xué)根底理論課程，也是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)的必修課程，還是學(xué)習(xí)其它專業(yè)的必修課。

高等數(shù)學(xué)的性質(zhì)與作用高等數(shù)學(xué)的概念、理論和方法對(duì)于學(xué)生畢業(yè)后從事科學(xué)研究、工程技術(shù)與管理工作都是不可缺少的內(nèi)容。同時(shí)也是參加具有選拔功能的水平考試的必備根底。7.掌握高等數(shù)學(xué)的根本知識(shí)、根本理論和根本的計(jì)算方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目的

培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理的能力，以及辯證的思維方法；

培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力；為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下根底，也為學(xué)習(xí)專業(yè)的后繼課程準(zhǔn)備必要的數(shù)學(xué)根底。8.認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性，注意高等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法

如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？

初等數(shù)學(xué)

------研究對(duì)象為常量，以靜止的觀點(diǎn)研究問題；

學(xué)數(shù)學(xué)最好的方法是做數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)

------研究對(duì)象為變量，運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。9.〔2〕每次課后均布置作業(yè)，希望大家認(rèn)真完成?！?〕考試內(nèi)容以課堂上講的為范圍，在第12周前后會(huì)安排一次期中考試；

兩點(diǎn)說明：10.第1章函數(shù)、極限、連續(xù)第1節(jié)集合、映射與函數(shù)第2節(jié)數(shù)列的極限第3節(jié)函數(shù)的極限第4節(jié)無窮小量及無窮大量第5節(jié)連續(xù)函數(shù)11.

第1節(jié)集合、映射與函數(shù)

1.1集合及其運(yùn)算

1.2實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理1.3映射與函數(shù)的概念1.4復(fù)合映射與復(fù)合函數(shù)1.5逆映射與反函數(shù)1.6初等函數(shù)與雙曲函數(shù)12.集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，它是德國數(shù)學(xué)家康托〔Cantor〕創(chuàng)立的，不僅是分析學(xué)的根底，同時(shí)，它的一般思想已滲入到數(shù)學(xué)的所有部門?！凹险撚^點(diǎn)〞與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開展不可分割地聯(lián)系在一起。13.1.1集合及其運(yùn)算1、集合概念具有某種確定性質(zhì)對(duì)象的全體.組成這個(gè)集合的個(gè)別對(duì)象稱為該

集合元素(簡(jiǎn)稱元)(集)元素.集合的通常以大寫字母等表示集合,以小寫字母等表示集合的元素.否那么記記作或

注：集合中的元素具有確定性、無重復(fù)性、無序性。14.2表示法(1)列舉法：把集合的全部元素一一列出來,例有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的性質(zhì)P(x)例整數(shù)集合或有理數(shù)集p與q互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)外加花括號(hào).正整數(shù)集15.3集合的關(guān)系兩個(gè)集合一般地,如那么子集那么稱集合A與B相等,記作那么稱子集,(讀作A含于B)或(讀作B包含

A).集合相等記作16.如空集.不含任何元素的集合稱為那么稱真子集記作如NZQR.真子集,空集規(guī)定空集為任何集合的子集.今后在提到一個(gè)集合時(shí),一般都是如不加特別聲明,非空集.17.集合之間的相等與包含關(guān)系具有以下幾個(gè)性質(zhì):(1)反身性(2)反對(duì)稱性(3)傳遞性

注：空集是唯一的。

18.例確定以下命題是否為真〔1〕?；〔2〕∈；〔3〕∈{}；〔4〕?{}；〔5〕∈{{}}；〔6〕{a}?{{a}}；〔7〕{a}∈{{a}}；〔8〕{a}?{a，{a}}；〔9〕{a}∈{a，{a}}。注:〔i〕理解符號(hào)∈和?的區(qū)別和聯(lián)系(ii)理解集合和{}；{a}和{{a}}的區(qū)別和聯(lián)系。

19.給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義以下運(yùn)算:或4集合的三種根本運(yùn)算20.注研究某個(gè)問題時(shí)所考慮的對(duì)象的全體記作例如,那么余集或補(bǔ)集.A∪BA∩B并用

X表示,稱為全集或根本集,并把差積特別稱為A的例如,在實(shí)數(shù)集R中,集合的余集B關(guān)于A

余(補(bǔ))集21.

，D={5}，求出以下集合。

，例

設(shè)，，(1)(2)(4)(3)(5)A∩D

22.例用文氏圖表示以下集合。(1)23.

(2)24.(3)25.例用集合公式表示以下文氏圖中的陰影局部(1)解：

26.(2)解：

27.5.集合的運(yùn)算法那么為任意三個(gè)集合,那么以下法那么成立:(1)交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)結(jié)合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)對(duì)偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪

BC;28.(5)冪等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=29.

定義兩個(gè)確定了先后次序的元素a,b組成的元素對(duì),稱為有序元素對(duì),簡(jiǎn)稱為有序偶,記為(a,b)。且規(guī)定

笛卡兒乘積

(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d.

注:有序偶(a,b)和集合{a,b}的區(qū)別.30.

定義有序偶集合{(a,b)|a∈A,b∈B}稱為集合A和B的笛卡兒乘積,記為A×B.

例設(shè)A={1,2,3},B={x,y},求A×B,

B×A。(2)一般的,A×B≠B×A。

注:(1)A×

=

×B=

;特例:記為平面上的全體點(diǎn)集31.1.2實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理實(shí)數(shù)的定義1實(shí)數(shù)及其性質(zhì)32.實(shí)數(shù)集的一些重要性質(zhì)四那么〔有理〕運(yùn)算封閉性：實(shí)數(shù)全體對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算封閉有序性：任意兩實(shí)數(shù)a,b必滿足下述三個(gè)關(guān)系之一：稠密性：任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)之間還有另一個(gè)實(shí)數(shù)，所以任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間必存在無窮多實(shí)數(shù).有理數(shù)集也具有稠密性！33.完備性:實(shí)數(shù)的連續(xù)性有理數(shù)集不具有！〔實(shí)數(shù)的連續(xù)性〕34.邏輯符號(hào)

在邏輯推理過程中最常用的兩個(gè)邏輯記號(hào)“”表示“任取〞,或“任意給定〞.“”表示“存在〞,“至少存在一個(gè)〞,或“能夠找到〞.Any(每一個(gè))或All(所有的)的字頭A的倒寫Exist(存在)的字頭E的倒寫“”表示“蘊(yùn)含〞,或“推出〞.“”表示“等價(jià)〞,或“充分必要〞.35.36.2絕對(duì)值與不等式運(yùn)算性質(zhì)37.幾個(gè)常用的絕對(duì)值不等式:38.幾個(gè)重要不等式39.幾何平均值算術(shù)平均值40.

區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集(實(shí)數(shù)集合),具體是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).

在數(shù)軸上可表示為3.區(qū)間41.

在數(shù)軸上可表示為

除了開區(qū)間和閉區(qū)間外,我們還可類似定義如下區(qū)間:42.除了有限區(qū)間外,我們還可以定義所謂的無限區(qū)間.通過引入記號(hào)+(讀作正無窮大)及-(讀作負(fù)無窮大),那么可類似地表示無限區(qū)間.如:

注:以上這些區(qū)間均稱為有限區(qū)間,數(shù)b－a稱為這些區(qū)間的長(zhǎng)度(區(qū)間兩端點(diǎn)間的距離),從數(shù)軸上看,這些有限區(qū)間是長(zhǎng)度有限的線段.43.注:在不需要辨明所論區(qū)間是否包含端點(diǎn),以及是有限區(qū)間還是無限區(qū)間時(shí),我們可簡(jiǎn)單地稱其為“區(qū)間〞,且常用I表示.

全體實(shí)數(shù)R可記作(-,+

),為一無窮區(qū)間.44.4鄰域:45.46.47.5有界數(shù)集與確界原理有界數(shù)集定義1.1(有界數(shù)集〕48.49.因此A無上界.證故A

有下界.取l

=1,例50.確界假設(shè)數(shù)集A有上界,那么必有無窮多個(gè)上界,而其中最小的一個(gè)具有重要的作用.最小的上界稱為上確界,記作supA.同樣,假設(shè)A有下界,那么最大的下界稱為下確界，記作infA.先給定確界的直觀定義MM2M1上確界上界

m2mm1下確界下界51.定義2〔確界的精確定義〕設(shè)A為實(shí)數(shù)集R的非空子集，假設(shè)數(shù)s滿足以下兩條：那么稱s為實(shí)數(shù)集A的上確界，記作supA假設(shè)數(shù)t滿足以下兩條：那么稱t為實(shí)數(shù)集A的下確界，記作infA52.證先證supA=1.例

53.注：實(shí)數(shù)集的上界、下界、上確界,下確界均未必存在，假設(shè)上確界,下確界存在那么唯一54.任一有上〔下〕界的非空實(shí)數(shù)集必有上〔下〕確界.注：非空有界實(shí)數(shù)集的上〔下〕確界是唯一的！定理1.1(確界原理)以下確界原理也可作公理,不予證明.

問題：滿足什么條件的實(shí)數(shù)集必有上確界和下確界？上述確界原理的證明利用到實(shí)數(shù)集的完備性.55.數(shù)集的最大數(shù)、最小數(shù)與上確界、下確界的關(guān)系設(shè)A為實(shí)數(shù)集R的非空子集，且A有最大值和最小值，那么證明b0為是數(shù)集A的一個(gè)上界，并且比b0小的數(shù)都不是A的上界，所以b0就是最小的上界。56.1.3映射與函數(shù)的概念

1、映射的概念定義設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法那么f,使得對(duì)通過f,在B中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么稱f為從A

到B的映(或算子),記作并稱y為x(在映射f下)的象,即x稱為y

(在映射f下)的原象.射定義域

即記或稱為映射的值域57.對(duì)元素x的象y是唯一的;而對(duì)元素y的原象不一定是唯一的;映射f的值域是Y的一個(gè)子集,不一定(2)注(1)集合A,即定義域?qū)?yīng)法那么f,使對(duì)有唯一確定的與之對(duì)應(yīng).①②二個(gè)要素:構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下(3)設(shè)假設(shè)那么稱映射f與g相等，記作58.59.假設(shè)，就稱該映射是A到B上的映射(即滿射).假設(shè)中的每個(gè)y，都有唯一的原象，那么稱為單射.假設(shè)必有假設(shè)映射f那么稱f是一一映射(或雙射)，又是單射,

既是滿射,即，即B中任一元素y都是A中某元素的象.即，假設(shè)必有2、一一映射與對(duì)等60.61.例設(shè)對(duì)應(yīng)關(guān)系:既非滿射,

又非單射;滿射,

非單射;單射,非滿射;

滿射,

單射,即為一一映射.對(duì)定義域內(nèi)的任一x,62.(1)如圖,令由A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系為那么f是一個(gè)從A到B的映射.練習(xí)滿射,

單射,即為一一映射.(2)令那么f是一個(gè)從N+到B的映射.滿射,

單射,即為一一映射.63.映射又稱為算子。根據(jù)集合A、B的不同情形,在不同的數(shù)學(xué)分支中,映射又有不同的慣用名稱：非空集A到數(shù)集B的映射稱為泛函非空集A到它自身的映射稱為A上的變換從實(shí)數(shù)集(或其子集)X到實(shí)數(shù)集Y的映射通常稱為定義在A上的函數(shù)64.定義設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合，假設(shè)存在映射那么稱集合A與B對(duì)等(等勢(shì)〕，記為假設(shè)兩個(gè)集合彼此對(duì)等，那么認(rèn)為它們個(gè)數(shù)是相同的！(1)反身性：(2)對(duì)稱性：假設(shè)，那么(3)傳遞性：假設(shè)，那么等價(jià)關(guān)系對(duì)任意的集合A，B，C，對(duì)等關(guān)系具有如下性質(zhì)65.例66.3函數(shù)的概念

定義1.4設(shè)實(shí)數(shù)集那么稱映射為定義在A上的函數(shù),通常簡(jiǎn)記為自變量因變量定義域(domain)定義中,按對(duì)應(yīng)法那么f,總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng),這個(gè)值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值,記作函數(shù)關(guān)系函數(shù)值全體組成的集合稱為range記作即函數(shù)f的值域,67.68.自變量因變量對(duì)應(yīng)法那么f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法那么.兩函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法那么皆相同時(shí)才能稱為相同.69.70.71.常用的定義函數(shù)的方法列表法圖像法72.取自變量在橫軸上在平面直角坐標(biāo)系中,因變量在縱軸上變化,那么函數(shù)的圖形是指變化,平面點(diǎn)集:通常是一條或幾條曲線(包括直線).中的集合函數(shù)的圖像函數(shù)的一種直觀表示方法.73.常用的定義函數(shù)的方法解析法顯函數(shù)形式〔y由x的解析式直接表示出來〕隱函數(shù)形式〔y沒有由x的解析式直接表示出來)分段函數(shù)形式〔函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi)具有不同的解析表達(dá)式〕74.例75.練習(xí)設(shè)則f(x)的定義域20

填空:76.2.用分段函數(shù)表示函數(shù)分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù),答案:即注而不是幾個(gè)函數(shù).1-24377.幾個(gè)今后常引用的函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)例

定義域值域78.符號(hào)函數(shù)

定義域值域?qū)谢?9.

取整函數(shù)如例當(dāng)階梯曲線

定義域值域表示不超過x的最大整數(shù)80.例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)(x為有理函數(shù))(x為無理函數(shù))

定義域值域有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)81.yxoyxo

取最值函數(shù)例82.oyM-Mxy=f(x)D有界1．函數(shù)的有界性:例如函數(shù)y=sinx,y=cosx在〔-∞,+∞)上均為有界函數(shù).函數(shù)的幾種特性83.84.是單調(diào)增加;如果對(duì)恒有〔假設(shè)改為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)，稱為嚴(yán)格單調(diào)增加的〕2．函數(shù)的單調(diào)性:例：y=ex在〔-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)增加。85.是單調(diào)減少.如果對(duì)恒有〔假設(shè)改為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)，稱為嚴(yán)格單調(diào)減少的〕86.注:單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

注應(yīng)指明單調(diào)區(qū)間,否那么會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.87.3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-xyxox-x奇函數(shù)88.4．函數(shù)的周期性:89.周期為的周期函數(shù)

注:并非所有周期函數(shù)都存在最小正周期.

90.例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(當(dāng)x是有理函數(shù)時(shí))(當(dāng)x是無理函數(shù)時(shí))這是一個(gè)周期函數(shù),任何正有理數(shù)r都是它的周期.因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù),所以沒有最小正周期.91.定義.由上述映射鏈可定義由A到C

的映射稱為g與f構(gòu)成的復(fù)設(shè)有映射鏈記作合映射

,或1.4復(fù)合映射與復(fù)合函數(shù)(1)復(fù)合映射中間元素稱為復(fù)合運(yùn)算

注意:

構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.92.定義.由上述函數(shù)鏈可定義由A到C

的函數(shù)稱為g與f構(gòu)成的復(fù)設(shè)有函數(shù)鏈記作合函數(shù)

,或中間元素(2)復(fù)合函數(shù)—復(fù)合映射的特例注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.93.(1)逆映射的定義定義:設(shè)映射,假設(shè)存在另一映射使記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f

的逆映射

.稱f是可逆映射.設(shè)映射為f

的逆映射的充要條件是1.5逆映射與反函數(shù)

94.定理1.2

映射

是可逆映射的充分必要條件是為

到

的一一映射。

定義設(shè)是非空集合，定義映射如下：稱是上的恒等映射或單位映射。95.〔2〕反函數(shù)(i)反函數(shù)的概念及性質(zhì)設(shè)函數(shù)假設(shè)存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).96.問題:滿足