數(shù)學(xué)歸納法長(zhǎng)樂(lè)一中邱宇元

第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法授課教師邱宇元2016.11.15問(wèn)題

1:一個(gè)盒子中有100個(gè)小球，第一個(gè)拿到的是綠球，第二個(gè)拿到的也是綠球，第三個(gè)拿到的還是綠球，于是就猜想這個(gè)盒子中的100個(gè)球都是綠球問(wèn)題2:完全歸納法

不完全歸納法

…問(wèn)題情境多米諾骨牌演示

一、研探新知問(wèn)題4：剛剛由這個(gè)關(guān)系猜想，那這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌的原理解決這個(gè)問(wèn)題？

多米諾骨牌的原理

通項(xiàng)公式的證明方法（1）第一塊骨牌要倒下

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下

根據(jù)（1）（2）所有多米諾骨牌全部倒下

.根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)任意的n等式都成立

.（1）當(dāng)n=1時(shí)，＝1等式成立

（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立；那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊=

=右邊，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式一定成立。

二、挖掘內(nèi)涵、形成概念：證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,可用下列方法來(lái)證明它們的正確性:(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*

，kn0)時(shí)命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立若n=k(kn0)時(shí)命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立。

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+(2n-1)=n2

（n∈N*

）.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N,k≥1)時(shí)等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，這就是說(shuō)：當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

根據(jù)①和②，可知對(duì)n∈N*

，原等式都成立。如下證明對(duì)嗎？證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝

等式成立。②設(shè)n=k時(shí)，有即n=k+1時(shí)，命題成立。根據(jù)①②問(wèn)可知，對(duì)n∈N＊，等式成立。第二步證明中沒(méi)有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明。例、用數(shù)學(xué)歸納法證明

三、建模應(yīng)用,能力建構(gòu)：當(dāng)n=1時(shí)，左邊===右邊，等式成立當(dāng)n=2時(shí)，左邊===右邊，等式成立3）當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為4)從左到右如何變形？用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即當(dāng)n=1時(shí)，左邊===右邊，等式成立當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。綜合（1）（2）可知，對(duì)一切等式成立注意

1.用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎(chǔ)找準(zhǔn)n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)n＝k時(shí)命題成立．作為必用的條件運(yùn)用，而n＝k+1時(shí)情況則有待利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明（3）數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的命題。證明：（1）（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即當(dāng)n=2時(shí)，左邊===右邊（3）當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。綜合（1）（2）可知，對(duì)一切等式成立數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論:

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如n0=1或2等）時(shí)結(jié)論正確（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確（3）由（1）、（2）得出結(jié)論四、歸納小結(jié)找準(zhǔn)起