現(xiàn)代控制理論課后作業(yè)答案程鵬王艷東

現(xiàn)代控制理論第一次作業(yè)1-1.由圖1-1所示，可得：則狀態(tài)空間可表示為：1-4.由。則，，，則，1-5.（1）極點(diǎn)多項(xiàng)式為：由，一階子式公分母：二階子式公分母：極點(diǎn)多項(xiàng)式為：（2）零點(diǎn)多項(xiàng)式為：二階子式：零點(diǎn)多項(xiàng)式為：現(xiàn)代控制理論第二次作業(yè)1-7.系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：其中，，。1-8.反證法：設(shè)，則存在一個(gè)非零向量使得：不防設(shè),則，兩邊同乘，則則可看出能用線性表出,以此類推，可得均可由線性表出，則：與已知矛盾，假設(shè)不成立，所以有1-9.（1）解：,，可控性矩陣，,故系統(tǒng)可控。則變換矩陣為,則：

（2）系統(tǒng)矩陣為：可控性矩陣為：，，故系統(tǒng)不可控。選取U中的第一二列，取。則：其中，是可控的?，F(xiàn)代控制理論第三次作業(yè)1.10（1），，可觀測(cè)矩陣:,,所以系統(tǒng)可觀測(cè)的，可化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間為：,?？煽匦跃仃嚕?，，則可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形為：（2）則可觀測(cè)矩陣為：，，系統(tǒng)不可觀測(cè)。取可觀測(cè)矩陣前兩行，再補(bǔ)一行，使下列矩陣非奇異，組成變換陣為：，則可觀測(cè)性方程為：1-17零點(diǎn)多項(xiàng)式為：極點(diǎn)多項(xiàng)式為：最小動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)：（兩種方法）1、對(duì)列展開(kāi)得：可構(gòu)成實(shí)現(xiàn)：可觀測(cè)性分解為：最小動(dòng)態(tài)實(shí)現(xiàn)為：2、對(duì)其行展開(kāi)：\可觀性實(shí)現(xiàn)為：由系統(tǒng)不可控，所以進(jìn)行可控性分解：取前四列并做等效變換，再加上一列使其非奇異，得，則變換后的系統(tǒng)矩陣為： 得到最小實(shí)現(xiàn)為：（2）零點(diǎn)多項(xiàng)式：極點(diǎn)多項(xiàng)式：最小階動(dòng)態(tài)實(shí)現(xiàn)：對(duì)其行展開(kāi)：構(gòu)成實(shí)現(xiàn)：由,系統(tǒng)可控不可觀，進(jìn)行可觀分解得：得到的最小實(shí)現(xiàn)為：現(xiàn)代控制理論第四次作業(yè)1-12狀態(tài)方程為：可看出有兩個(gè)特征值，特征值1對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊，特征值2對(duì)應(yīng)兩個(gè)約當(dāng)塊。判斷可控性的行向量分別為：，由定理2-3特征值2不可控。前兩組特征值包含特征值-1，故可以找到增益向量k；第三組不含有-1，所以不能找到增益向量k使得閉環(huán)系統(tǒng)具有特征值。對(duì)于系統(tǒng)，易得可控性矩陣為：1.對(duì)于特征值，令期望極點(diǎn)的特征式為。對(duì)比系數(shù)得，所以2.對(duì)于特征值，同理可得，。1-13 系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：由，所以系統(tǒng)不可控。取.則可控性矩陣為：，其特征值為：，對(duì)于原系統(tǒng)有三個(gè)特征值：，所以為不可控。第一組極點(diǎn)包含-1，所以可以通過(guò)極點(diǎn)配置找到k，第二組極點(diǎn)不包含，所以找不到k。1-16由于原系統(tǒng)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，所以其動(dòng)態(tài)方程的最小階實(shí)現(xiàn)是可控可觀的。，由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，所以可用極狀態(tài)反饋將極點(diǎn)配置到。由：系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型為：設(shè)期望的極點(diǎn)多項(xiàng)式為：。對(duì)比系數(shù)得。方框圖略?，F(xiàn)代控制理論第五次作業(yè)1—19（1）

則，因?yàn)椋珽為奇異矩陣，所以系統(tǒng)不能用狀態(tài)反饋解耦。（2）計(jì)算：則，因?yàn)?，E為非奇異矩陣，所以系統(tǒng)可以用狀態(tài)反饋解耦。計(jì)算F陣。計(jì)算H陣。計(jì)算K陣。所以狀態(tài)反饋率為：1—25設(shè),則。觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為：期望多項(xiàng)式為：對(duì)比系數(shù)得：觀測(cè)器表達(dá)式：取狀態(tài)反饋，則所以整個(gè)系統(tǒng)的方程為：傳遞函數(shù)為：第六次作業(yè)首先，介紹一下代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)的定義：代數(shù)重?cái)?shù)表示的是特征值為的個(gè)數(shù)；幾何重?cái)?shù)表示特征值為的特征向量空間的維數(shù)，。當(dāng)代數(shù)重?cái)?shù)=幾何重?cái)?shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊為一階的。1-20-1A有兩個(gè)特征值0和-1，所以系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。特征值為0時(shí)，它的代數(shù)重?cái)?shù)，幾何重?cái)?shù)，所以，系統(tǒng)化不是李氏穩(wěn)定。計(jì)算，含有極點(diǎn)0，所以系統(tǒng)不是BIBS穩(wěn)定。計(jì)算傳遞函數(shù)，含有極點(diǎn)為-1，所以系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定。由上可知，系統(tǒng)不是BIBS全穩(wěn)定，所以系統(tǒng)不是總體穩(wěn)定。1-20-2A特征值為，-2，-2,0，所以系統(tǒng)是李氏穩(wěn)定，不是漸近穩(wěn)定。由（A,B）可控，所以系統(tǒng)是BIBS穩(wěn)定，又是李氏穩(wěn)定，所以是BIBS全穩(wěn)定。所以系統(tǒng)是BIBO全穩(wěn)定，所以是總體穩(wěn)定。1-20-3A矩陣的特征值為，所以系統(tǒng)不是李氏穩(wěn)定也不是漸近穩(wěn)定。由（A,C）可觀，則系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，但不是BIBO全穩(wěn)定。計(jì)算，含有極點(diǎn)為，所以是BIBS穩(wěn)定。系統(tǒng)不是總體穩(wěn)定。1-22由,rank(u)=3，所以系統(tǒng)可控由，rank(v)=3,所以系統(tǒng)可觀。傳遞函數(shù)由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為0，0.5+j1.732，0.5-j1.732所以系統(tǒng)不是BIBO穩(wěn)定。1-21知識(shí)點(diǎn)回顧：（1）李氏穩(wěn)定A的實(shí)部為零的特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊是一階，其余特征值均具有負(fù)實(shí)部；（2）漸近穩(wěn)定A的特征值均具有負(fù)實(shí)部；（3）不穩(wěn)定A或有正實(shí)部，或?qū)嵅繛榱愕奶卣髦祵?duì)應(yīng)有非一階約當(dāng)塊；（4）BIBS穩(wěn)定極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部；（5）BIBO穩(wěn)定極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。答案解析：只需保證實(shí)部為0特征值，對(duì)應(yīng)若當(dāng)塊為一階，其余特征值均有負(fù)實(shí)部。由于當(dāng)時(shí)，又，從而代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)，故對(duì)應(yīng)若當(dāng)塊均為一階，從而穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，，一零根，兩個(gè)負(fù)根，又，從而的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)，故對(duì)應(yīng)一階若當(dāng)塊，從而穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，有正根存在故不穩(wěn)定。因此，當(dāng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。（2）只需極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部即可。則當(dāng)時(shí)，的極點(diǎn)多項(xiàng)式為，極點(diǎn)為，有零極點(diǎn)存在；當(dāng)時(shí)，的極點(diǎn)多項(xiàng)式為，極點(diǎn)為，有零極點(diǎn)存在；當(dāng)時(shí)，的極點(diǎn)多項(xiàng)式為，極點(diǎn)為，有零極點(diǎn)和正的極點(diǎn)存在；所以，不管取任何值，系統(tǒng)都不會(huì)BIBS穩(wěn)定（3）只需極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部即可則則當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定；