專題23.1圖形的旋轉(zhuǎn)（八大考點）

1.認(rèn)識平面圖形旋轉(zhuǎn)，探索旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)；2.了解圖形旋轉(zhuǎn)的特征，并能繪制出旋轉(zhuǎn)后的幾何圖形一、旋轉(zhuǎn)的概念把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角（如下圖中的），如果圖形上的點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c，那么這兩個點叫做對應(yīng)點.注意:（1）圖形的旋轉(zhuǎn)就是一個圖形圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵。（2）旋轉(zhuǎn)中心是點而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向。（3）旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)。二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。三、旋轉(zhuǎn)作圖（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形。（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的圖形全等.考點01由一個圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案例1．觀察圖，依次幾何變換順序正確的是（）A．軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移 B．旋轉(zhuǎn)、軸對稱、平移C．軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn) D．平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)【答案】C【分析】根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的特點即可解答．【詳解】解：依次幾何變換順序是軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)．故選：C．【點睛】本題主要考查了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的特點，平移是沿直線移動一定距離得到新圖形，旋轉(zhuǎn)是繞某個點旋轉(zhuǎn)一定角度得到新圖形，軸對稱是沿某條直線翻折得到新圖形．觀察時要緊扣圖形變換特點，認(rèn)真判斷．變式11．如圖，在平面內(nèi)將三角形標(biāo)志繞其中心旋轉(zhuǎn)后得到的圖案（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知只有D選項符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式12．如圖，由所給圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)不能得到的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由如圖圖形旋轉(zhuǎn)，分別判斷、解答即可．【詳解】解：A．由圖形旋轉(zhuǎn)而得出；故本選項不符合題意；B．由圖形旋轉(zhuǎn)而得出；故本選項不符合題意；C．不能由如圖圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到；故本選項符合題意；D．由圖形旋轉(zhuǎn)而得出；故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)是圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．變式13．如圖所示，圖形①經(jīng)過軸對稱變換得到圖形②；則圖形①經(jīng)過變換得到圖形③；圖形①經(jīng)過變換得到圖形④．（填平移或旋轉(zhuǎn)）【答案】旋轉(zhuǎn)平移【分析】觀察各個圖形的特點，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：仔細(xì)觀察各個圖的位置關(guān)系可知：①和②是軸對稱關(guān)系，①和③圖形的大小一樣，但方向發(fā)生了變化，是旋轉(zhuǎn)，①和④的形狀大小一樣，是平移關(guān)系．∴圖形①經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到圖形③；圖形①經(jīng)過平移變換得到圖形④．故答案為軸對稱；旋轉(zhuǎn)；平移．【點睛】本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)、平移及軸對稱現(xiàn)象，圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化；旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應(yīng)點連線的交點是旋轉(zhuǎn)中心；軸對稱是兩個圖形沿某條直線對折后能夠完全重合．考點02找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點例2．如圖，是由旋轉(zhuǎn)后得到的，下列說法正確的是（

）A．旋轉(zhuǎn)中心不是點 B．C．旋轉(zhuǎn)方向是順時針 D．【答案】D【分析】由旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊，旋轉(zhuǎn)角的含義可以直接求解．【詳解】解：是由旋轉(zhuǎn)后得到的，旋轉(zhuǎn)中心為點A，，旋轉(zhuǎn)方向可以是順時針，也可以是逆時針，旋轉(zhuǎn)角為，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及基本概念是解題的關(guān)鍵．變式21．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，格點繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到格點．則旋轉(zhuǎn)中心是P，Q，M，N中的．【答案】Q【分析】連接，作的中垂線，兩條中垂線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：如圖，點即為旋轉(zhuǎn)中心；故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．變式22．如圖，是正方形內(nèi)的一點，連結(jié)、，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則它旋轉(zhuǎn)了度．【答案】90【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)邊、的夾角即為旋轉(zhuǎn)角．【詳解】解：在正方形中，，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，旋轉(zhuǎn)角為，度數(shù)是，即它旋轉(zhuǎn)了．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．變式23．加圖，將三角形繞點O旋轉(zhuǎn)得到三角形，且，，則：(1)點B的對應(yīng)點是____________________．(2)線段的對應(yīng)線段是_______________．(3)線段的對應(yīng)線段是_______________．(4)的對應(yīng)角是__________________．(5)三角形旋轉(zhuǎn)的角度是____________．【答案】(1)點(2)(3)(4)(5)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：點B的對應(yīng)點是點，故答案為：點；（2）解：線段的對應(yīng)線段是，故答案為：；（3）解：線段的對應(yīng)線段是，故答案為：；（4）解：的對應(yīng)角是，故答案為：；（5）解：三角形旋轉(zhuǎn)的角度是，故答案為：．【點睛】本題考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換、旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點03利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度例3．如圖，點是正方形內(nèi)的一點，連接，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，若，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，可證為等腰直角三角形；再根據(jù)勾股定理的逆定理可證為直角三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：由題意得：∴∵∴∴故故選：A【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及逆定理．連接是解題關(guān)鍵．變式31．如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到，點的對應(yīng)點恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，進而得到，三角形內(nèi)和定理，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出，即可．【詳解】解：∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．變式32．如圖，點P是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，則的度數(shù)為．【答案】150【分析】將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的．首先證明，推出，，所以為等邊三角形，得，可得，，，，即可得到為直角三角形，則，所以；由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的．∴，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴為直角三角形，∴，∴；故答案為：150．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．變式33．一副三角板按圖1的形式擺放，把含角的三角板固定，含角的三角板繞直角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)兩塊三角板有兩邊平行時，的度數(shù)為．【答案】或或【分析】分情況畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)和直角三角形的特征分別進行求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時，；②如圖2，當(dāng)時，，∴；③如圖3．當(dāng)時，，∴．④當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)角大于，不符合題意．故答案為：或或．【點睛】此考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、平行線的性質(zhì)等知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．考點04利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求長度例4．把一副三角尺按如圖甲所示位置放置，其中，，，斜邊，，把三角尺繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到（如圖乙），此時與相交于點，則線段的長為（

）A． B．10 C．12 D．【答案】B【分析】先求出，由，得到，又由，得到，由，得到，在中，由勾股定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，由題意得，，，∴，又∵，∴，

∴，∵，∴，

又∵，∴，

∵，∴，∵，

∴，在中，．故選：B．【點睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及判定、勾股定理等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式41．如圖，正方形的邊長為，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角（）得到正方形，連接，當(dāng)點恰好落在線段上時，線段的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過點作于，則，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形，所以，，，根據(jù)勾股定理得到的長，從而得到【詳解】解：如圖，連接，過點作于，則，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形，點恰好落在線段上，，，，，，在中，由勾股定理得：，．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造特殊三角形．變式42．如圖，在中，，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則的長為．【答案】/【分析】連接，延長交于點F，由旋轉(zhuǎn)可得：，，求出，由勾股定理求出，則可得出答案．【詳解】解：連接，延長交于點F，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴是等邊三角形，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式43．如圖，正方形的邊長為6，E，F(xiàn)分別是，邊上的點，且，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．(1)求證：；(2)當(dāng)時，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）證明即可得解；（2）設(shè)，可得，，進而可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：在正方形中，有，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：，∴，，，∴，∴點、、共線，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）解：設(shè)，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴在中，有，∴，解得，即．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．考點05旋轉(zhuǎn)作圖例5．如圖所示，正方形網(wǎng)格中，為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上），網(wǎng)格小正方形的邊長為1．(1)把沿方向平移后，使點A移到點，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的，平移的距離；(2)把繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的．【答案】(1)見解析，(2)見解析【分析】（1）由圖知，平移路徑為：向右平移3，向上平移3；由勾股定理求得平移距離；（2）將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，即為所求；【詳解】（1）解：如圖，為所求；平移距離；（2）解：將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，即為所求；【點睛】本題考查圖形平移，圖形旋轉(zhuǎn)，勾股定理，理解網(wǎng)格圖的特點是解題的關(guān)鍵．變式51．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．(1)將向上平移4個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出；(2)將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，請畫出．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)則，畫出即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，即為所求；【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換，熟練掌握平移的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．變式52．如圖，在平面坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度

(1)先將向下平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度得到，請畫出；(2)將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請畫出；(3)并直接寫出點的長度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先將向下平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度得到，即畫出；（2）分別畫出點A、B、C三點繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點、、，再連接、、即可．（3）利用網(wǎng)格，由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖即為所作；（2）解：如圖即為所作，（3）解：．【點睛】本題考查作圖平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．變式53．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．線段的兩個端點都在格點上，小正方形的邊長為1個單位長度，以格點O為原點建立平面角坐標(biāo)系，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示）．(1)圖1中畫出線段關(guān)于點O對稱的圖形（B與D對應(yīng)）；(2)圖1中畫出線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后的圖形（B與F對應(yīng)）；(3)圖2中，點G和點H都在格點上，線段是由線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到的，請直接寫出點P的坐標(biāo)．(4)圖2中，連接，設(shè)，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度后的（點B與點M對應(yīng)）【答案】(1)圖見詳解(2)圖見詳解(3)或(4)圖見詳解【分析】（1）根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后圖形即可；（2）根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后圖形即可；（3）根據(jù)題意找出旋轉(zhuǎn)中心點P并求出點P坐標(biāo)即可；（4）根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后圖形即可；【詳解】（1）圖形如下圖；（2）圖形如下圖；（3）如圖所示：或．（4）如下圖所示；【點睛】本題主要考查圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，正確畫出平移和旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵．考點06坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)例6．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，有一個等腰直角三角形，，直角邊在x軸上，且．將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且，再將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形，且…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形，則點的坐標(biāo)（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)特點，找到坐標(biāo)的變化規(guī)律，再求解．【詳解】解：由題意得：，，，，……，，的坐標(biāo)為，故選：A．【點睛】本題考查了點的坐標(biāo)，找到坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式61．如圖所示，長方形的兩邊、分別在x軸、y軸上，點C與原點重合，點，將長方形沿x軸無滑動向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點A的對應(yīng)點記為；經(jīng)過第二次翻滾，點A的對應(yīng)點記為；……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形即可得到經(jīng)過4次翻滾后點A對應(yīng)點一循環(huán)，先求出的商和余數(shù)，從而解答本題．【詳解】解：如圖所示：觀察圖形可得經(jīng)過4次翻滾后點A對應(yīng)點一循環(huán)，，∵點，長方形的周長為：，，∴經(jīng)過505次翻滾后點A對應(yīng)點的坐標(biāo)為，即．故選：B．【點睛】本題考查探究點的坐標(biāo)的問題，關(guān)鍵是找到點的變化規(guī)律．變式62．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，現(xiàn)將A點繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行判斷作答即可．【詳解】解：如圖，過作軸于，過作軸于，∵將A點繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，繞原點旋轉(zhuǎn)90度的點的坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．變式63．如圖，的頂點坐標(biāo)分別為，線段交x軸于點P，如果將繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，那么點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先求得點P的坐標(biāo)，過點B作于點D，過點作軸于點E，證明，進而即可求解．【詳解】解：∵、，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴，當(dāng)時，，解得，∴，如圖所示，過點B作于點D，過點作軸于點E，∵將繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，又∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，即，故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，求得點P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．考點07旋轉(zhuǎn)中的最值問題例7．如圖，在ABC中，，，在以BC為腰在BC的一側(cè)構(gòu)造等腰直角，，則AD的最小為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】先將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△B1CA1，可得AC=CA1=5，∠ACA1=90°，AB=A1D=2，再求出AA1，即可得答案．【詳解】解：如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△B1CA1，AA1與CD的交點記為點E，由于△BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°，因此點B1與點D重合，∵AB=2，AC=5，∴AC=CA1=5，∠ACA1=90°，AB=A1D=2∴，∵AD的最小，∴D應(yīng)和E重合，A1E=2，∴AD=，故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短等，解題的關(guān)鍵是做出旋轉(zhuǎn)圖形．變式71．如圖，在中，，，以為邊向上作等邊，連接，當(dāng)時，最大，最大值為．【答案】【分析】以點為中心，將按順時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，則為等邊三角形，利用三角形三邊關(guān)系得，則當(dāng)、、三點共線時，，最大，最大值為4．【詳解】解：如圖，以點為中心，將按順時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，，，，，，為等邊三角形，，為等邊三角形，，在中，，，，當(dāng)、、三點共線時，，最大，最大值為4，即當(dāng)時，最大，最大值為4，故答案為：；4．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．變式72．如圖，在Rt中，，將繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，M是BC的中點，P是的中點，連接PM，若，，則當(dāng)時，線段PM的值最大，這個最大值是．【答案】120°/120度9【分析】連接PC，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，又根據(jù)線段中點的定義得出，最后根據(jù)當(dāng)點恰好在的延長線上時，先求出∠PCB′，再利用鄰補角互補性質(zhì)求出角，兩點之間距離最短即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接PC，在中，，，∴，∵將繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴也是直角三角形，且，∵P是的中點，∴，∵M是BC的中點，∴，∴CP+CM≥PM，當(dāng)點恰好在的延長線上時，∵PC=PB′，∠B′=∠B=90°∠A=60°，∴∠BCB′=180°∠PCB′=120°，．故答案為120°；9．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識點，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式73．如圖，是邊長為的等邊的中心，將，，分別繞點、點、點順時針旋轉(zhuǎn)（），得到，，，連接，，，，．（1）；（2）當(dāng)．時，的周長最大．【答案】120150【分析】（1）連接，，可得，證明得出即可得出答案；（2）由是等邊三角形可知當(dāng)其邊長最大時，周長最大，即當(dāng)在線段上時，最大，求出此時即可．【詳解】解：（1）連接，．是等邊的中心，，，．，又，，，，故答案為：120；（2）是等邊三角形，當(dāng)其邊長最大時，周長最大．∵，，∴當(dāng)最大時，最大，當(dāng)在線段上時，最大，此時．故答案為：150．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，正確理解周長最大的條件是關(guān)鍵．考點08旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用例8．已知直線過點且平行于軸，點B的坐標(biāo)為，將直線l繞點B逆時鐘旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為．【答案】【分析】設(shè)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點為，旋轉(zhuǎn)后的直線交直線于，過作直線于，根據(jù)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點為，可得是等邊三角形，故，，從而可得，，記知，，又，可求出，，再用待定系數(shù)法可得答案．【詳解】解：設(shè)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點為，旋轉(zhuǎn)后的直線交直線于，過作直線于，如圖：繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點為，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)直線解析式為，將，，，代入得：，解得，直線解析式為；故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何變換旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出旋轉(zhuǎn)后直線上兩個點的坐標(biāo)．變式81．將一副直角三角板按如圖1所示位置擺放，其中，，．若將三角板繞點A按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，在此過程中，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)線段與三角板的一條邊平行時，．【答案】秒或秒或秒【分析】由線段與三角板的一條邊平行可知有三種情況：（1）當(dāng)時，點E落在線段上，由此可求出旋轉(zhuǎn)角，進而可求出t的值；（2）當(dāng)時，則，由此可求出旋轉(zhuǎn)角，進而可求出t的值；（3）當(dāng)，則，由此可求出旋轉(zhuǎn)角，進而可求出t的值．【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，則旋轉(zhuǎn)的時間（秒），在順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，線段與三角板的一條邊平行，有以下三種情況：（1）當(dāng)時，，∴點E落在線段上時，旋轉(zhuǎn)角，（秒）；（2）當(dāng)時，則，，，旋轉(zhuǎn)角，（秒）；（3）當(dāng)時，則，，旋轉(zhuǎn)角，（秒）；綜上所述：秒或秒或秒．故答案為：秒或秒或秒．【點睛】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換與性質(zhì)，平行線的判定，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，難點是利用分類討論的思想進行分類討論．變式82．如圖，在中，，將邊繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接與邊交于點M（不與點A，C重合）．①用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②若，，直接寫出的長．【答案】（1），證明見解析；（2）①，證明見解析；②的長為．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知，再由，由三角形內(nèi)角和可得，即可證明；（2）①在上取點N使得，先證明，再證明，即可求解；②由①可知，，則，即可求出．【詳解】解：（1），理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，，，，；（2）①，理由如下：在上取點N使得，，，，，，，又，，，，；②由①可知，，，，．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式83．在中，，，將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為α，點B的對應(yīng)點為點D，點C的對應(yīng)點為點E．(1)如圖,當(dāng)時，連接、，并延長交于點F，則;(2)當(dāng)時，請畫出圖形并求出的長；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，過點D作垂直于直線，垂足為點G，連接．當(dāng)，且線段與線段無公共點時，請猜想四邊形的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)作圖見解析，(3)四邊形為菱形，理由見解析【分析】（1）證明是等邊三角形，得到點B、E在的中垂線上，進而求解；（2）依據(jù)題意畫圖，如圖1，證明，得到，，即可求解；（3）證明，，則四邊形為平行四邊形，而，從而可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴，∴點B、E在的中垂線上，∴是的中垂線，∵點F在的延長線上，∴，，∴，，∵，∴，∵，是等邊三角形，，∴，，∴，∴，故答案為：；（2）解：依據(jù)題意畫圖如圖1，過點E作于點G，過點C作于點H，∵，，∴，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，,則；（3）解：如圖，∵，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，且，∵，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練運用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)過關(guān)練1．將如圖的圖形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特征，圖形逆時針旋轉(zhuǎn)90°，就得到圖形A據(jù)此判斷即可．【詳解】解：將題干中已知的圖形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到圖形A．故選：A．【點睛】本題是考查作旋轉(zhuǎn)一定角度的圖形，圖形旋轉(zhuǎn)只是位置的改變，形狀與大小不變．2．如圖，在中，，，現(xiàn)將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點C，A，在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角為．【詳解】∵點C，A，在同一條直線上，∴，∵繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，與是對應(yīng)邊，∴等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角為．故選：C【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)角，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點是正方形內(nèi)一點，將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合，若，那么（）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，則為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，為等腰直角三角形，由勾股定理，得．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方．4．扇葉型曲線如圖所示放置，為曲線上第一象限內(nèi)一點，將曲線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)8次一循環(huán)，按照旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，計算求解．【詳解】解：，在第二象限，故選：A．【點睛】本題考查了坐標(biāo)規(guī)律，掌握旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．如圖所示，順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，此時：（1）點的對應(yīng)點是；（2）旋轉(zhuǎn)中心是，旋轉(zhuǎn)角為；（3）的對應(yīng)角是，線段的對應(yīng)線段是．【答案】點點或【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）點的對應(yīng)點是點；（2）旋轉(zhuǎn)中心是點，旋轉(zhuǎn)角為或；（3）的對應(yīng)角是，線段的對應(yīng)線段是線段．故答案為：點；點；或；；．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．6．如圖，是正方形內(nèi)的一點，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合，若，則．【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：正方形，旋轉(zhuǎn)角：故答案為：【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．雪花也稱銀粟，玉龍，玉塵，是一種晶體，是天空中的水汽經(jīng)凝華而來的固態(tài)降水，結(jié)構(gòu)隨溫度的變化而變化，多呈六角形，像花，如圖所示的雪花繞中心旋轉(zhuǎn)后能與原來的圖案互相重合，則的最小值為．【答案】60【分析】根據(jù)圖形被平分為6部分，即可解答．【詳解】該圖案被平分成6部分，旋轉(zhuǎn)的整數(shù)倍，就可以與自身重合，故的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)角，發(fā)現(xiàn)圖形平分為6部分是解題的關(guān)鍵．8．如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到，則點的坐標(biāo)是．【答案】【分析】首先根據(jù)直線來求出點A和點B的坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)等于，而縱坐標(biāo)等于，進而得出的坐標(biāo)．【詳解】解：對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，∴，∴，∵把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到，∴，∴軸，∴點的縱坐標(biāo)為長，即為3，橫坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了對于圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的理解，其中要考慮到點B和點位置的特殊性，以及點的坐標(biāo)與的關(guān)系．9．如圖，是直角三角形，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)．(1)試作出旋轉(zhuǎn)后的，其中B與D是對應(yīng)點；(2)在作出的圖形中，已知，求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)題意作出旋轉(zhuǎn)圖形即可；（2）由勾股定理得出，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示；（2）解：∵，∴，∵由旋轉(zhuǎn)而成，∴，∵，∴B、C、E共線，∴．【點睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的作法，勾股定理解三角形，熟練掌握運用這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．10．將一副三角板如圖所示擺放，邊和邊與直線重合，，．(1)求圖1中的度數(shù)；(2)如圖2，三角板固定不動，若將三角板繞著點順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)平分時，求此時的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，可求出，，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵，且，，∴．（2）解：如圖，當(dāng)平分時，∵，∴，∴，∵，∴，∴的值．【點睛】本題主要考查三角板中角度的計算，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平角的計算方法等知識是解題的關(guān)鍵．11．如圖，繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到，．求證：B、P、E三點共線．【答案】證明見解析【分析】連接，根據(jù)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，得，，，知是等邊三角形，可得，故，然后問題可求證．【詳解】證明：連接，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴B、P、E三點共線．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，分別以正方形的邊和為直徑畫兩個半圓交于點，若正方形的邊長為，求陰影部分的面積．【答案】【分析】連接交于點O，將①順時針旋轉(zhuǎn)恰與③重合，將②逆時針旋轉(zhuǎn)恰與④重合，化零為整求解即可；【詳解】解：如圖，連接交于點O，將①順時針旋轉(zhuǎn)恰與③重合，將②逆時針旋轉(zhuǎn)恰與④重合，∴陰影部分的面積等于正方形面積的一半，即；【點睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)，應(yīng)用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求面積是解題的關(guān)鍵．能力提升練1．邊長相等的兩個正方形和如圖所示，若將正方形繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分四邊形的面積（）A．先增大再減小 B．先減小再增大 C．不斷增大 D．不變【答案】D【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，四邊形是正方形，如圖，過作于，于，證明四邊形是正方形，則，，由，，可得，證明，則，由，進行判斷作答即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，四邊形是正方形，如圖，過作于，于，則四邊形是矩形，∵正方形，∴，∴四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分的面積不變，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．如圖在中，，，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點C的對稱點恰好落在邊上，連接，則度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出的度數(shù)即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，∵將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．如圖，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，那么的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段可以得出，，作軸于，軸于，就可以得出，就可以得出，，由的坐標(biāo)就可以求出結(jié)論．【詳解】線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，．作軸于，軸于，．，，．在和△中，，，∴，．∵，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，點的坐標(biāo)的運用，正確作出輔助線并證得是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，若軸，，，，則點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】作軸于，由，，得出，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，則，最后通過勾股定理求出即可．【詳解】如圖，作軸于，∵，∴∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴點的坐標(biāo)為，