高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃自主招生競(jìng)賽復(fù)數(shù)講義

第1講：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與運(yùn)算復(fù)數(shù)雖然在高考試題中的考察極為簡(jiǎn)單，但在強(qiáng)基或者聯(lián)賽一試中考察的力度和難度都遠(yuǎn)高于高考.究其原因，復(fù)數(shù)已是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究主要的工具之一，不論是在工程中的應(yīng)用還是在基礎(chǔ)研究中的應(yīng)用中，例如傅里葉變換，著名的黎曼猜想等均與復(fù)數(shù)有關(guān).同時(shí)，復(fù)數(shù)還和其他板塊如三角，向量等有著重要的聯(lián)系.綜上所述，復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，肯定也是強(qiáng)基或聯(lián)賽的考察熱點(diǎn).本節(jié)開始，我們將系統(tǒng)地介紹強(qiáng)基或聯(lián)賽難度的復(fù)數(shù)及其應(yīng)用，從而更好地讓大家認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，用好復(fù)數(shù)！首先來講復(fù)數(shù)的的概念與重要性質(zhì)，這一講主要包括復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)及性質(zhì).主要知識(shí)1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.復(fù)數(shù)：（），其中為實(shí)部，為虛部.記作：表示的實(shí)部，表示的虛部.2.復(fù)數(shù)相等的條件.代數(shù)形式下，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部相等且虛部相等.三角形式下，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與幅角主值分別相等.3.共軛復(fù)數(shù).（）它的共軛復(fù)數(shù)為，顯然.下面梳理共軛復(fù)數(shù)的重要性質(zhì).（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）為實(shí)數(shù)的充要條件為，為虛數(shù)的充要條件為.3.代數(shù)形式下復(fù)數(shù)的運(yùn)算：關(guān)于代數(shù)形式下復(fù)數(shù)的運(yùn)算是高考必考內(nèi)容，相對(duì)簡(jiǎn)單，大家練得都比較熟練，我們?cè)诖颂幘筒辉儋樖?4.幾個(gè)重要的性質(zhì)：（1）（2）；.（3）虛數(shù)單位的周期性.二．典例分析1.代數(shù)形式下復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為_______.解析：由，得，故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其到原點(diǎn)的距離為．例2.已知復(fù)數(shù)滿足，求解析：設(shè)，，所以，，解得：，或者.例3.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_________解析：設(shè)，則，故，其中.當(dāng)時(shí)，.例4.設(shè)復(fù)數(shù).則的最小值為___.解析：令，則，且此時(shí)有.故.當(dāng)，即時(shí)，的最小值為2.例5.復(fù)數(shù)，則________.解析：由得，所以，或者.因此可得：或.2.共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用例6.證明：虛數(shù)成對(duì)定理，即設(shè)虛數(shù)是實(shí)系數(shù)方程的根，則也是這個(gè)實(shí)系數(shù)方程的根.證明：因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，兩邊同時(shí)取共軛得：，即.因此也是這個(gè)實(shí)系數(shù)方程的根.由第一部分可知，共軛運(yùn)算和四則運(yùn)算是可以交換順序的，那么利用共軛運(yùn)算便可不必設(shè)出復(fù)數(shù)的具體形式，這樣可避免有時(shí)因?yàn)榇刖唧w形式而導(dǎo)致的復(fù)雜運(yùn)算.這樣的想法可使用于條件中包含模長(zhǎng)或共軛復(fù)數(shù)的情況.例7.已知，，，求.解析：由下面將等式兩邊同乘，有，由于，故解得.注：當(dāng)使用共軛復(fù)數(shù)計(jì)算有關(guān)問題時(shí)，類似與圓錐曲線中整體代入的思想來進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)不必考慮具體表示形式，減少運(yùn)算，下面再看一例.已知復(fù)數(shù)滿足，求的值.解析：由于，故可得：，于是我們將可進(jìn)一步表示為：.那么，.注：此題若用具體形式計(jì)算，可能過程會(huì)很麻煩！例9.復(fù)數(shù)滿足且，則（）A.B.C.D.解析：，所以，整理可得，解得或者.由于，進(jìn)一步可得：.例10.（2015高聯(lián)一試）已知復(fù)數(shù)數(shù)列滿足，則的值為__________.解析：本題需要找尋遞推關(guān)系，依題可得：，故可得：.那么，由累加法可得：.3.綜合應(yīng)用這一部分難度較大，綜合各種性質(zhì)和方法，讀者應(yīng)細(xì)心體會(huì).例11.（2018浙江預(yù)賽）已知虛數(shù)滿足，則_______.解析：由三次方程因式分解可知：，整理可得：.例12.（2020浙江預(yù)賽）已知復(fù)數(shù)滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，求復(fù)數(shù)的值.解析：依題可得：，利用完全平方公式得：等號(hào)成立時(shí)，.例13．復(fù)數(shù)滿足，且使得關(guān)于的方程有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解析：設(shè)，因?yàn)椋?，所以將代入方程整理，因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，所以，所以當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)關(guān)于的方程為或，易知方程無實(shí)數(shù)根，故舍去，所以；當(dāng)時(shí)，解得，，所以，所以，此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根，滿足條件.綜上，或.故這樣的復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).第2講：復(fù)數(shù)的三角形式及幾何意義本節(jié)介紹復(fù)數(shù)的幾何形式與三角形式，它們展示了復(fù)數(shù)的復(fù)平面的幾何意義.通過復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算，我們可以看到復(fù)數(shù)相乘（除）所對(duì)應(yīng)的便是幾何旋轉(zhuǎn).同時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式還可以有效地鏈接三角恒等變換，解決一些三角恒等式的計(jì)算，因此，本節(jié)內(nèi)容也是強(qiáng)基或聯(lián)賽中重點(diǎn)考察的對(duì)象.一．基礎(chǔ)理論1.三角形式.復(fù)數(shù)（）與復(fù)平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，點(diǎn)和向量于是一一對(duì)應(yīng)的.向量的模長(zhǎng)稱為復(fù)數(shù)的模，即滿足：.進(jìn)一步，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.我們把向量與軸正方向形成的角叫做復(fù)數(shù)的輻角，記為.取值在的輻角稱為輻角主值，用來表示.對(duì)于非零復(fù)數(shù)，它的輻角主值是唯一的（復(fù)數(shù)0的輻角是任意的）.顯然，若，則，，于是就可進(jìn)一步得到復(fù)數(shù)的三角形式：設(shè)，為輻角，那么點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以記為，.幅角的性質(zhì).顯然，若記則復(fù)數(shù)的主幅角可以表示為反三角函數(shù)的形式：3.指數(shù)形式.由歐拉公式：可得到復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：.4.三角形式的基本運(yùn)算.對(duì)于復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算，屬于高考數(shù)學(xué)的內(nèi)容之一，這部分相對(duì)簡(jiǎn)單，此處就不再列舉.我們這里重點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)的是復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算.（1）乘法.進(jìn)一步可得：，或.幾何意義：模翻倍，角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).（可以看到，復(fù)數(shù)乘法從幾何意義上講便是旋轉(zhuǎn)，這是復(fù)數(shù)的一個(gè)重要價(jià)值.）進(jìn)一步，可得乘方的運(yùn)算公式：設(shè)，則（棣莫弗定理）（2）除法.幾何意義：模折倍，角度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（實(shí)則為夾角，可正可負(fù)），即，或.開方設(shè)，則（）.例如，.可以看到，復(fù)數(shù)的次方根是個(gè)復(fù)數(shù)，它們的模都等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的次算術(shù)根，它們的幅角分別等于這個(gè)復(fù)數(shù)的幅角與的倍的和的分之一.5.復(fù)數(shù)的幾何曲線（1）滿足的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段的中垂線；（2）滿足的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓；（3）滿足的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.二．典例分析例1.計(jì)算下列各式的值.（1）；（2）.解析：利用復(fù)數(shù)的三角形式可得：（1）；.點(diǎn)評(píng)：上述兩個(gè)值是三次方程的兩個(gè)單位根，其有重要的應(yīng)用.例2．已知復(fù)數(shù)滿足，且，則的三角形式為__________．解析：由可得，，所以，又，所以．因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海?.設(shè)，，，則等于A． B． C． D．解析：由于，∴.選D.例4.（2020清華強(qiáng)基計(jì)劃）求__________.解析：令，由于，且根據(jù)復(fù)數(shù)的定義：.另一方面：，故，則，綜上，.練習(xí)1．化簡(jiǎn)______.解析：令，，則有.從而，.下面我們?cè)倏磸?fù)數(shù)的幾何意義相關(guān)問題.例5.（2019上海競(jìng)賽）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為______.解析：顯然，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為方程為，故求的最大值等價(jià)于求的最大值.利用橢圓的參數(shù)方程可求最大值為.例6.（2020清華強(qiáng)基）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的（）A.最大值為B.最大值為C.最小值為D.最小值為解析：由可得：,則是以為圓心，為半徑的圓.另一方面，，根據(jù)幾何意義可知：.練習(xí)2.（2019中科大自主招生）若復(fù)數(shù)滿足是純虛數(shù)，則的最小值為__.答案：.練習(xí)3.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為______.答案：2練習(xí)4.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為______.答案：練習(xí)5．（2020高聯(lián)A卷）設(shè)為復(fù)數(shù)．若為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的最小值為______．解析：設(shè)，由條件知，故．從而，即．當(dāng)時(shí)，取到最小值．故答案為：．練習(xí)6.（2016山東預(yù)賽）_______.答案：.第3講：復(fù)系數(shù)方程與單位根本節(jié)介紹先復(fù)數(shù)域上的方程及其韋達(dá)定理，再介紹單位根及分圓多項(xiàng)式的概念，它們是復(fù)數(shù)中重要的概念之一，單位根的概念更是有效地鏈接了三角恒等式，因此，這部分內(nèi)容在強(qiáng)基試題中以考察多次，值得注意.復(fù)系數(shù)方程1.代數(shù)基本定理：每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一根.注1.顯然我們可以利用代數(shù)基本定理得到每個(gè)次數(shù)大于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式.因此在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于1的多項(xiàng)式全是可約的.換句話說,不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式,于是多項(xiàng)式的因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以敘述成復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理：每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.注2.因此復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：其中是不同的復(fù)數(shù),是正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式說明每個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).2.韋達(dá)定理：復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的個(gè)復(fù)根為,則證明：由多項(xiàng)式的因式分解定理知道于是比較系數(shù)可以得到韋達(dá)定理.3.虛數(shù)成對(duì)定理：即設(shè)虛數(shù)是實(shí)系數(shù)方程的根，則也是這個(gè)實(shí)系數(shù)方程的根.二．典例分析例1.（2021北大優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂）設(shè)，方程的三個(gè)根在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則該等邊三角形的面積為______.A.B.C.D.以上都不對(duì).解析：有韋達(dá)定理可知，方程的三個(gè)根滿足：.于是由重心公式可知該等邊三角形的重心在坐標(biāo)原點(diǎn).進(jìn)一步，；.這表明，三個(gè)根的形式為：,于是，令.代入上式：，故可得：.三．次單位根與分圓多項(xiàng)式次單位根：對(duì)于方程的解，由復(fù)數(shù)開方運(yùn)算可得到它的個(gè)根的表示形式為：稱這個(gè)根為次單位根.特別地，三次單位根三次單位根及性質(zhì)：，.2.基本性質(zhì)：（1）；（2），進(jìn)一步，若令，對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：.（3）有韋達(dá)定理：.3.本原根.利用復(fù)數(shù)的乘方公式可得：，這表明，個(gè)次單位根可以表示為：.像上面這樣，若個(gè)次單位根均可表示為某個(gè)給定的單位根的冪，就稱為次本原單位根.定理：為次本原單位根的充要條件是，即互素，這樣的話，所有的次單位根中共有個(gè)本原單位根，其中為歐拉函數(shù).4.分圓多項(xiàng)式以表示為一個(gè)確定的次本原單位根，則全部次本原單位根組成的集合記為：令，則稱為次分圓多項(xiàng)式.四．典例分析.應(yīng)用1.單位根的性質(zhì)例1.設(shè)，求證：（1）；（2）.證明：（1）顯然，為次單位根，故有：，進(jìn)一步可得：，代入即可證得.由于，故，取?？傻茫河谑谴耄?）中所證結(jié)果可得：整理可得：，證畢.點(diǎn)評(píng)：鞭炮模型，三角恒等變換中一類重要的題型.例2.（2017北大博雅）計(jì)算的值.解析：原式，進(jìn)一步誘導(dǎo)可得：，利用例1的結(jié)論可得：.例3.（2021北大優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂）已知復(fù)數(shù)為方程的個(gè)相異根，則________.解析：由于，進(jìn)一步，若令，對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：.利用上述結(jié)論可得：，代入可得：.例4.已知方程的根為，，則__.解析：由于，且假設(shè)，由題意，所以.故答案為：37．例5.（復(fù)數(shù)的妙用）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，實(shí)數(shù)為多項(xiàng)式的零點(diǎn)，求的最小值.解：因?yàn)?，所?當(dāng)，此時(shí)，，等號(hào)成立，所以的最小值為.練習(xí).設(shè)復(fù)數(shù)，則A.0B.1C.D.解析：顯然為1的三次方根，.當(dāng)然，此題亦可用例3的方法做.2.分圓多項(xiàng)式例5.（2021清華強(qiáng)基）設(shè)，則以為根的方程是（）A.B.C.D.解析：顯然，為方程的單位根.另一方面，若以表示兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，由于，故為方程的5次單位根，故.又因?yàn)?，，故?次單位根即，代入上式可得：這四個(gè)根為方程的根.例6．設(shè)，.求證：為一整系數(shù)多項(xiàng)式，且不能分解成兩個(gè)至少為一次的整系數(shù)多項(xiàng)式之積.解析：由例5易知這是一個(gè)整系數(shù)四次多項(xiàng)式.因?yàn)榈囊淮我蚴蕉疾皇钦禂?shù)多項(xiàng)式，所以，若可分解成兩個(gè)至少為一次的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，則這兩個(gè)因式必都是二次的.設(shè)，其中皆為整數(shù).不妨設(shè)，，則由，得，進(jìn)而有由式⑦知或若，則由式⑥得這與式④矛盾，于是.代入式⑤，得，與式④聯(lián)立，解得，或，.這與、為整數(shù)矛盾.故不能分解成兩個(gè)至少為一的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.注：例6反映了分圓多項(xiàng)式的性質(zhì)：都是有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式！例7.（2017清華領(lǐng)軍計(jì)劃）已知，，則_________.解析：由單位根性質(zhì)可知：，故可得：，，.從而，故原式.第4講：?jiǎn)挝桓c分圓多項(xiàng)式本節(jié)介紹單位根及分圓多項(xiàng)式的概念，它們是復(fù)數(shù)中重要的概念之一，單位根的概念更是有效地鏈接了三角恒等式，因此，這部分內(nèi)容在強(qiáng)基試題中以考察多次，值得注意.基本概念次單位根：對(duì)于方程的解，由復(fù)數(shù)開方運(yùn)算可得到它的個(gè)根的表示形式為：稱這個(gè)根為次單位根.特別地，三次單位根三次單位根及性質(zhì)：，.2.基本性質(zhì)：（1）；（2），進(jìn)一步，若令，對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：.（3）有韋達(dá)定理：.3.本原根.利用復(fù)數(shù)的乘方公式可得：，這表明，個(gè)次單位根可以表示為：.像上面這樣，若個(gè)次單位根均可表示為某個(gè)給定的單位根的冪，就稱為次本原單位根.定理：為次本原單位根的充要條件是，即互素，這樣的話，所有的次單位根中共有個(gè)本原單位根，其中為歐拉函數(shù).4.分圓多項(xiàng)式以表示為一個(gè)確定的次本原單位根，則全部次本原單位根組成的集合記為：令，則稱為次分圓多項(xiàng)式.典例分析.應(yīng)用1.單位根的性質(zhì)例1.設(shè)，求證：（1）；（2）.證明：（1）顯然，為次單位根，故有：，進(jìn)一步可得：，代入即可證得.由于，故，取模可得：于是代入（1）中所證結(jié)果可得：整理可得：，證畢.點(diǎn)評(píng)：鞭炮模型，三角恒等變換中一類重要的題型.例2.（2017北大博雅）計(jì)算的值.解析：原式，進(jìn)一步誘導(dǎo)可得：，利用例1的結(jié)論可得：.例3.（2021北大優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂）已知復(fù)數(shù)為方程的個(gè)相異根，則________.解析