2023-2024學年八年級數(shù)學上冊 專題13-1 尺規(guī)作圖分析

PAGE12/2第十三章專題1尺規(guī)作圖1作已知角已知角∠ABC，作角∠A作法(1)以點B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交BC于點F，交AB于E；(2)畫射線B'C'，以點B'為圓心，BF為半徑畫弧，交B'C'于點F'，以點F'為圓心，E'F'為半徑畫弧，交A'B'于點E'(3)連接B'E'，則∠B2作角平分線作已知角∠ABC的角平分線BP.作法(1)以點B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交BC于點F，交AB于E；(2)分別以點E、F為圓心，大于12EF的長度為半徑畫弧交點(3)連接BP，則BP為所求角平分線.3作中垂線作線段AB的垂直平分線.作法(1)分別以點A、B為圓心，大于12AB的長度為半徑畫弧交點P和(2)連接PQ，則PQ為所求垂直平分線.4作垂線過已知直線l外的一點P作直線l的垂線.作法(1)以點P為圓心，大于點P到直線l距離的長度為半徑畫弧交直線l于點A和B；(2)分別以點A、B為圓心，大于12AB的長度為半徑畫弧交點(3)連接PQ，則PQ為所求垂線.【題型1】作已知角【典題1】如圖，直線AB與CD相交于點O，P為直線AB上一點(不與點O重合)．(1)用直尺和圓規(guī)過點P作直線EF∥CD，使∠APF成為∠POD的同位角(不寫作法，保留作圖痕迷)；(2)當∠COP+∠BOD＝258°時，∠APF＝．解析(1)如圖：EF即為所求；(2)∵∠COP+∠BOD＝258°，又∵∠COP＝∠BOD，∴∠COP＝∠BOD＝129°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝51°，∵EF∥CD，∴∠APF＝∠AOD＝51°，故答案為：51°．【鞏固練習】1.如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的對應(yīng)角相等”這一性質(zhì)()A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS答案D解析如圖，由作圖可知，BA＝CF．在△AOB和△CEF中，&OA∴△AOB≌△CEF(SSS)，故選：D．2.如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，連接AD，用尺規(guī)在AC上找一點N，使∠CBN＝∠CAD，關(guān)于作圖痕跡，下列觀點正確的是()A．EF是以點C為圓心，AE長為半徑的弧 B．PQ是以點B為圓心，AF長為半徑的弧C．GM是以點Q為圓心、EF長為半徑的弧 D．GM是以點P為圓心、BP長為半徑的弧答案B解析根據(jù)作一個角等于已知角，可得EF是以點A為圓心、AE長為半徑的弧，故A錯誤，本選項不符合題意，PQ是以點B為圓心，AF長為半徑的弧，正確，本選項符合題意．GM是以點P為圓心、FE長為半徑的弧，故C，D錯誤．選項C，D不符合題意．故選：B．3.已知：∠AOB及邊OB上一點C．求作：∠DCB，使得∠DCB＝∠AOB．要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法(說明：作出一個即可)．解析如圖：∠DCB即為所求．4.如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°．(1)用尺規(guī)作圖法作∠ABD＝∠C，與邊AC交于點D(保留作圖痕跡，不用寫作法)；(2)在(1)的條件下，當∠C＝30°時，求∠BDC的度數(shù)．答案(1)略(2)120°解析(1)如圖，∠ABD為所作；(2)∵∠ABD＝∠C＝30°，∠A＝90°，∴∠ADB＝60°，∴∠BDC＝120°．【題型2】作角平分線【典題1】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°．(1)尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線，交AB于點D(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)所作的圖形中，延長CA至點E，使AE＝AD，連接BE．求證：CD＝BE，且CD⊥BE．解析(1)如圖，CD即為所作，(2)如圖，延長CD，交BE于F，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠EAB＝∠BAC＝90°，又∵AE＝AD，∴△BAE≌△CAD，∴CD＝BE，∠ABE＝∠ACD，∴∠ABE+∠E＝90°，∴∠ECF+∠E＝90°，∴∠EFC＝90°，即CD⊥BE．【鞏固練習】1.如圖，利用尺規(guī)作∠AOB的角平分線OC的作法，在用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是()A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS答案A解析如圖，連接CD，CE，由作法可知OE＝OD，CE＝CD，OC＝OC，故可得出△OCE≌△OCD(SSS)，所以∠AOC＝∠BOC，所以O(shè)C就是∠AOB的平分線．故選：A．2.如圖，已知AB＝AC，BC＝6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD＝()A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析由題意，AB＝AC，BC＝6，∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝3，故選：B．3.如圖，E為等腰三角形的一個頂點，在正方形ABCD內(nèi)部，∠AEB＝120°，請在CD邊上確定一點P，使得∠APD＝60°(保留作圖痕跡，不寫作法)．解析如圖，點P即為所求．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)尺規(guī)作圖：作∠B的平分線BD交AC于點D；(不寫作法，保留作圖痕跡)(2)若DC＝2，求AC的長．答案(1)略(2)6解析(1)如圖射線BD即為所求；(2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4，∴AC＝AD+CD＝4+2＝6．【題型3】作中垂線【典題1】如圖，兩條公路OA和OB相交于O點，在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要在∠AOB內(nèi)部修建一個貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．(要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論)解析如圖所示：P點即為所求．【鞏固練習】1.觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，能夠說明AB＞AC的是()A．①② B．②③ C．①③ D．③④答案C解析如圖①中，設(shè)垂直平分線與AB的交點為E，由作圖可知，EB＝EC，∵EA+EC＞AC，∴EA+EB＞AC，即AB＞AC．如圖③中，設(shè)弧與AB的交點為T，由作圖可知，AT＝AC，∵點T在線段AB上，∴AB＞AT，即AB＞AC．故選：C．2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①分別以A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點P和Q；②作直線PQ交AB于點D，交BC于點E，連接AE．若AC＝5，CB＝12，則△ACE的周長是()A．13 B．17 C．18 D．30答案B解析由作圖得：PQ垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周長為：AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝17，故選：B．3.今年是“一帶一路”倡議提出及建設(shè)開啟的十周年．十年來，我國與151個國家、32個國際組織簽署了200余份共建“一帶一路”合作文件，在基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、能源建設(shè)、交通運輸、脫貧等多個方面取得成果，為多個國家的合作發(fā)展帶來好消息．如圖，北京與雅典、莫斯科建立了“一帶一路”貿(mào)易合作關(guān)系，記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A，B，C三地的距離相等，那么如何選擇中轉(zhuǎn)倉的位置？請你用尺規(guī)作圖設(shè)計出中轉(zhuǎn)倉的位置P，保留作圖痕跡，不用說明理由，并描黑作圖痕跡．解析如圖，點P即為所求．4.如圖，已知△ABC，P為邊AB上一點，請用尺規(guī)作圖的方法在邊AC上求作一點E，使AE+EP＝AC．(保留作圖痕跡，不寫作法)解析如圖，點P為所作．5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．(1)用直尺和圓規(guī)作斜邊AB的垂直平分線，交BC于點P(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)寫出PC，PA，BC之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．答案(1)略(2)BC＝PC+PA解析(1)如圖，直線PQ即為所求．(2)BC＝PC+PA．理由：連接AP，∵直線PQ為線段AB的垂直平分線，∴AP＝BP，∴BC＝PC+PB＝PC+PA．【題型4】作垂線【典題1】如圖，已知∠BAC和邊AB上一點D，且AP平分∠BAC．請利用尺規(guī)作圖法在AP上找一點O，使∠AOD+∠OAC＝90°．(不寫作法，保留作圖痕跡)?解析以O(shè)為圓心，DA的長為半徑作弧，交AB于點E，再以A、E為圓心，以大于AD的長為半徑作弧，交于點F，連接DF并延長交AP于點D，則OD⊥AB，∵AP平分∠BAC，∴∠OAC＝∠OAD，∵OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，∴∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠AOD+∠OAC＝90°．【鞏固練習】1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8，以點C為圓心，CB長為半徑作弧，交AB于點D，再分別以點B和點D為圓心，大于12BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作射線CE交AB于點F，則A．9 B．10 C．12 D．14答案C解析由作圖知，CF⊥BD，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8，∴AB＝2BC＝16，∠ABC＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF∴AF＝AB﹣BF＝16﹣4＝12，故選：C．2.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°．(1)尺規(guī)作圖：作BC邊上的高，垂足為D(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)若∠C＝30°，AB＝2，求BD的長．答案(1)略(2)1解析(1)如圖，AD為所求；(2)∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD=1【A組基礎(chǔ)題】1.如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，②作直線MN交AB于點D，連接CD．若AC＝3，AB＝9，則△ACD的周長為()A．12 B．11 C．10 D．9答案A解析由作圖可知MN垂直平分線段BC，∴DB＝DC，∴△ADC的周長＝AC+CD+AC＝AC+DB+AD＝AC+AB＝3+9＝12．故選：A．2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，BC于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的定長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D，作DE⊥AB，垂足為A．BC＝BE B．CD＝DE C．BD＝AD D．BD一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心答案C解析由作圖知，BD平分∠ABC，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，BD一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，故B不符合題意，故D不符合題意；在Rt△BCD與Rt△BED中&CD∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，∴BC＝BE，故A不符合題意；無法證明BD＝AD，故C符合題意．故選：C．3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面積為16，BC＝4，分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，連接EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．則BM+A．6 B．8 C．10 D．12答案B解析由作圖得：EF是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴BM+MD＝AM+MD≥AD，∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∵△ABC的面積為16，BC＝4，∴AD＝8，故選：B．4.如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α的度數(shù)為()A．68° B．56° C．45° D．54°答案B解析∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．由作法可知，AF是∠DAC的平分線，∴∠由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，∴∠AEF＝90°，∴∠∴∠α＝56°．故選：B．5.如圖，利用尺規(guī)，在△ABC的邊AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射線AE上截取AD＝BC，連接CD，并證明：CD∥AB(尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法)解析圖象如圖所示，∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，∴△ACD≌△CAB(SAS)，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．6.如圖，在△ABC中，在BC上找一點E，連接AE，使∠BEA＝2∠C．(保留作圖痕跡，不寫作法)解析如圖，點E即為所求．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC．(1)用尺規(guī)作圖法作AB的垂直平分線DE，分別交AC、AB于點D和點E，(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)在(1)的條件下，連接BD，當∠CBD＝36°時，求∠A的度數(shù)．答案(1)略(2)36°解析(1)如圖所示，DE即為所求；(2)如圖：∵AB＝AC，∴∠ABC∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB．∴∠ABD＝∠A．∵∠CBD＝36°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠A+36°．∴90∴∠A＝36°．8.如圖，直線AB與直線BC相交于點B，點D是直線BC上一點．求作：點E，使E到AB，BC距離相等，并且DE的距離最短．?解析以B為圓心，任意長為半徑交AB、BC于點M、N，分別以M、N為圓心，大于12BN為半徑作弧，兩弧相交于F，連接BF為∠以B為圓心，BD為半徑作弧，交AB于G，連接DG交BF于點E，點E即為所求．9.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CD＞BC，求作一點P，使得點P到C、D兩點距離相等且滿足S△ADP＝S△ABP(要求：尺規(guī)作圖，不寫