2023屆安徽省皖江名校高三第四次階段考試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2023屆安徽省皖江名校高三第四次階段考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對(duì)的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.4.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.5.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),設(shè)其前n項(xiàng)和,若(),則()A.30 B. C. D.626.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.7.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.18.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸9.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C.1 D.10.已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8,則實(shí)數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.311.已知雙曲線(xiàn)C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線(xiàn)方程為,則C為()A. B.C. D.12.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,,則___________.14.以,為圓心的兩圓均過(guò),與軸正半軸分別交于,,且滿(mǎn)足,則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)________.15.電影《厲害了,我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線(xiàn),網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲,我為我是中國(guó)人驕傲!”《厲害了,我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人,不忘初心,用奮斗書(shū)寫(xiě)無(wú)悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國(guó)》,并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)不同的盒子里,讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè):甲說(shuō):第1個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是乙說(shuō):第2個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是丙說(shuō):第4個(gè)盒子里放的是,第2個(gè)盒子里放的是丁說(shuō):第4個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是小明說(shuō):“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”可以預(yù)測(cè),第4個(gè)盒子里放的電影票為_(kāi)________16.函數(shù)滿(mǎn)足,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率,過(guò)右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,線(xiàn)段的中點(diǎn)為,記直線(xiàn)的斜率分別為,求證:為定值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.19.(12分)已知橢圓,點(diǎn)為半圓上一動(dòng)點(diǎn),若過(guò)作橢圓的兩切線(xiàn)分別交軸于、兩點(diǎn).(1)求證:;(2)當(dāng)時(shí),求的取值范圍.20.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線(xiàn)段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時(shí),在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時(shí),.22.(10分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)逆運(yùn)算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng),解得

,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時(shí),解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為

或3,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,通過(guò)結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因?yàn)椋?,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類(lèi)比推理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.3、A【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,分類(lèi)討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn),又因?yàn)?,且由圖可知,當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn),故只需當(dāng)時(shí),與有一個(gè)交點(diǎn)即可.若當(dāng)時(shí),時(shí),顯然??=??(??)與??=4|??|有一個(gè)交點(diǎn)??,故滿(mǎn)足題意;時(shí),顯然??=??(??)與??=4|??|沒(méi)有交點(diǎn),故不滿(mǎn)足題意;時(shí),顯然??=??(??)與??=4|??|也沒(méi)有交點(diǎn),故不滿(mǎn)足題意;時(shí),顯然與有一個(gè)交點(diǎn),故滿(mǎn)足題意.綜上所述,要滿(mǎn)足題意,只需.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.4、C【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線(xiàn)的方程寫(xiě)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線(xiàn)方程為,所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的方程.屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,解方程組求出首項(xiàng)和公式,最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,因此.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、C【解析】

由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿(mǎn)足條件,,,,,滿(mǎn)足條件,,,,,滿(mǎn)足條件,,,,,滿(mǎn)足條件,,,,,不滿(mǎn)足條件,輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),屬于簡(jiǎn)單題.7、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?,且,,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;2.圓臺(tái)的體積.9、A【解析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時(shí),,,∴,由題意,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10、A【解析】

先求的展開(kāi)式,再分類(lèi)分析中用哪一項(xiàng)與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng),從而求出的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,當(dāng)取2時(shí),常數(shù)項(xiàng)為,當(dāng)取時(shí),常數(shù)項(xiàng)為由題知,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題,其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類(lèi)討論,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由題意求得c與的值,結(jié)合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線(xiàn)C的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因?yàn)樗裕?dāng)時(shí),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

因?yàn)?,所以,又,所以,則,所以.14、【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上,由此得到,同理可得,由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知,從而化簡(jiǎn)得到,由此確定軌跡方程.【詳解】,,和的中點(diǎn)坐標(biāo)為,且在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上,,即,同理可得:,,,點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造出滿(mǎn)足的方程,由此得到結(jié)果.15、A或D【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的,然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說(shuō):第1個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,則乙說(shuō):第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丙說(shuō):第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丁說(shuō):第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,由此可知第4個(gè)盒子里面放的是;假設(shè)甲說(shuō):第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,則丙說(shuō):第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,乙說(shuō):第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丁說(shuō):第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,由此可知第4個(gè)盒子里面放的是.故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.16、【解析】

由已知,在上有3個(gè)根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個(gè)根,而含505個(gè)周期,所以在上有3個(gè)根,設(shè),,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時(shí),在上無(wú)根,在必有3個(gè)根,則,即,此時(shí);若時(shí),在上有1個(gè)根,注意到,此時(shí)在不可能有2個(gè)根,故不滿(mǎn)足;若時(shí),要使在有2個(gè)根,只需,解得;若時(shí),在上單調(diào)遞增,最多只有1個(gè)零點(diǎn),不滿(mǎn)足題意;綜上,實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,涉及到函數(shù)的周期性、分類(lèi)討論函數(shù)的零點(diǎn),是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

(1)由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建方程組,求得,代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可;(2)依題意,直線(xiàn)的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線(xiàn)的方程為,設(shè),,通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程化簡(jiǎn)整理和中點(diǎn)的坐標(biāo)表示用含k的表達(dá)式表示,,進(jìn)而表示;由韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而表示用含k的表達(dá)式表示,最后做比即得證.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,即,所以.依題意,,即,解得,所以,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:依題意,直線(xiàn)的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線(xiàn)的方程為,設(shè),.與橢圓聯(lián)立整理得,故所以,,所以.又,所以為定值,得證.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,還考查了橢圓中的定值問(wèn)題,屬于較難題.18、(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號(hào),即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,分離參數(shù)只需時(shí),恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)椋?,所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因?yàn)椋裕瑥亩?令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.19、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)分兩種情況討論:①兩切線(xiàn)、中有一條切線(xiàn)斜率不存在時(shí),求出兩切線(xiàn)的方程,驗(yàn)證結(jié)論成立;②兩切線(xiàn)、的斜率都存在,可設(shè)切線(xiàn)的方程為,將該直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由可得出關(guān)于的二次方程,利用韋達(dá)定理得出兩切線(xiàn)的斜率之積為,進(jìn)而可得出結(jié)論;(2)求出點(diǎn)、的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合韋達(dá)定理得出,換元,可得出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點(diǎn)在半圓上,則.①當(dāng)兩切線(xiàn)、中有一條切線(xiàn)斜率不存在時(shí),可求得兩切線(xiàn)方程為,或,,此時(shí);②當(dāng)兩切線(xiàn)、的斜率都存在時(shí),設(shè)切線(xiàn)的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據(jù)題意得、,,令,則,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.因此,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓兩切線(xiàn)垂直的證明,同時(shí)也考查了弦長(zhǎng)的取值范圍的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)見(jiàn)解析(2)平面.見(jiàn)解析【解析】

(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進(jìn)而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點(diǎn),連接.、、分別為邊、、的中點(diǎn),.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線(xiàn)面垂直和線(xiàn)面平行,解題關(guān)鍵是掌握線(xiàn)面垂直判定定理

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