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文檔簡介
2023屆安徽省皖江名校高三第四次階段考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或2.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.4.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實數(shù)()A. B. C. D.5.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),設(shè)其前n項和,若(),則()A.30 B. C. D.626.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.7.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.18.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸9.設(shè)函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B. C.1 D.10.已知的展開式中的常數(shù)項為8,則實數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.311.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.12.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,,則___________.14.以,為圓心的兩圓均過,與軸正半軸分別交于,,且滿足,則點的軌跡方程為_________.15.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標(biāo)識為的四張電影票放在編號分別為1,2,3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進行猜測:甲說:第1個盒子里放的是,第3個盒子里放的是乙說:第2個盒子里放的是,第3個盒子里放的是丙說:第4個盒子里放的是,第2個盒子里放的是丁說:第4個盒子里放的是,第3個盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”可以預(yù)測,第4個盒子里放的電影票為_________16.函數(shù)滿足,當(dāng)時,,若函數(shù)在上有1515個零點,則實數(shù)的范圍為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知橢圓經(jīng)過點,且離心率,過右焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右頂點為,線段的中點為,記直線的斜率分別為,求證:為定值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個零點,且;(2)若當(dāng)時,不等式恒成立,求證:.19.(12分)已知橢圓,點為半圓上一動點,若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.(1)求證:;(2)當(dāng)時,求的取值范圍.20.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點,,分別為線段,,的中點,點是線段的中點.(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時,在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時,.22.(10分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)逆運算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當(dāng),解得
,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為
或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.3、A【解析】
分段求解函數(shù)零點,數(shù)形結(jié)合,分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個零點,等價于與有三個交點,又因為,且由圖可知,當(dāng)時與有兩個交點,故只需當(dāng)時,與有一個交點即可.若當(dāng)時,時,顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??,故滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點,故不滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點,故不滿足題意;時,顯然與有一個交點,故滿足題意.綜上所述,要滿足題意,只需.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.4、C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準(zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式,得到關(guān)于首項和公比的方程組,解方程組求出首項和公式,最后利用等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項公式可得:,因此.故選:B【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力.6、C【解析】
由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,計算程序框圖的運行結(jié)果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),屬于簡單題.7、D【解析】
由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為,且,,則.故選:.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點:1.實際應(yīng)用問題;2.圓臺的體積.9、A【解析】
由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時,,,∴,由題意,∴.故選:A.【點睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10、A【解析】
先求的展開式,再分類分析中用哪一項與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項,從而求出的值.【詳解】展開式的通項為,當(dāng)取2時,常數(shù)項為,當(dāng)取時,常數(shù)項為由題知,則.故選:A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題,其中對所取的項要進行分類討論,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由題意求得c與的值,結(jié)合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因為所以,當(dāng)時,.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
因為,所以,又,所以,則,所以.14、【解析】
根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上,由此得到,同理可得,由對數(shù)運算法則可知,從而化簡得到,由此確定軌跡方程.【詳解】,,和的中點坐標(biāo)為,且在線段的垂直平分線上,,即,同理可得:,,,點的軌跡方程為.故答案為:.【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解問題,關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對數(shù)運算法則構(gòu)造出滿足的方程,由此得到結(jié)果.15、A或D【解析】
分別假設(shè)每一個人一半是對的,然后分別進行驗證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說:第1個盒子里面放的是是對的,則乙說:第3個盒子里面放的是是對的,丙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第4個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是;假設(shè)甲說:第3個盒子里面放的是是對的,則丙說:第4個盒子里面放的是是對的,乙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第3個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是.故第4個盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點睛】本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.16、【解析】
由已知,在上有3個根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個根,而含505個周期,所以在上有3個根,設(shè),,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時,在上無根,在必有3個根,則,即,此時;若時,在上有1個根,注意到,此時在不可能有2個根,故不滿足;若時,要使在有2個根,只需,解得;若時,在上單調(diào)遞增,最多只有1個零點,不滿足題意;綜上,實數(shù)的范圍為.故答案為:【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)詳見解析.【解析】
(1)由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點坐標(biāo)構(gòu)建方程組,求得,代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可;(2)依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),,通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡整理和中點的坐標(biāo)表示用含k的表達式表示,,進而表示;由韋達定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進而表示用含k的表達式表示,最后做比即得證.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,即,所以.依題意,,即,解得,所以,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),.與橢圓聯(lián)立整理得,故所以,,所以.又,所以為定值,得證.【點睛】本題考查由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,還考查了橢圓中的定值問題,屬于較難題.18、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號,即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時,不等式恒成立,分離參數(shù)只需時,恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因為,,所以在區(qū)間上有且僅有一個零點,且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時,;當(dāng)時,恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因為,所以,從而,所以.令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于較難題.19、(1)見解析;(2).【解析】
(1)分兩種情況討論:①兩切線、中有一條切線斜率不存在時,求出兩切線的方程,驗證結(jié)論成立;②兩切線、的斜率都存在,可設(shè)切線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由可得出關(guān)于的二次方程,利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為,進而可得出結(jié)論;(2)求出點、的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理得出,換元,可得出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點在半圓上,則.①當(dāng)兩切線、中有一條切線斜率不存在時,可求得兩切線方程為,或,,此時;②當(dāng)兩切線、的斜率都存在時,設(shè)切線的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據(jù)題意得、,,令,則,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,.因此,的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明,同時也考查了弦長的取值范圍的計算,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)見解析(2)平面.見解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點,連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點,,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點,,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點,連接.、、分別為邊、、的中點,.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理
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