浙江省寧波市云龍鎮(zhèn)中學高三數(shù)學文期末試題含解析

浙江省寧波市云龍鎮(zhèn)中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知實數(shù)x，y滿足不等式組，若目標函數(shù)z=kx+y僅在點（1，1）處取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是

（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）參考答案：B【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用目標函數(shù)z=kx+y取得最小值時的唯一最優(yōu)解是（1，1），得到直線y=﹣kx+z斜率的變化，從而求出k的取值范圍【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分OAB）．由z=kx+y得y=﹣kx+z，即直線的截距最大，z也最大．平移直線y﹣kx+z，要使目標函數(shù)z=kx+y取得最小值時的唯一最優(yōu)解是（1，1），即直線y=﹣kx+z經(jīng)過點A（1，1）時，截距最小，由圖象可知當陰影部分必須在直線y=﹣kx+z的右上方，此時只要滿足直線y=﹣kx+z的斜率﹣k大于直線OA的斜率即可直線OA的斜率為1，∴﹣k＞1，所以k＜﹣1．故選：B2.本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，四點在同一圓上，與的延長線交于點，點在的延長線上．（1）若，求的值；（2）若，證明：．參考答案：（1）；（2）見解析

【知識點】與圓有關的比例線段N1解析：（I）四點共圓，，又，∽，，，．------------------------------------5分（II），，又，∽，，

又四點共圓，，，

.-------------------------------10分【思路點撥】（1）根據(jù)圓內接四邊形的性質，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，從而△EDC∽△EBA，所以有==，利用比例的性質可得?=（）2，得到的值；（2）根據(jù)題意中的比例中項，可得=，結合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（1）的結論∠EDC=∠EBF，利用等量代換可得∠FEA=∠EDC，內錯角相等，所以EF∥CD．3.根據(jù)程序設定，機器人在平面上能完成下列動作：先從原點O沿正東偏北（）方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但的大小以及何時改變方向不定.如右圖.假定機器人行走速度為10米/分鐘，設機器人行走2分鐘時的可能落點區(qū)域為S，則S的面積（單位：平方米）等于（

）

A.

B.C.

D.參考答案：B4.設，則

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則值為

（

）A.3

B.

C.

D.參考答案：D6.已知全集，則集合{1，6}=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.在銳角三角形中，a、b、c分別是內角A、B、C的對邊，設B=2A，則的取值范圍是（

） A．

B．

C.

D．（0，2）參考答案：A略8.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：B【分析】（i）當a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，兩個解，舍去．（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．對a分類討論：①當a＜0時，由題意可得關于a的不等式組；②當a＞0時，推出極值點不滿足題意，推出結果即可．【解答】解：（i）當a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函數(shù)f（x）有兩個零點，舍去．（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①當a＜0時，＜0，當x＜或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；當＜x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增．∴是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，則：；即：，可得a＜﹣2．②當a＞0時，＞0，當x＞或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增；當0＜x＜時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減．∴是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．不滿足函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．故選：B．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、函數(shù)的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.已知集合，則B中所含元素的個數(shù)為（

）（A）3

（B）6

(C)8

（D）10參考答案：D略10.在區(qū)間[-2，2]上隨機取一個數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間（1,+∞）上為增函數(shù)的

概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：C當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，故所求概率為.故C項正確.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列的前項和為，若2，4，成等比數(shù)列，則=_________。參考答案：12.已知且．求_________.參考答案：【分析】先求出sin【詳解】因為，所以.故答案為：.【點睛】(1)本題主要考查三角化簡求值，考查同角的平方關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是分析得到，否則會出現(xiàn)雙解.13.（坐標系與參數(shù)方程）直線與圓相交的弦長為

.參考答案：.

直線與圓的普通方程為，圓心到直線的距離為，所以弦長為.14.設函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________．參考答案：－115.若直線過點，且與圓相切，則直線的方程為．參考答案：16.連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點數(shù)m、n為點P（m，n）的坐標，那么點P在圓x2+y2＝17外部的概率應為__.參考答案：略17.下列說法：

①“”的否定是“”；

②函數(shù)的最小正周期是

③命題“函數(shù)處有極值，則”的否命題是真命題；

④上的奇函數(shù)，時的解析式是，則時的解析式為其中正確的說法是

（填正確答案的序號）。參考答案：①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題12分)在中,（1）求；（2）設求值.參考答案：解:（1）分分分分（2）根據(jù)正弦定理得分分分略19.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中點，證明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在線段CP上是否存在點Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為，若存在，確定點Q的位置，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可證明；（Ⅱ）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的大??；（Ⅲ）設出Q的坐標，利用向量方法，即可求解．【解答】（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四邊形ABCD是矩形．∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，若O是CD的中點，OP⊥CD．OP=．建立如圖所示的空間直角坐標系，AB=2BC=2．則O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），P（0，，0）．∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．∴?═0，∴⊥，∴BO⊥PA．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．設平面BPA的法向量為=（x，y，z），由，取y=1，平面BPA的一個法向量為=（0，1，）．取=（0，0，1），設平面PAD的法向量為=（a，b，c），則，取b=1，則=（﹣，1，0）．∴cos＜，＞==，由圖可以看出：二面角B﹣PA﹣D是一個鈍角，故其余弦值為﹣，正弦值為．（Ⅲ）解：假設存在Q，直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為，直線AQ與平面ABP的法向量所成角的余弦值為．設Q（m，（1﹣m），0），則=（m+1，（1﹣m），﹣1），∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程無解，∴在線段CP上不存在點Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為．20.(本小題滿分13分)某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進行檢驗，設取出的三箱中分別有0件、l件、2件二等品，其余為一等品．

(I)用表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求分布列及的數(shù)學期望；

(II)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率．參考答案：(I)分布列見解析,1.2(II)21.(本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，平面，∥，是的中點，，，．（1）證明平面；（2）求二面角的余弦值的大??；

參考答案：解法一（1）取的中點，連結、．因為∥，∥，所以∥．又因為，，所以．所以四邊形是平行四邊形，∥．…………分在等腰中，是的中點，所以．因為平面，平面，所以．而，所以平面．又因為∥，所以平面．

……………分（2）因為平面，平面，所以平面平面．過點作于，則平面，所以．過點作于，連結，則平面，所以．所以是二面角的平面角．……………分在中，．因為，所以是等邊三角形．又，所以

，．在中，．所以二面角的余弦值是．……………分解法二

（1）因為平面，∥，所以平面．故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則相關各點的坐標分別是，，，，，．

……分

所以，，．因為，，所以，．而，所以平面．

……分（2）由（Ⅰ）知，，，．設是平面的一個法向量，由

得即．取，則．設是平面的一個法向量，由

得即．取，，則．…分∵二面角為銳二面角，設二面角的大小為，則．