高等代數(shù)課件(北大版)第三章-線性方程組§3-1

一、一般線性方程組的基本概念二、消元法解一般線性方程組§3.1消元法三、齊次線性方程組11/5/2023數(shù)學與計算科學學院1．一般線性方程組是指形式為(1)是方程的個數(shù);的方程組，其中代表個未知量的系數(shù)，稱為方程組的系數(shù)；稱為常數(shù)項。一、一般線性方程組的基本概念11/5/2023數(shù)學與計算科學學院2．方程組的解設是個數(shù)，如果分別用代入后，(1)中每一個式子都變成恒等式,則稱有序數(shù)組是（1）的一個解.(1)的解的全體所成集合稱為它的解集合．解集合是空集時就稱方程組（1）無解．3．同解方程組如果兩個線性方程組有相同的解集合，則稱它們是同解的．11/5/2023數(shù)學與計算科學學院4．方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣矩陣稱為方程組（1）的系數(shù)矩陣

;而矩陣稱為方程組（1）的增廣矩陣．11/5/2023數(shù)學與計算科學學院1．引例解：第二個方程乘以2，再與第一個方程對換次序得第二個方程減去第一個方程的2倍，二、消元法解一般線性方程組解線性方程組第三個方程減去第一個方程的3倍，得

11/5/2023數(shù)學與計算科學學院第三個方程減去第二個方程的5倍，得第三個方程乘以，得

11/5/2023數(shù)學與計算科學學院第一個方程加上第三個方程；第二個方程加上第三個方程，得

這樣便求得原方程組的解為或11/5/2023數(shù)學與計算科學學院定義線性方程組的初等變換是指下列三種變換①用一個非零的數(shù)乘某一個方程；②將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上；③交換兩個方程的位置．性質線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程組與原線性方程組同解．2．線性方程組的初等變換11/5/2023數(shù)學與計算科學學院如對方程組（1）作第二種初等變換:簡便起見，不妨設把第二個方程的k倍加到第一個方程得到新方程組（1'）．（1'）設是方程組（1）的任一解，則11/5/2023數(shù)學與計算科學學院所以也是方程組（1'）的解.于是有同理可證的（1'）任一解也是（1）的解.故方程組（1'）與（1）是同解的.11/5/2023數(shù)學與計算科學學院3．利用初等變換解一般線性方程組（化階梯方程組）先檢查(1)中的系數(shù)，若全為零，則沒有任何限制，即可取任意值，從而方程組(1)可以看作是的方程組來解．11/5/2023數(shù)學與計算科學學院如果的系數(shù)不全為零，不妨設，分別把第一個方程的倍加到第i個方程．(3)于是(1)就變成其中11/5/2023數(shù)學與計算科學學院再考慮方程組(4)即，方程組(3)有解當且僅當方程組(4)有解。(3)是同解的，因此方程組(1)有解當且僅當(4)有解．對方程組(4)重復上面的討論，并且一步步作下去，最后就得到一個階梯形方程組.的一個解；而方程組(3)的解都是方程組(4)有解。顯然，方程組(4)的一個解代入方程組(3)就得出(3)而(1)與11/5/2023數(shù)學與計算科學學院這時去掉它們不影響(5)的解．(5)其中方程組(5)中的“０＝０”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)而且(1)與(5)是同解的．

也可能出現(xiàn)，為了討論的方便，不妨設所得的階梯形方程組為11/5/2023數(shù)學與計算科學學院考察方程組的解的情況:由Cramer法則，此時(6)有唯一解，從而(1)有唯一解．(6)i)若．這時階梯形方程組為其中２°時，方程組(5)有解，從而(1)有解，１°時，方程組(5)無解，從而(1)無解．分兩種情況：此時去掉“０＝０”的方程．11/5/2023數(shù)學與計算科學學院此時方程組(7)有無窮多個解，從而(1)有無窮多個解.

(7)ii)若，這時階梯形方程組可化為其中事實上，任意給一組值，由(7)就唯一地定出的

一組值．11/5/2023數(shù)學與計算科學學院稱為一組自由未知量．而

通過一般地，我們可以把這樣一組表達式稱為方程組(1)的一般解，表示出來．

４．線性方程組消元法的矩陣表示不妨設線性方程組(1)的增廣矩陣經(jīng)過一系列初等行變換化成階梯陣11/5/2023數(shù)學與計算科學學院其中１°時，方程組(1)無解．２°時，方程組(1)有解.11/5/2023數(shù)學與計算科學學院且方程組(1)與方程組(7)同解(7)當時，方程組(1)有無窮多解．所以，當時，方程組(1)有唯一解；（這樣，方程組(1)有沒有解，以及有怎樣的解，都可以通過它的增廣矩陣看出。）11/5/2023數(shù)學與計算科學學院

例解下列方程組解：對方程組的增廣矩陣作初等行變換從最后一行知，原方程組無解。11/5/