高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第三冊(cè)《7.1條件概率與全概率公式》課件

7.1.1條件概率[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計(jì)算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.[知識(shí)鏈接]3張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3名同學(xué)無(wú)放回地抽取，問(wèn)最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比其他同學(xué)??？[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.條件概率一般地，設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，稱(chēng)P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.一般把P(B|A)讀作

.A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率(1)定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在

的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做

.(2)條件概率公式：P(B|A)＝

，P(A)

0.已知事件A發(fā)生條件概率＞2.事件的交(或積)事件A與B的交(或積)：由事件A和B

所構(gòu)成的事件D，稱(chēng)為事件A與B的交(或積)，記作D＝

(或D＝

).同時(shí)發(fā)生A∩BAB3.條件概率的性質(zhì)(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的概率都在0和1之間，即

.(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝

.0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)要點(diǎn)一條件概率例1一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，每次從中不放回地任取1個(gè)，連取兩次，求第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率.解方法一記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黑球”為事件B.顯然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率為方法二這個(gè)問(wèn)題還可以這樣理解：第一次取到白球，則只剩9個(gè)球，其中5個(gè)白球，4個(gè)黑球，在這個(gè)前提下，規(guī)律方法(1)對(duì)于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件總數(shù).(2)條件概率的定義揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之間的關(guān)系，反映了“知二求一”的互化關(guān)系.跟蹤演練1某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人，全班分成4個(gè)小組，第一小組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員4人.從該班任選一人作學(xué)生代表.(1)求選到的是共青團(tuán)員的概率；解設(shè)“選到的是共青團(tuán)員”為事件A，“選到的是第一小組學(xué)生”為事件B，則“選到的既是共青團(tuán)員又是第一小組學(xué)生”為事件AB.(2)求選到的既是共青團(tuán)員又是第一小組學(xué)生的概率；(3)已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一小組學(xué)生概率.方法二由題意知，事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)為15，事件AB所包含的基本事件個(gè)數(shù)為4，要點(diǎn)二條件概率的綜合應(yīng)用例2

在某次考試中，從20道題中隨機(jī)抽取6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道即可通過(guò)；若至少能答對(duì)其中5道就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率.解設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，另兩道答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，∴P(E|D)＝P((A∪B)|D)＝P(A|D)＋P(B|D)規(guī)律方法當(dāng)所求事件的概率相對(duì)較復(fù)雜時(shí)，往往把該事件分成兩個(gè)(或多個(gè))互不相容的較簡(jiǎn)單的事件之和，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得較復(fù)雜事件的概率.跟蹤演練2高二·一班和高二·二班兩班共有學(xué)生120名，其中女同學(xué)50名，若一班有70名同學(xué)，而女生30名，問(wèn)在碰到一班同學(xué)時(shí)，正好碰到一名女同學(xué)的概率.解設(shè)事件A為“碰到一班的一名同學(xué)”，事件B為“正好碰到一班的一名女同學(xué)”，易知n(A)＝70，n(AB)＝n(B)＝30，1.下列說(shuō)法正確的是(

)A.P(B|A)＜P(AB) B.P(B|A)＝

是可能的C.0＜P(B|A)＜1 D.P(A|A)＝0∴P(B|A)≥P(AB)，∴A錯(cuò)，當(dāng)P(A)＝1時(shí)，P(AB)＝P(B)，而0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴C，D錯(cuò)，故選B.答案B2.甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，B為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則概率P(A|B)等于(

)解析由題意可知.答案C3.設(shè)某種動(dòng)物能活到20歲的概率為0.8，能活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲的概率是________.解析設(shè)事件A為“能活到20歲”，事件B為“能活到25歲”，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率為P(B|A)，由于B?A，故AB＝B，所以一只20歲的這種動(dòng)物能活到25歲的概率是0.5.答案0.54.考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭.若已知某家有男孩，求這家有兩個(gè)男孩的概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩(相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩)的概率(假定生男生女為等可能).解Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}.設(shè)B＝“有男孩”，則B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}.A＝“有兩個(gè)男孩”，則A＝{(男，男)}，B1＝“第一個(gè)是男孩”，則B1＝{(男，男)，(男，女)}課堂小結(jié)2.概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系：P(AB)表示在樣本空間Ω中，計(jì)算AB發(fā)生的概率，而P(A|B)表示在縮小的樣本空間ΩB中，計(jì)算A發(fā)生的概率.用古典概型公式，

7.1.2全概率公式[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解全概率公式和貝葉斯公式.2.會(huì)利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0

例1有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記

Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時(shí)發(fā)生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)123將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15全概率公式:則

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生，即

設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,全概率公式:稱(chēng)滿(mǎn)足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.則對(duì)任一事件B，有在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(B)不易,但B總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.全概率公式的來(lái)由,不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和.它的理論和實(shí)用意義在于:

某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解

例2

甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.

設(shè)B={飛機(jī)被擊落}

Ai={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3

由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)則B=A1B+A2B+A3B解:依題意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=1可求得:

為求P(Ai),

設(shè)Hi={飛機(jī)被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?實(shí)際中還有下面一類(lèi)問(wèn)題，是“已知結(jié)果求原因”

這一類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問(wèn):接下來(lái)我們介紹為解決這類(lèi)問(wèn)題而引出的貝葉斯公式

有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率

.1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.

記Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B).將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.貝葉斯公式：

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生，則

貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

例3

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.

已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}，

求P(C|A).現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來(lái)的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066

說(shuō)明這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？2.檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?

試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066

即使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)再試驗(yàn)來(lái)確認(rèn).

下面我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看一下貝葉斯公式

在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱(chēng)為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.

貝葉斯公式P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).

當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這