廣東省廣州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線SKIPIF1<0的傾斜角為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，然后利用斜率公式即可【詳解】設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得斜率SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：A2.已知圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】將圓SKIPIF1<0的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,再得到圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)即可.【詳解】圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,則圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0,所以圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.故選:C.3.已知雙曲線SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程直接求出離心率即可.【詳解】由雙曲線SKIPIF1<0,可知該雙曲線的離心率SKIPIF1<0.故選:C.4.等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0等于A.3 B.-6 C.4 D.-3【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)SKIPIF1<0，即能求出公差.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的公差的求法，是基礎(chǔ)題.5.已知點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為1，則SKIPIF1<0的值為()A.5或15 B.5或15C.5或15 D.5或15【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件,利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于SKIPIF1<0的方程,再求出SKIPIF1<0的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為1，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或5.故選:D.6.已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A.8 B.4 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)SKIPIF1<0是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為SKIPIF1<0，然后根據(jù)條件可解出SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故選：A7.如圖所示，在平行六面體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)，H分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，DE的中點(diǎn)．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0表示為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，利用基底SKIPIF1<0表示所求向量即可.【詳解】由題意，SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：B.8.已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0方程為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)差法求得SKIPIF1<0.【詳解】∵SKIPIF1<0，故右焦點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故橢圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知非零空間向量SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是()A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不共面【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理判斷A；利用數(shù)量積的定義判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律判斷C；利用平面向量基本定理判斷D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非零向量，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正確；對(duì)于B，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非零向量，所以SKIPIF1<0，故正確；對(duì)于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0未必共線，故不正確；對(duì)于D，由平面向量基本定理可得若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0共面，故不正確故選：AB10.已知點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則()A.直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交 B.直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相離C.點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最大值為SKIPIF1<0 D.點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最小值為SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可判斷.【詳解】解：圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相離，又點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最大值為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最小值為SKIPIF1<0，故正確有B、C.故選：BC11.設(shè)SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，計(jì)算得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故BD正確，AC錯(cuò)誤.故選：BD.12.已知橢圓SKIPIF1<0的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，短軸長(zhǎng)等于2，離心率為SKIPIF1<0，過(guò)焦SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0 B.橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓SKIPIF1<0的方程，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，橢圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，由離心率為SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，A正確，B不正確；由橢圓的對(duì)稱性不妨令SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，C正確；由選項(xiàng)C知，SKIPIF1<0，由橢圓定義得SKIPIF1<0，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0的坐標(biāo)為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，直接求值.【詳解】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<014.古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的(石子)，排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是______.【答案】66【解析】【分析】根據(jù)給定信息，求出三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)，即可求解作答.【詳解】依題意，三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以第11個(gè)三角形數(shù)是SKIPIF1<0.故答案為：6615.已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，弦SKIPIF1<0長(zhǎng)為12，則直線SKIPIF1<0的方程為______.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與拋物線方程，消掉SKIPIF1<0得關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)題意可得直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．16.數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離之比是常數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)M滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為______，△ABM面積的最大值為______.【答案】①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0結(jié)合兩點(diǎn)距離公式可得得動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，可得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積；又SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0，即可得△ABM面積的最大值.【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是圓且圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡區(qū)域面積SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)根據(jù)條件求出圓SKIPIF1<0的半徑,再結(jié)合圓心坐標(biāo)求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可;(2)求出圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離,再由垂徑定理求出SKIPIF1<0.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳ASKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0,所以圓SKIPIF1<0半徑SKIPIF1<0,所以圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0,所以由垂徑定理，得SKIPIF1<0.18.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式(2)求證數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)SKIPIF1<0,代入即可求出通項(xiàng)公式,注意檢驗(yàn)SKIPIF1<0;(2)由題意得出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式,用后一項(xiàng)減前一項(xiàng)為定值來(lái)證明是等差數(shù)列即可.【小問(wèn)1詳解】解:由題知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0代入上式可得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0時(shí)滿足上式,SKIPIF1<0;【小問(wèn)2詳解】證明:由題知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.19.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.(2)利用(1)中坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.20.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，其中SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項(xiàng).(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出直線SKIPIF1<0的方程，再代入求解作答.(2)由(1)求出SKIPIF1<0，再利用錯(cuò)位相減法求和作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則有SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.21.如圖，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定推理作答.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦即可求解作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【小問(wèn)2詳解】依題意，SKIPIF1<0兩兩垂直，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面DCE，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0.22.已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的離心率為SKIPIF1<0，其左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0面積的最大值為1.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0