《微分方程模型》

微分方程模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------1整理ppt在研究實際問題時，常常會聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。求解微分方程有三種方法：1〕求精確解；2〕求數(shù)值解〔近似解〕；3〕定性理論方法。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------2整理ppt建立微分方程模型的方法〔1〕根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分方程模型。〔2〕微元分析法利用的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------3整理ppt〔3〕模擬近似法在生物、經(jīng)濟等學(xué)科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況比照，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------4整理ppt微分方程模型古尸的年代鑒定問題偽造名畫案放射性核廢料處理問題流入--流出問題人口問題生物種群模型蘭徹斯特〔Lanchester〕作戰(zhàn)模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------5整理ppt

在巴基斯坦一個洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實驗室，作碳14年代測定，分析說明，與的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？一古尸年代鑒定問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------6整理ppt年代測定方法是1949年美國芝加哥大學(xué)利比〔W.F.Libby〕建立的，是考古工作者研究斷代的重要手段之一。背景西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------7整理ppt宇宙線中子穿過大氣層時撞擊空氣中的氮核，引起核反響而生成具有放射性的。從古至今，碳不斷產(chǎn)生，同時其本身又在不斷的放出射線而裂變?yōu)榈?。大氣中處于動態(tài)平衡狀態(tài)，經(jīng)過一系列交換過程進入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)到達平衡濃度，即在活體中，的數(shù)量與穩(wěn)定的的數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過程停止，放射性碳便按照放射性元素裂變規(guī)律衰減。根本原理從星際空間射到地球的射線裂變速率與剩余量成正比。Kc14=1/80008整理ppt設(shè)t為死后年數(shù)，建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------9整理ppt西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------10整理ppt年代測定的修訂：

1966年，耶魯實驗室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報告中指出：在2500到10000年前這段時間中測得的結(jié)果有差異，其根本原因在于那個年代，宇宙射線的放射性強度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。他們提出了一個很成功的誤差公式，用來校正根據(jù)碳測定出的2300年到6000年前這期間的年代：

真正的年代＝11整理ppt年代測定方法的根本原理；放射性元素衰變規(guī)律。注意：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------12整理ppt以前，美國原子能委員會把濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶里，然后仍到水深為300英尺的海里。1問題〔這是一場筆墨官司〕:生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家提出：圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放射性污染？美國原子能委員會：不會破裂〔用實驗證明〕。又有幾位工程師提出：圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而破裂？美國原子能委員會：決不會。二放射性核廢料處理問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------13整理ppt圓桶與海底的碰撞時的速度會不會超過40英尺/秒？假設(shè)圓桶與海底碰撞時的速度超過40英尺/秒時，就會因碰撞而破裂。這幾位工程師通過大量的實驗證明:通過建立數(shù)學(xué)模型來解決這一問題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------14整理ppt一些參數(shù)及假設(shè)：假設(shè)圓筒下沉?xí)r，所受海水的阻力與其速度成正比，即西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------15整理ppt受力分析：xyGfo2建模與求解西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------16整理ppt根據(jù)牛頓第二定理可解得：極限速度為：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------17整理ppt將速度v看成位置y的函數(shù)v(y)，由于代入：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------18整理ppt其解為：仍未解出v是y的顯函數(shù)。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------19整理ppt由近似公式西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------20整理ppt3結(jié)論：假設(shè)圓桶與海底的碰撞速度超過40英尺/秒，會因碰撞而破裂。這一模型科學(xué)的論證了美國原子能委員會過去處理核廢料的方法是錯誤的?，F(xiàn)在美國原子能委員會條例明確禁止把低濃度的放射性廢物拋到海里，改為在廢棄的煤礦中修建放置核廢料的深井。我國政府決定在甘肅、廣西等地修建深井放置核廢料，防止放射性污染。21整理ppt4注意：求解過程方程變形，近似計算西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------22整理ppt討論1972年開掘長沙市東郊馬王堆一號漢墓時，對其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量約為大氣中的0.7757倍，據(jù)此，你能推斷出此女尸下葬的年代嗎？碳-C14的半衰期為5730年。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------23整理ppt

第二次世界大戰(zhàn)比利時解放后，荷蘭保安機關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫?耶穌在學(xué)者中間?。當(dāng)他的工作快完成時，又得悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。三范.梅格倫〔VanMeegren〕

偽造名畫案西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------24整理ppt為了審理這一案件，法庭組織了一個由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國際專門小組，采用了當(dāng)時最先進的科學(xué)方法，動用了X-光線透視等，對顏料成份進行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因為，Vanmeegren在獄中作的畫實在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使疑心者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------25整理ppt原理著名物理學(xué)家盧瑟夫〔Rutherford〕指出：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè)時刻的原子數(shù)為，那么有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------26整理ppt半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測出或算出，只要知道就可算出這正是問題的難處，下面是間接確定的方法。斷代。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------27整理ppt油畫中的放射性物質(zhì)白鉛〔鉛的氧化物〕是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補足的為止。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------28整理ppt鈾238鐳226鉛210釙210鉛206〔放射性〕〔無放射性〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------29整理ppt假設(shè)〔1〕鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀(jì)的油畫感興趣，時經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示?！?〕釙的半衰期為138天容易測定，鉛210的半衰期為22年，對要鑒別的300多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變數(shù)與鉛210的衰變數(shù)可視為相等。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------30整理ppt建模設(shè)時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為，為制造時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量。為鉛210的衰變常數(shù)。那么油畫中鉛210含量西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------31整理ppt求解均可測出?？伤愠霭足U中鉛的衰變率，再于當(dāng)時的礦物比較，以鑒別真?zhèn)?。礦石中鈾的最大含量可能2~3%，假設(shè)白鉛中鉛210每分鐘衰變超過3萬個原子，那么礦石中含鈾量超過4%。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------32整理ppt測定結(jié)果與分析畫名釙210衰變原子數(shù)鐳226衰變原子數(shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------33整理ppt假設(shè)第一幅畫是真品，鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品。34整理ppt同理可檢驗第2，3，4幅畫亦為贗品，而后兩幅畫為真品。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------35整理ppt一截面積為常數(shù)A，高為H的水池內(nèi)盛滿了水，由池底一橫截面積為B的小孔放水。設(shè)水從小孔流出的速度為，求在任一時刻的水面高度和將水放空所需的時間。通過解決此問題想到什么？四流入--流出問題36整理pptBA第一步列方程等量關(guān)系：水面1水面2設(shè)時刻的水面高度為時的水面高度為時間由水面1降到水面2所失去的水量等于從小孔流出的水量。是水在時間內(nèi)從小孔流出保持水平前進時所經(jīng)過的距離37整理ppt初始條件可別離變量的方程。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------38整理ppt第二步解方程39整理ppt水面高度與時間的函數(shù)關(guān)系水流空所需時間為〔令h=0〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------40整理ppt某大樓人員的平安疏散問題1大樓所容納的人數(shù)全部走出所用的時間？2兩大因素：人走出的速度？出口的設(shè)置？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------41整理ppt思考1一截面積為常數(shù)A，高為H的水池，其池底有一橫截面積為B的小孔，水池頂部有進水孔，單位時間進水量為V，從小孔流出的水速為，求在任一時刻的水面高度〔設(shè)開始時水池水的高度為〕。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------42整理ppt等量關(guān)系：水池的積水量=進水量-出水量。時間的初始條件可別離變量方程西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------43整理ppt平衡高度西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------44整理ppt45整理ppt當(dāng)其中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------46整理ppt當(dāng)其中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------47整理ppt當(dāng)水池水面高度保持平衡高度，即此時流入池中水量等于流出的水量。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------48整理ppt單位人員管理問題合理安排進人速度和出人速度，使得單位人員的利用率到達最高。單位資金管理問題當(dāng)收入資金速率一定時，合理安排支出，使得在某段時間內(nèi)資金積累到達所需要求。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------49整理ppt森林管理問題主要協(xié)調(diào)植樹和用材的關(guān)系，使得森林發(fā)揮其應(yīng)有的作用。漁業(yè)管理問題每年捕撈的速率控制在多少時，既能保持持續(xù)開展，還能有較大的收獲量。交通管理問題等西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------50整理ppt思考2屋檐的水槽問題房屋管理部門想在房頂?shù)倪呴馨惭b一個檐槽，其目的是為了雨天出入方便。從屋脊到屋檐的房頂可看成是一個12米長，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度一般在ba西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------51整理ppt房管部門猶豫，考慮公司的承諾能否實現(xiàn)。請你建立數(shù)學(xué)模型，論證這個方案的可行性?，F(xiàn)有一公司想承接這項業(yè)務(wù)，允諾：提供一種新型的檐槽，包括一個橫截面為半圓形〔半徑為7.5cm〕的水槽和一個豎直的排水管〔直徑為10cm〕，不管天氣情況如何，這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁?。ba西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------52整理ppt1問題的簡化水槽的容量能否足以排出雨水的問題，簡化為水箱的流入流出問題。從房頂上流下的雨水量是流入量；順垂直于房頂?shù)呐潘芘懦龅氖橇鞒隽?。水槽能否在沒有溢出的情況下將全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度與時間的函數(shù)關(guān)系。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------53整理ppt2假設(shè)〔1〕雨水垂直下落并且直接落在房頂上；〔2〕落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中；〔3〕直接落入水槽中的雨水可忽略不計；〔4〕落在房頂上的雨沒有濺到外面去；〔5〕在排水系統(tǒng)中不存在一些預(yù)料不到的障礙，象落在房頂上的雜物、樹葉等。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------54整理ppt3符號說明有關(guān)因素因素類型符號單位降水速度輸入變量rms-1時間變量ts房頂?shù)膬A斜角輸入?yún)?shù)弧度房頂?shù)拈L度輸入?yún)?shù)dm房頂?shù)膶挾容斎雲(yún)?shù)bm水槽的半徑輸入?yún)?shù)am水槽中水的高度輸出變量hm水槽中水的容量變量Vm3流入水槽的流速變量Q1m3s-1流出水槽的流速變量Q0m3s-1排水管的橫截面積參數(shù)Am255整理ppt4模型的建立根據(jù)速度平衡原理，對于房頂排水系統(tǒng)水槽中水的容量的變化率=雨水的流入速度-排水管流出的速度分別是單位時間流入水槽和從水槽流出的雨水量的體積。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------56整理ppt表示單位時間里落在水平面上雨水的深度，雨水流b房頂?shù)拿娣e實際受雨的水平面積房頂上雨水的流速流入水槽的速度應(yīng)是在鉛垂方向的分量西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------57整理ppt排水管的流出速度應(yīng)與水槽中水的深度有關(guān)根據(jù)能量守恒原理西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------58整理ppt水槽中水的體積為h西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------59整理ppt西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------60整理ppt5模型的求解與分析西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------61整理ppt思考3街道下水道的布局問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------62整理ppt降雨時期，街道積水到達一定程度，不但給過往行人、車輛帶來不便，而且容易引發(fā)交通事故。通常，在降雨強度不大的情況下，街道下水口能發(fā)揮很好的作用，然而在暴雨天氣，有些街道就會積水成河，造成交通阻塞等危害。合理的下水口布局應(yīng)當(dāng)是在強降雨情況下，也能保證街道上積水適量，不至于影響正常的行人及車輛通行?？梢韵胂?，街道上的下水口愈多，單位時間排走的雨水也就愈多，但同時，安裝下水口及與之相應(yīng)的鋪設(shè)下水管道的費用也就愈多。因此，合理布局街道〔特別是一些路況復(fù)雜的街道〕下水口是城市道路建設(shè)中的重要問題。63整理ppt試解決以下兩個問題：1．在費用盡可能少的情況下，如何合理布局街道下水口，才能在強降雨時期防止水災(zāi)；2．現(xiàn)在測量得到西安市的四條含交叉路口〔小寨十字路口〕的街道下水口布局情況，請研究其布局是否合理，假設(shè)不合理，請給城市道路管理部門提出合理化建議〔小寨南路南端比十字路口高1米，小寨北路北端比十字路口高0.8米，小寨東路東端比十字路口高0.5米，小寨西路西端比十字路口高0.4米〕。64整理ppt65整理ppt66整理ppt討論課1平板車裝箱問題2揪出泄密三人幫討論課67整理ppt有7種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度〔t，以厘米計〕及重量〔w，以kg計〕是不同的。下表給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。每輛平板車有10.2m長的地方可用來裝包裝箱〔像面包片那樣〕，載重為40T。由于當(dāng)?shù)刎涍\的限制，對C5，C6，C7類的包裝箱的總數(shù)由一個特別的限制：這類箱子所占的空間〔厚度〕不能超過302.7cm。1平板車裝箱問題68整理pptC1C2C3C4C5C6C7t,cm48.752.061.372.048.752.064.0w,(kg)200030001000500400020001000件數(shù)879664869整理ppt美國紐約大學(xué)庫蘭特研究院的計算機科學(xué)系某教授，主要從事謎題的設(shè)計及破解。最近他出版了一本?艾科博士的網(wǎng)絡(luò)謎題：給駭客與數(shù)學(xué)偵探的36道謎題?(w.w.Norton,2002)。2揪出泄密三人幫70整理ppt某政府首長的九位參謀有三個泄密者，為了找到泄密三人幫，這位首長決定：每天透露一份消息給四位參謀，如果消息走漏了，他再針對這可疑的四位參謀，一次透露消息給其中三人知道。他有兩個目標(biāo)：第一，最多只能走漏兩次消息，一次在四人組合，另一次頂多是在三人組合時；第二，他希望能找出一系列恰當(dāng)?shù)乃娜私M合，既保證他能找到想要的四人組合，因此找到其中泄密的三人幫，而且他還希望提供消息的次數(shù)不超過25次。71整理ppt我緝私艦雷達發(fā)現(xiàn)距ckm處有一艘走私船正以勻速a沿直線行駛。緝私艦立即以最大的速度b追趕，假設(shè)用雷達進行跟蹤，保持艦的瞬時速度方向始終指向走私船，試求緝私艦追逐路線和追上的時間。

五追線問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------72整理ppt1.模型假設(shè)：緝私艦、走私船的大小相對其運動范圍小得多，可視為兩個質(zhì)點。2.模型建立：選取走私船逃跑的方向為軸方向，緝私艦在位置發(fā)現(xiàn)走私船在處。設(shè)在緝私艦發(fā)現(xiàn)走私船時算起的時間為，走私船到達點，緝私艦到因直線與路線相切，由幾何關(guān)系得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------73整理ppt或為消去，先把上式對微分，得到代入得到oxyRD西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------74整理ppt在上式中有負號是因為隨的減小而增大，結(jié)合前兩式，得到追線的微分方程其中，，上式不顯含，令及那么上式可化為兩端積分并利用初始條件：時，75整理ppt得到從而要繼續(xù)求是的怎樣一個函數(shù)，必須進一步確定。。〔1〕假設(shè)，從而，積分上式得當(dāng)時，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------76整理ppt即走私船被緝私艦捕捉前所跑過的距離為所用的時間是〔2〕假設(shè)，即，可得顯然，不能取零值，即緝私艦不可能追上走私船?！?〕假設(shè)，即，顯然，緝私艦也不可能追上走私船。當(dāng)時，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------77整理ppt確定連接兩定點A，B的曲線，使質(zhì)點在這曲線上用最短的時間由A滑至B點〔忽略摩擦力和阻力〕。

六最速降線問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------78整理ppt1.模型分析：也許有人認為速降線應(yīng)是連接A和B的直線段，其實不然。牛頓做過實驗：在鉛錘平面內(nèi)，取同樣的兩個球，其中一個沿圓弧從A滑到B，另一個沿直線從A滑到B，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿圓弧的球先到B。伽利略也研究過該問題，他認為速降線是圓弧線。AoxyB西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------79整理ppt2.模型建立：如上圖取坐標(biāo)系，并設(shè)想質(zhì)點〔象光線那樣〕能選擇它從A滑到B的路徑，使所需時間盡可能短，按照光學(xué)原理〔史奈爾折射定律〕得出〔常數(shù)〕據(jù)能量守恒原理，質(zhì)點在一高度處的速度，完全由其到達該高度處所損失的勢能確定，而與所經(jīng)路線無關(guān)，設(shè)質(zhì)點質(zhì)量為，重力加速度為，質(zhì)點從A下滑至點時速度為，那么或從這里的幾何關(guān)系得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------80整理ppt這些方程分別來自光學(xué)、力學(xué)、微積分，結(jié)合起來，得到這就是速降線的數(shù)學(xué)模型-----微分方程。3.模型求解：我們要求解上面微分方程，將上式變形為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------81整理ppt令從而，故積分后得到這曲線過原點，故由上面第一式得，時，于是，。這樣而西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------82整理ppt假設(shè)令，那么聯(lián)立上兩式得這是擺線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，這種曲線是半徑為的圓周上一點沿軸滾動產(chǎn)生的。見圖。oyx西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------83整理ppt需指出，使上圖中擺線第一拱通過B點的值只有一個，因假設(shè)讓從0增到，這一拱弧就逐漸膨大，掃過整個第一象限，因而假設(shè)適中選取，就能使它通過B。5.模型評價：這是伯努利對速降線問題的解法，非常奇妙，表現(xiàn)出驚人的想象能力。速降線問題除內(nèi)在的價值外，還有巨大的意義。它是變分法的歷史根源，變分法是近代分析的極有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里隱藏的簡單性。4.結(jié)論：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------84整理ppt又由弧長微分得從而整個下降時間是的積分，故需取極小值的積分是這是泛函的極值問題，令6.模型的進一步思考：用變分法同樣可以得到速降線的數(shù)學(xué)模型。以表示曲線從A點算起到的弧長，有85整理ppt即這可化簡為這和伯努利解法的結(jié)果相同。由變分法理論知，上面極小值的積分方程的解所滿足的歐拉方程為：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------86整理ppt七人口模型

簡單模型Malthus

模型Logistic模型

西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------87整理ppt人口問題問題的提出人口、工業(yè)化的資金、糧食、不可再生資源、環(huán)境污染是人類在地球上生存所面臨的五大問題，而人口問題是這五大問題之首。人口在不斷的增長，其增長有無規(guī)律可循？目標(biāo)：預(yù)測人口開展趨勢；控制人口增長。建模準(zhǔn)備資料報告，公元前世界人口已接近3億〔粗略估計〕。近一千年人口統(tǒng)計比較精細?？匆韵聢D。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------88整理ppt180010人口〔億〕

年1930201960301974401987501999602033100我國人滿為患的情況更令人擔(dān)憂。據(jù)資料記載：17602人口〔億〕年19004195361974方案生育9.2199011.6200513聯(lián)合國從1988年起，把7月11日定為世界人口日。198911199512西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------89整理ppt三建立模型1簡單模型要預(yù)報未來假設(shè)干年的人口數(shù)，兩個重要因素：當(dāng)前的人口數(shù)，今后這些年的增長率〔出生率-死亡率〕一年后，人數(shù)增加到k年后，人口數(shù)為假設(shè)想知道任何時刻的人口數(shù)，怎么辦？對時間連續(xù)化！兩年后，90整理ppt2Malthus模型馬爾薩斯(Malthus1766--1834)是英國的人口學(xué)家。他根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于1798年提出著名的人口指數(shù)增長模型。根本假設(shè)：人口凈相對增長率為常數(shù)。凈相對增長率是單位時間內(nèi)的人口的增長量占當(dāng)時的人口總數(shù)的比例。設(shè)凈相對增長率為，時刻人口總數(shù)為。經(jīng)時間后人口總數(shù)為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------91整理pptMalthus

模型求解西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------92整理pptotNN0分析數(shù)據(jù)說明，在1700—1961年期間，世界人口吻合較好。在此期間，人口約35年增長一倍。按模型計算，取問題：利用此模型能預(yù)測未來嗎？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------93整理ppt1〕1960年世界人口總數(shù)為30億，按Malthus模型計算，到2692年人口總數(shù)將增至地外表積為平方英尺，其中只有28%的陸地說明給每人1平方英尺〔約為9.3平方分米〕的站立面積，那么，能容納總?cè)丝诒仨毎讶硕逊?層以上。2〕資源能否提供保證如此多人口的需要？以上兩點說明，Malthus模型只適用于人口相對少時的情形，當(dāng)人口增多時與實際不吻合。其原因，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境等因素對人口的繼續(xù)增長的阻滯作用愈來愈明顯。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------94整理ppt如果當(dāng)人口較少時〔相對資源而言〕人口相對增長率可以視為常數(shù)，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨人口的繼續(xù)增加而減少。為了使人口預(yù)報特別是長期預(yù)報更好地符合實際情況，必須修改Malthus模型中的人口相對增長率為常數(shù)的假設(shè)。3Logistic模型〔阻滯增長模型〕假設(shè)人口相對增長率隨人口的增加而線性減少。r表示人口的自然增長率。令Nm為人口的最大容納量，那么95整理ppt即阻滯因子Logisitic模型求解96整理pptoNtNoN0NmNm/2tm人口增長最快點97整理ppt結(jié)論：在人口總數(shù)到達極限值Nm的一半以前是加速生長期，過了這一點以后，生長率逐漸減小，并且趨于零。

---Logisitic模型調(diào)整，可使阻滯因子變大或縮小。更復(fù)雜的人口模型

Gompertz模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------98整理ppt人口模型的推廣放射性元素的衰變規(guī)律〔檢驗名畫的真?zhèn)?，考古年代的判斷〕?jīng)濟領(lǐng)域〔通貨膨脹，利率，新產(chǎn)品的銷售，廣告宣傳等〕動植物生長規(guī)律〔96年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題〕濃度的擴散〔人體內(nèi)藥物的吸收，傳染病的傳播與流行等〕Malthus模型和Logistic模型都是確定性模型，只考慮人口總數(shù)的連續(xù)時間模型。在研究過程中還開展了隨機性模型，考慮人口年齡分布的模型等。Usher模型99整理ppt

生物種群模型1簡介種群(Population)：是指在特定時間里占據(jù)一定空間的同一物種的有機體集合。種群生態(tài)學(xué)：主要研究種群的時間動態(tài)及調(diào)節(jié)機理。種群分為單種群和多種群。單種群的數(shù)學(xué)模型：1)馬爾薩斯(Malthus)模型表示時刻的種群數(shù)量，稱為內(nèi)稟增長率。100整理ppt2)羅杰斯特(Logistic)模型表示該種群的最大容納量。應(yīng)用廣泛：細菌繁殖，元素的放射性，巖石的剝蝕與沉積，高山的隆升，新產(chǎn)品的推銷，流行病的傳播，謠言的傳播等問題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------101整理ppt2兩種群的一般模型兩種群生活在同一自然環(huán)境下，存在下面三種情形，相互競爭、相互依存、弱肉強食。設(shè)甲、乙兩種群在時刻的數(shù)量為，那么線性化，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------102整理ppt表示甲〔乙〕種群的自然生長率；表示甲〔乙〕種群為非密度制約，表示甲〔乙〕種群為密度制約；表示甲、乙種群相互競爭；4)表示甲、乙種群相互依存；5)表示甲、乙種群為弱肉強食〔捕食與被捕食〕。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------103整理ppt3三種群的一般模型三種群相互之間的作用要比兩種群更復(fù)雜，但建立模型的思想和方法是相同的。在三種群中每兩個種群之間的關(guān)系仍可歸結(jié)為：相互競爭、相互依存、弱肉強食。三種群兩兩關(guān)系不同的組合就得到種類繁多的數(shù)學(xué)模型。這些模型用方程組表示，或用圖形表示。104整理ppt記三個種群分別為123并約定1〕種群供食于種群表示為12122〕種群為密度制約可表示為113〕種群不主要靠吃本系統(tǒng)〔1，2，3個種群組成的系統(tǒng)〕為生，114〕種群與種群相互競爭：12125〕種群與種群互惠共存：1212〕105整理ppt如，設(shè)A，B，C三種群為捕食與被捕食關(guān)系，那么三者關(guān)系有三種：兩個食餌種群，一個捕食者種群。一個食餌種群，兩個捕食者種群。捕食鏈。CBACBACBA西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------106整理ppt下面對于食餌種群增長是線性密度制約，兩種群間的影響都是線性的，建立其相互作用的數(shù)學(xué)模型〔Volterra模型〕〔1〕兩個食餌種群A，B，一個捕食者種群C。設(shè)A，B，Ct時刻的密度分別為假設(shè)：C種群主要以A，B種群為食餌，A，B不存在時，C要逐漸絕滅，C不是密度制約的；A，B種群不靠本系統(tǒng)為生，它們?yōu)槊芏戎萍s且相互競爭。圖示如下：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------107整理pptCBA〔〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------108整理ppt〔2〕一個食餌種群A，兩個捕食者種群B，C。ACB〔〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------109整理pptACB〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------110整理pptACB〕〕〕〔2〕捕食鏈：A是B的食餌，B是C的食餌。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------111整理pptACB〕〕〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------112整理pptACB〕〕〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------113整理pptACB〕〕〕西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------114整理ppt3競爭系統(tǒng)問題：甲、乙兩種群，生活在同一自然環(huán)境下，爭奪有限的同一種食物。試建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測演變的最后結(jié)局。假設(shè)甲、乙兩種群服從Logistic規(guī)律，那么其模型為分別表示甲、乙兩種群的最大容納量，表示一個乙〔甲〕消耗的資源相當(dāng)于個甲〔乙〕所消耗的資源。令，假設(shè)說明競爭非常劇烈。115整理ppt4分析討論〔用定性理論方法〕1)易求得奇點為2)考察對應(yīng)的線性系統(tǒng)116整理ppt的特征值為均大于零，是不穩(wěn)定的結(jié)點；的特征值為，所以，當(dāng)即，為穩(wěn)定的結(jié)點；當(dāng)，為鞍點；的特征值為，所以，當(dāng)為穩(wěn)定的結(jié)點，，為鞍點。117整理ppto鞍點穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定結(jié)點奇點的性態(tài)和軌線走向118整理ppt奇點的性態(tài)和軌線走向o不穩(wěn)定結(jié)點鞍點穩(wěn)定結(jié)點119整理ppt綜合考慮，當(dāng)時，當(dāng)時，3)考慮原競爭系統(tǒng)(1)由一次近似理論的定理，系統(tǒng)(1)與其線性系統(tǒng)在奇點的性態(tài)相同。結(jié)論：當(dāng)兩種生物在同一生存環(huán)境中相互競爭時，且其結(jié)果必是一種生物滅絕，而另一種趨于環(huán)境容許的最大數(shù)量，具體結(jié)果那么取決于的大小，條件說明：在一個乙的存在對資源的消耗相當(dāng)于個甲的條件下，資源所能供養(yǎng)的甲的最大數(shù)量大于能供養(yǎng)乙的最大數(shù)量的倍，即甲對資源的競爭能力超過乙時，甲占優(yōu)勢，最終獲勝。120整理ppt

思考題1對于競爭系統(tǒng)討論的情形。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------121整理ppt天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物鏈，且對人類生存起著重要作用。長期以來，人為破壞〔如過度放牧、獵殺動物及采挖草藥等〕使草原生態(tài)每況愈下，日漸衰竭。據(jù)2000年8月6日?北京晚報?載：“……受利益驅(qū)使，有些人不顧國家法律和當(dāng)?shù)卣睿诤魝愗悹柌菰笏敛赏谥胁菟?，致使草原嚴重受損。據(jù)此，有關(guān)專家推斷，10年之內(nèi)，該草原將變成荒漠。〞2

草原命運122整理ppt為了天然草原的生息繁衍和可持續(xù)開展，完成以下工作：〔1〕建立草原自然生長規(guī)律模型，描述人為破壞對草原生長的影響過程;〔2〕論證或駁斥報載消息中專家的推斷，如果立即停止對草原的一切破壞，10年后的情形如何？〔3〕尋找導(dǎo)致草原消失的臨界條件，給出草原生長的挽救方案，并對挽救效果進行預(yù)測。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系---------------123整理ppt一問題的提出第一次世界大戰(zhàn)期間，戰(zhàn)爭給人們帶來了許多災(zāi)難。一場戰(zhàn)爭的結(jié)局怎樣，是人們關(guān)心的問題，同樣也引起了數(shù)學(xué)家們的注意，能用數(shù)量關(guān)系來預(yù)測戰(zhàn)爭的勝負嗎？F.W.Lanchester首先提出了一些預(yù)測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，后來人們對這些模型作了改進和進一步的解釋，用以分析歷史上一些著名的戰(zhàn)爭，如二次世界大戰(zhàn)中的美日硫黃島之戰(zhàn)和1975年結(jié)束的越南戰(zhàn)爭。