2016年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二真題及答案

2016年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目的要求．1、設(shè)當(dāng)x→0+時(shí)，以下三個(gè)無(wú)窮小量按從低階到高階的排序是______

A．a(chǎn)1，a2，a3

B．a(chǎn)2，a3，a1

C．a(chǎn)2，a1，a3

D．a(chǎn)3，a2，a1

2、已知函數(shù)則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是______

A．

B．

C．

D．

3、反常積分的斂散性為_(kāi)_____

A．①收斂，②收斂

B．①收斂，②發(fā)散

C．①發(fā)散，②收斂

D．①發(fā)散，②發(fā)散

4、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則______

A．函數(shù)f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有2個(gè)拐點(diǎn)

B．函數(shù)f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有3個(gè)拐點(diǎn)

C．函數(shù)f(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有1個(gè)拐點(diǎn)

D．函數(shù)f(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有2個(gè)拐點(diǎn)

5、設(shè)函數(shù)fi(x)(i=1，2)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f"i(x0)＜0(i=1，2)，若兩條曲線y=fi(x)(i=1，2)在點(diǎn)(x0，y0)處具有公切線y=g(x)，且在該點(diǎn)處曲線y=f1(x)的曲率大于曲線y=f2(x)的曲率，則在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有______

A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)

B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)

C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)

D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)

6、已知函數(shù)則______

A．f'x-f'y=0

B．f'x+f'y=0

C．f'x-f'y=f

D．f'x+f'y=f

7、設(shè)A，M是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是______

A．AT與BT相似

B．A-1與B-1相似

C．A+AT與B+BT相似

D．A+A-1與B+B-1相似

8、設(shè)二次型的正負(fù)慣性指數(shù)分別為1，2，則______

A．a(chǎn)＞1

B．a(chǎn)＜-2

C．-2＜a＜1

D．a(chǎn)=1或a=-2

二、填空題9、曲線的斜漸近線方程為_(kāi)_____．

10、極限

11、以y=x2-ex和y=x2為特解的一階非齊次線性微分方程為_(kāi)_____．

12、已知函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，則當(dāng)n≥2時(shí)，f(n)(0)=______．

13、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線y=x3上運(yùn)動(dòng)，記坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)P間的距離為l．若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)時(shí)間的變化率為常數(shù)v0，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，1)時(shí)，l對(duì)時(shí)間的變化率是______．

14、設(shè)矩陣等價(jià)，則a______．

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15、求極限

16、設(shè)函數(shù)求f'(x)并求f(x)的最小值．

17、已知函數(shù)z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0確定，求z=z(x，y)的極值．

18、設(shè)D是由直線y=1，y=x，y=-x圍成的有界區(qū)域，計(jì)算二重積分

19、已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二階微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y'+2y=0的兩個(gè)解．若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)并寫出微分方程的通解．

20、設(shè)D是由曲線圍成的平面區(qū)域，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．

已知函數(shù)f(x)在上連續(xù)，在內(nèi)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，且f21=0．21、求f(x)在區(qū)間上的平均值；22、證明f(x)在區(qū)間在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)．設(shè)矩陣且方程組Ax=β無(wú)解．23、求a的值；24、求方程組ATAx=ATβ的通解．已知矩陣25、求A99；26、設(shè)3階矩陣B=(α1，α2，α3)滿足B2=BA．記B100=(β1，β2，β3)，將β1，β2，β3分別表示為α1，α2，α3的線性組合．

答案:

一、選擇題

1、B[考點(diǎn)]

洛必達(dá)法則[解析]

等價(jià)無(wú)窮小

當(dāng)x→0+時(shí)，

所以這三個(gè)無(wú)窮小量按照從低階到高階的排序是a2，a3，a1．故選B．2、D[考點(diǎn)]

分段函數(shù)原函數(shù)[解析]

由定理可知，原函數(shù)可導(dǎo)，由此原函數(shù)必然連續(xù)，所以原函數(shù)在x=1處連續(xù)，A和C被排除．

在B選項(xiàng)中，可以驗(yàn)證F'+(1)=2，根據(jù)題意又可知，原函數(shù)滿足F'(1)=f(1)=0．

故B不符合，因此選D．3、B[考點(diǎn)]

廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e[解析]

由題意可知：式①為

則式①收斂．

式②為

則式②發(fā)散．

故選B．4、B[考點(diǎn)]

函數(shù)極值點(diǎn)和拐點(diǎn)[解析]

由極值的充分條件可知，某一點(diǎn)左右導(dǎo)函數(shù)符號(hào)發(fā)生改變，則該點(diǎn)即為極值點(diǎn)，因此由圖易知函數(shù)f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)．

由拐點(diǎn)的充分條件可知，曲線在某一點(diǎn)左右導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性發(fā)生改變，則該點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，因此曲線y=f(x)有3個(gè)拐點(diǎn)．故選B．5、A[考點(diǎn)]

函數(shù)連續(xù)及極限的保號(hào)性[解析]

由題意可知，f"i(x)連續(xù)且f"i(x)(x0)＜0，又依據(jù)連續(xù)的定義和極限的保號(hào)性，在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有f"i(x)＜0，故fi(x)在U(x0)內(nèi)是凸的．

又由于在x=x0處具有公切線y=g(x)，因此曲線與切線的位置關(guān)系為fi(x)≤g(x)．

又由于在x0處y=f1(x)的曲率大于y=f2(x)的曲率，所以f"1(x0)＜f"2(x0)＜0．

令F(x)=f1(x)-f2(x)，因?yàn)樵趚=x0處具有公切線y=g(x)，所以F(x0)=0，F(xiàn)'(x0)=0．

再由F"(x0)＜0，得F(x0)=0為F(x)的極大值，因在x0的某鄰域U1(x0)內(nèi)F(x)≤0，所以f1(x)≤f2(x)．

故f1(x)≤f2(x)≤g(x)，選A．6、D[考點(diǎn)]

多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)[解析]

由已知條件

得故選D．7、C[考點(diǎn)]

矩陣相似[解析]

由相似定義可知，A與B相似，存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，則

BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTAT(PT)-1=[(PT)-1]-1AT(PT)-1，故A正確．

B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P，

故B正確．

B+B-1=P-1AP+P-1A-1P=P-1(A+A-1)P，

故D正確．

所以不正確的為C，故選C．8、C[考點(diǎn)]

二次型正慣性指數(shù)[解析]

由題意已知，二次型f(x1，x2，x3)對(duì)應(yīng)的矩陣為由

可得A的特征值為λ1=a+2，λ2=λ3=a-1．

又因?yàn)閒(x1，x2，x3)的正負(fù)慣性指數(shù)為1，2，且正負(fù)慣性指數(shù)恰好等于特征值中正、負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)，所以a+2＞0且a-1＜0，即-2＜a＜1．故選C．二、填空題

9、[考點(diǎn)]

漸近線[解析]

由漸近線公式易得

由此可知，斜漸近線為10、sin1-cos1[考點(diǎn)]

定積分定義[解析]

由題意可知，

又由定積分定義得

11、y'-y=2x-x2[考點(diǎn)]

一階非齊次線性微分方程[解析]

設(shè)一階非齊次線性微分方程為y'+p(x)y=q(x)．

根據(jù)線性微分方程解的關(guān)系可知，x2-(x2-ex)=ex為y'+p(x)y=0的解，所以p(x)=-1．

又因?yàn)閥=x2為y'+p(x)y=g(x)的解，所以q(x)=2x-x2．

由此可得一階非齊次線性微分方程為y'-y=2x-x2．12、[考點(diǎn)]

高階導(dǎo)數(shù)[解析]

由題意，當(dāng)x=0時(shí)f(0)=1．

將兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f'(x)=2(x+1)+2f(x)，其中f'(0)=4；

將f'(x)=2(x+1)+2f(x)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f"(x)=2+2f'(x)，其中f"(0)=10；

將f"(x)=2+2f'(x)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

由此歸納可得f(n)(x)=2n-2f"(x)．所以

13、[考點(diǎn)]

導(dǎo)數(shù)[解析]

由距離定義并結(jié)合題意易得

兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)得

又因?yàn)閤=1，所以

14、[考點(diǎn)]

矩陣等價(jià)[解析]

設(shè)對(duì)B進(jìn)行初等行變換，得

得r(B)=2．

因?yàn)锳與B等價(jià)，所以r(A)=r(B)=2，于是行列式

即a=2或a=-1．

又因?yàn)楫?dāng)a=-1時(shí)，行列式

此時(shí)r(A)=1，不符合題意，故刪去．由此可得a=2．三、解答題

15、[考點(diǎn)]

求極限16、由題意可知，

所以f'(x)=4x2-2x=2x(2x-1)．

令f'(x)=0，得(x＞0)，且

根據(jù)極小值定義可知，f(x)在處取極小值，且為最小值[考點(diǎn)]

最小值17、根據(jù)題意，將方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0兩邊分別同時(shí)對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)得

令

解得

又對(duì)式①關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)式①關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)式②關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù)，將式③、式④代入得

解得

又因?yàn)锳C-B2＞0，A＜0，故z=z(x，y)在(-1，-1)處取得極大值，極大值z(mì)(-1，-1)=1．[考點(diǎn)]

偏導(dǎo)數(shù)18、由題意可得積分區(qū)域所以

[考點(diǎn)]

二重積分19、根據(jù)題意，將y2=u(x)ex代入原方程可得

(2x-1)ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]-(2x+1)ex[u'(x)+u(x)]+2u(x)ex=0，整理得(2x-1)u"(x)+(2x-3)u'(x)=0．

變量分離得

對(duì)兩邊進(jìn)行積分，得

即

所以u(píng)'(x)=C1(2x-1)e-x．

對(duì)兩邊再次積分，得

u(x)=∫u'(x)dx=C1∫(2x-1)e-xdx

=C1[-(2x-1)-2]e-x+C2

=C1(-2x-1)e-x+C2．

將已知條件代入，即

u(-1)=C1e+C2=e，u(0)=-C1+C2=-1，

解得C1=1，C2=0，所以

u(x)=-(2x+1)e-x．

根據(jù)二階齊次線性方程解得原方程的通解為

y(x)=D1y1+D2y2=D1ex-D2(2x+1)

(D1，D2為任意常數(shù))．[考點(diǎn)]

二階微分方程20、根據(jù)題意，將化成直角坐標(biāo)系下的方程，可得

從而

所以體積為

表面積為

[考點(diǎn)]

定積分的應(yīng)用21、由題意可知且f(0)=0，則

所以f(x)在上的平均值為

22、根據(jù)題意，令f'(x)=0，解得在上的唯一駐點(diǎn)為

又當(dāng)時(shí)，f'(x)＜0；當(dāng)時(shí)，f'(x)＞0．則為f(x)在內(nèi)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．所以

根據(jù)單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；函數(shù)f(x)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．

綜上所述f(x)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．[考點(diǎn)]

定積分的應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)23、將增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，得

當(dāng)a=0時(shí)，r(a)=2，r(A┊β)=3，Ax=β無(wú)解．24、當(dāng)a=0時(shí)，

ATA=0的基礎(chǔ)解系為ξ=(0，-1，1)T，ATA=β的特解為η=(1，-2，0)T，所以ATA=β的通解為x=kξ+η，k為任意常數(shù)．[考點(diǎn)]

線性方程組解法25、根據(jù)題意并結(jié)合特征值的定義，有

所以A的特征值為λ1=-1，λ2=-2，λ3=0．

當(dāng)λ1=-1時(shí)，解(-E-A)x=0，由于

所以A對(duì)應(yīng)于λ1=-1的線性無(wú)關(guān)的特征向量

當(dāng)λ2=-2時(shí)，解(-2E-A)x=0，由于

所以A對(duì)應(yīng)于λ2=-2的線性無(wú)關(guān)的特征向量

當(dāng)λ3=0時(shí)，解(0E-A)x=0，即Ax=0，由于

所以A對(duì)