量子計(jì)算與量子計(jì)算機(jī)

量子計(jì)算機(jī)及其原理畢業(yè)論文學(xué)生姓名:謝華學(xué)號(hào).100703413學(xué)院:理學(xué)院專業(yè):物理學(xué)指導(dǎo)教師:田瑞生2014年5月摘要21世紀(jì)是信息化的世紀(jì)，傳統(tǒng)電子信息化的發(fā)展已經(jīng)見證了這個(gè)社會(huì)的發(fā)展。以半導(dǎo)體晶體管為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)，給了人們處理信息的極快速度使人類的生產(chǎn)能力越來越強(qiáng)。計(jì)算機(jī)的發(fā)展一直按照摩爾定律向前發(fā)展，但是現(xiàn)在人們已慢慢發(fā)現(xiàn)了這種發(fā)展的極限。世界上越來越多的科學(xué)家開始尋找新的方法來試圖解決計(jì)算機(jī)發(fā)展的瓶頸。新興起來的包括生物計(jì)算機(jī)和量子計(jì)算機(jī)等。量子信息學(xué)是建立在量子力學(xué)和信息科學(xué)基礎(chǔ)上，研究新型信息處理方法的一門學(xué)科，包括量子通信、量子計(jì)算和量子密碼等幾個(gè)方面。量子計(jì)算機(jī)作為量子信息學(xué)的一個(gè)主要研究分支，是一類基于量子力學(xué)原理，可進(jìn)行高速并行數(shù)學(xué)和邏輯運(yùn)算，因此在許多復(fù)雜計(jì)算問題上能超越基于經(jīng)典物理原理的經(jīng)典計(jì)算機(jī)，并且能夠存儲(chǔ)及處理量子信息的新型計(jì)算機(jī)。而量子計(jì)算正是研究如何建造這樣一種新型的量子計(jì)算機(jī)。理論上，量子計(jì)算機(jī)在很多方面優(yōu)于經(jīng)典計(jì)算機(jī):一方面，經(jīng)典計(jì)算機(jī)芯片存在著進(jìn)一步集成的技術(shù)困難，尤其是散熱等突出的問題，限制了其計(jì)算速度，而這些問題都不存在于量子計(jì)算機(jī);另一方面，量子計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)一些經(jīng)典計(jì)算機(jī)不能解決的問題，比如大數(shù)分解等。因此，量子計(jì)算機(jī)為計(jì)算機(jī)的發(fā)展開辟了一個(gè)新的天地。然而，量子計(jì)算的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，首先需要對(duì)量子體系進(jìn)行初始化，再對(duì)其進(jìn)行相干控制和操作，最終對(duì)存儲(chǔ)在量子體系中的信息進(jìn)行讀取。迄今為止，可用于量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)的物理體系主要有核自旋、電子自旋、光子、離子阱、超導(dǎo)Josephson結(jié)等。其中電子自旋，由于其操作時(shí)間遠(yuǎn)小于核自旋（相差三個(gè)數(shù)量級(jí)），具有很大的優(yōu)勢(shì)，并存在著可擴(kuò)展的潛在發(fā)展趨勢(shì)。目錄第一章緒論1.1引言1.2量子計(jì)算機(jī)的思想起源1.3內(nèi)容安排第二章量子計(jì)算機(jī)理論基礎(chǔ)2.1量子力學(xué)基本假設(shè)2.2量子態(tài)的特性與描述2.3量子糾纏2.4量子信息2.4.1量子比特2.4.2幺正變換2.4.3量子門第三章量子計(jì)算3.1量子計(jì)算算法3.2通用量子邏輯門3.3實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的基本條件3.4量子比特的退相干第四章量子計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)4.1量子比特的初態(tài)制備4.2量子比特的普適邏輯門操作4.3量子比特的測(cè)量第五章量子計(jì)算機(jī)的物理載體第六章量子計(jì)算機(jī)發(fā)展的最新前沿總結(jié)與展望參考文獻(xiàn)致謝第一章緒論1.1引言我們的時(shí)代是信息時(shí)代，信息科學(xué)與技術(shù)已經(jīng)深入到社會(huì)的各個(gè)方面。信息科學(xué)的飛速發(fā)展，使經(jīng)典信息系統(tǒng)受到巨大的挑戰(zhàn)，從而誕生了由量子力學(xué)和信息科學(xué)形成的一門新興交叉學(xué)科一一量子信息學(xué)。量子信息基于量子特性而具有獨(dú)特的信息功能，在提高運(yùn)算速度、確保信息安全、增大信息容量和提高檢測(cè)精度等方面，具有突破現(xiàn)有經(jīng)典信息系統(tǒng)極限的能力。由于量子信息學(xué)潛在的巨大應(yīng)用價(jià)值及重大的科學(xué)意義，不僅引起各國(guó)政府和科技界的廣泛關(guān)注，而且受到信息產(chǎn)業(yè)界和軍事部門的高度重視。因而量子信息科學(xué)作為目前最有吸引力的前沿領(lǐng)域之一，已經(jīng)成為國(guó)際學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)，量子信息技術(shù)將為人類帶來難以估量的影響。量子信息學(xué)主要包括量子通信和量子計(jì)算。本文簡(jiǎn)要介紹量子計(jì)算和量子計(jì)算機(jī)的概念、類型、理論框架、發(fā)展?fàn)顩r及相關(guān)問題。在21世紀(jì)，誰在量子計(jì)算與量子通信上走在了世界前面，誰就將成為世界信息技術(shù)規(guī)則的制定者，誰才能擁有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，成為世界的領(lǐng)頭羊，這也就成為了我選擇做這方面論文的理由。1.2量子計(jì)算機(jī)的思想起源1996年，美國(guó)《科學(xué)》周刊科技新聞中報(bào)道，量子計(jì)算機(jī)引起了計(jì)算機(jī)理論領(lǐng)域的革命。同年，量子計(jì)算機(jī)的先驅(qū)之一，Bennett在英國(guó)《自然》雜志新聞與評(píng)論欄聲稱，量子計(jì)算機(jī)將進(jìn)入工程時(shí)代。目前，有關(guān)量子計(jì)算機(jī)的理論和實(shí)驗(yàn)正迅猛發(fā)展，那么，什么是量子計(jì)算機(jī)呢？理查德.P.費(fèi)曼最先在1982年指出，采用經(jīng)典計(jì)算機(jī)不可能以有效方式來模擬量子系統(tǒng)的演化。我們知道，經(jīng)典計(jì)算機(jī)與量子系統(tǒng)遵從不同的物理規(guī)律，用于描述量子態(tài)演化所需要的經(jīng)典信息量，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于用來以同樣精度描述相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)所需的經(jīng)典信息量。量子計(jì)算則可以精確而方便地實(shí)現(xiàn)這種模擬，即便是采用少數(shù)量子比特的量子計(jì)算機(jī)也可以進(jìn)行有效的量子模擬，事實(shí)上人們已采用這種方法在簡(jiǎn)單情況下預(yù)言了量子體系的行為。1985年，英國(guó)牛津大學(xué)的研究人員戴維?多伊奇深入研究了量子計(jì)算機(jī)是否比經(jīng)典計(jì)算機(jī)更有效率的問題。他首次在理論上描述出了量子計(jì)算機(jī)的簡(jiǎn)單模型一一量子圖靈機(jī)模型，研究了它的一般性質(zhì)，預(yù)言了它的潛在能力。但當(dāng)時(shí)的人們還不知道有什么具體的可求解問題，量子計(jì)算能比經(jīng)典計(jì)算更有優(yōu)越性。因此，一直到1993年為止，關(guān)于量子計(jì)算的研究，其動(dòng)力還只是小的學(xué)術(shù)圈內(nèi)對(duì)量子計(jì)算問題的好奇心。1993年之后，情況發(fā)生了改變，美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室的數(shù)學(xué)家Peter.W.Shor從原理上值出，量子計(jì)算機(jī)可以用比經(jīng)典計(jì)算機(jī)優(yōu)越得多的速度來求解大數(shù)的質(zhì)因子分解問題。由于大數(shù)質(zhì)因子分解問題是現(xiàn)代通信與信息安全的基石，Shor的開創(chuàng)性工作引起了巨大的關(guān)注，其可期待的輝煌應(yīng)用潛力有力地刺激了量子計(jì)算機(jī)和量子密碼術(shù)領(lǐng)域的研究發(fā)展，成為量子信息科學(xué)發(fā)展的重要里程碑之一。1996年Grover發(fā)現(xiàn)了另一種很有用的量子算法，即所謂的量子尋算法，它適用于解決如下問題:從N個(gè)未分類的客體中尋找出某個(gè)特定的客體。經(jīng)典算法只能是一個(gè)接一個(gè)地搜尋，直到找到所要的客體為止，這種算法平均地講要尋找N/2次，成功幾率為1/2,而采用Grover的量子算法則只需要寸次。由于這些具體算法上量子計(jì)算機(jī)表現(xiàn)出來的巨大現(xiàn)實(shí)用途，從這以后在這個(gè)領(lǐng)域的更大的研究熱情被激發(fā)出來。1.4內(nèi)容安排在這篇論文中，為了讓大家更加明確的了解量子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的背景，量子計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)及優(yōu)勢(shì)，量子計(jì)算機(jī)的發(fā)展現(xiàn)狀及前景。我對(duì)論文的結(jié)構(gòu)安排如下。首先介紹什么是量子計(jì)算機(jī)和量子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的背景，然后介紹量子計(jì)算機(jī)的基本原理，即量子力學(xué)中相關(guān)的量子力學(xué)原理，重點(diǎn)是量子糾纏，態(tài)疊加原理。其次介紹量子計(jì)算算法和量子邏輯門，量子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的條件和物理載體。再介紹量子計(jì)算機(jī)發(fā)展的前沿，即量子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)過程中的各種困難和解決辦法。最后介紹量子計(jì)算機(jī)在世界各國(guó)的發(fā)展?fàn)顩r和對(duì)量子計(jì)算機(jī)的一些展望。第二章量子計(jì)算機(jī)理論基礎(chǔ)2.1量子力學(xué)的基本概念假設(shè)1. （Hilbert空間）任意一個(gè)孤立系統(tǒng)都有一個(gè)定義了復(fù)內(nèi)積的向量空間（即Hilbert空間）與之相聯(lián)系，系統(tǒng)的狀態(tài)由狀態(tài)空間的態(tài)矢量完全描述。對(duì)于二維系統(tǒng)，也就是后面將會(huì)提到的量子比特，假設(shè)系統(tǒng)有兩種正交的狀態(tài)，分別表示為10〉必和|1〉，則在態(tài)空間的任一態(tài)矢量可以表示為IW〉=a|0〉+B|1〉其中a和P為復(fù)數(shù)，且滿足歸一化關(guān)系a2+|p|2=1假設(shè)2.（演化）一個(gè)封閉量子系統(tǒng)的演化由一個(gè)酉變換來決定，即系統(tǒng)在t和t時(shí)刻的狀態(tài)|w（t）〉和|w〉可以用一個(gè)酉變換U（t,t）聯(lián)系起來|W(t)〉=U(t,t0)|W0〉那么，u（t,t0）由什么來決定呢，一般是由體系的哈密頓量決定的，哈密頓量（Hamiltonian）H是一個(gè)厄米算子，以下的假設(shè)更常用到：假設(shè)2'：封閉量子系統(tǒng)的演化由薛定諤方程描述:i方5=H|w〉力dt'甲〉如果知道了系統(tǒng)的哈密頓量，那么原則上就可以完全預(yù)測(cè)系統(tǒng)的演化，但實(shí)際上，準(zhǔn)確地找出描述特定物理系統(tǒng)（特別是復(fù)雜系統(tǒng)）的哈密頓量是一個(gè)很難的問題。假設(shè)3.（測(cè)量）以用一組完備的算符集量子測(cè)量是一系列作用在態(tài)空間上的操作，在形式上可來表示：ZM；M“=I。其中下標(biāo)m表示測(cè)量結(jié)果，如果系m統(tǒng)初始狀態(tài)為Iw〉，經(jīng)過測(cè)量后結(jié)果m發(fā)生的概率為p(m)=W|M+M|w)測(cè)量后系統(tǒng)的狀態(tài)將變?yōu)榧僭O(shè)4.（復(fù)合系統(tǒng)）復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)空間是子系統(tǒng)狀態(tài)空間的張量積，表示復(fù)合系統(tǒng)態(tài)空間的這種假設(shè)在某種程度?上可以從量子疊加原理的角度來理解。假設(shè)|0）和|1）是系統(tǒng)的兩個(gè)可能的狀態(tài)，那么它們的任一疊加態(tài)|w）=a|0）+P|1）也應(yīng)該是系統(tǒng)的一個(gè)可能的狀態(tài);對(duì)于復(fù)合系統(tǒng)，如果|A：是系統(tǒng)A的一個(gè)狀態(tài)，而|B；是系統(tǒng)B的一個(gè)狀態(tài)，那么應(yīng)該有某個(gè)可以寫為|A；：|B；形式的狀態(tài)屬于聯(lián)合系統(tǒng)AB。以上只是一個(gè)象征性的推導(dǎo)，并不嚴(yán)格，只是說明為什么要這樣來進(jìn)行假設(shè)。2.2量子態(tài)的特性與描述2.2.1微觀粒子的波粒二象性與狀態(tài)描述對(duì)于微觀粒子，在實(shí)驗(yàn)上可以表現(xiàn)出波和粒子的兩種性質(zhì)，我們稱這為微觀粒子的波粒二重性，我們稱微觀粒子為物質(zhì)波。對(duì)于微觀粒子狀態(tài)的描述我們用波函數(shù)w來描述。對(duì)于波函數(shù)w的具體形式，由薛定諤方程進(jìn)行求解。薛定諤方程的具體形式如下當(dāng)在已知微觀粒子的哈密頓量時(shí)就可以求出微觀粒子波函數(shù)w。由w2表示微觀粒子在空間某一點(diǎn)處出現(xiàn)的概率，我們又稱W為微觀粒子的概率幅。2.2.2量子相干疊加性由于微觀粒子不像經(jīng)典粒子一樣有確定的軌跡，而是以波函數(shù)w以一定的概率出現(xiàn)在空間各個(gè)地方，我們把微觀粒子在同一時(shí)刻既可以在這里也可以在那里的這種多個(gè)位置或者多個(gè)狀態(tài)同時(shí)存在的性質(zhì)說成是微觀粒子的量子相干疊加性。真是由于微觀粒子的這種性質(zhì)，使得量子計(jì)算擁有比傳統(tǒng)計(jì)算更快的運(yùn)算數(shù)度。2.2.3態(tài)疊加原理由上我們可以知道微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù)w來描述。而由薛定諤方程的線性性我們可以得出如下結(jié)論：假設(shè)|wj，|wj分別為粒子的兩個(gè)本征態(tài)，則|w）=C1|w}+C2|w}也是薛定諤方程的解，即也是該微觀粒子可能存在的一個(gè)態(tài)。其中："+"二1即微觀粒子可能以一定的幾率|C1|2和|C2|2同時(shí)處于|wj態(tài)和|wj態(tài)。微觀粒子狀態(tài)與經(jīng)典狀態(tài)的區(qū)別：例如向上拋出一枚硬幣，落地后可能正面朝上或者反面朝上。我們以正面向上的狀態(tài)為01，反面向上的狀態(tài)為02。若一直硬幣上拋過程中的受力情況，則可以由一個(gè)函數(shù)f（0）=0,求解后得出硬幣落地后的狀態(tài)。解該方程只可能得出解01或者02。而不能像微觀粒子一樣同時(shí)處于01和02。對(duì)于態(tài)疊加原理的一個(gè)有名的假象實(shí)驗(yàn)是薛定諤貓實(shí)驗(yàn)：其將微觀世界的態(tài)疊加原理應(yīng)用到宏觀世界，使得出現(xiàn)一只處于死與活的疊加態(tài)的貓。薛定諤貓實(shí)驗(yàn)裝置將微觀物質(zhì)的量子相干疊加態(tài)傳遞給了宏觀物質(zhì)，由此出現(xiàn)了處于疊加態(tài)的貓?！把Χㄖ@貓”態(tài)實(shí)為一個(gè)宏觀與微觀的糾纏態(tài)。由退相干理論，相干疊加態(tài)只有在完全沒有外部干擾的情況下才能一直持續(xù)下去。對(duì)于宏觀物質(zhì)，其與環(huán)境的耦合作用，所形成的宏觀系統(tǒng)和環(huán)境的量子糾纏態(tài)，是導(dǎo)致其量子相干性消失而經(jīng)典性出現(xiàn)的主要原因。由此在薛定諤貓實(shí)驗(yàn)裝置中，由原子衰變的相干疊加態(tài)在與宏觀控制裝置相互作用時(shí)，已不再具備相干疊加性，所以不能出現(xiàn)宏觀世界的死活貓疊加態(tài)。有上述描述和分析我們可以看出，在量子計(jì)算中必然需要有宏觀的物理載體來承載量子計(jì)算，在此過程中必然會(huì)出現(xiàn)消相干現(xiàn)象，所以退消相干也就成為了量子計(jì)算機(jī)需要解決的一個(gè)困難。

2.3量子糾纏量子糾纏，是一種量子力學(xué)現(xiàn)象，即對(duì)復(fù)合系統(tǒng)中的某個(gè)子系統(tǒng)測(cè)量的結(jié)果決定了剩余子系統(tǒng)的狀態(tài)。糾纏態(tài)是量子世界中的重要資源，作為一種特殊的相干疊加態(tài)，它在量子密碼協(xié)議設(shè)計(jì)中扮演著極其重要的角色。我們用定理2.3.1來解釋糾纏態(tài)和分離態(tài)。假設(shè)復(fù)合系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)A和B組成并且處于量子態(tài)"），如果|W）的Schemidt分解式中入人的個(gè)數(shù)不小于2，則量子態(tài)|w）為糾纏純態(tài)。否則，量子態(tài)|W）（=|w）? ）為可分離態(tài)。簡(jiǎn)而言之，復(fù)合系統(tǒng)的純態(tài)為糾纏態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)量子態(tài)無法分解為子系統(tǒng)各之張量積。例如復(fù)合系統(tǒng)疊加態(tài)是一個(gè)可分離態(tài)。當(dāng)復(fù)合系統(tǒng)AB處于糾纏純態(tài)|w"：：■B各子系統(tǒng)（如B）處于由密度算符七=七（w） （w|）描述的混合態(tài)。定理于糾纏純態(tài)|w"：：■B各子系統(tǒng)（如B）處于由密度算符七=七（w） （w|）描述的混合態(tài)。定理2.4.1（Schmidt分解）令|w：為復(fù)合系統(tǒng)AB的一個(gè)純態(tài)，則存在系統(tǒng)A和B的標(biāo)準(zhǔn)正交基|ij和|ij，使得|w）習(xí)iirIiB/其中人為滿足Z人2=1的非負(fù)實(shí)數(shù)，稱為Schmidt系數(shù)。量子信息技術(shù)中，i經(jīng)常使用的Bell糾纏態(tài)，定義如下描述。Bell態(tài)即Bell基，也稱為EPR對(duì)，由如下四個(gè)雙量子比特糾纏純態(tài)組成，共同構(gòu)成4維Hillbert空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基?！?）=點(diǎn)^0)」"1Eb__"b)《0）仲）*IV?！梗糤+必0）w+『<2i=ji==ii=ji==i2.4量子信息2.4.1量子比特如果我們把數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)處理，就必須把數(shù)據(jù)表示成為計(jì)算機(jī)能識(shí)別的形式。在經(jīng)典計(jì)算機(jī)中，信息單元用1個(gè)二進(jìn)制位(bit)表示，它處于“0”態(tài)或“1”態(tài)。而在二進(jìn)制量子計(jì)算機(jī)中，信息單元稱為“量子位(qubit)”，它除了可以處于“0”態(tài)或“1”態(tài)外，還可處于一種疊加態(tài)(stateofsuperposition)。疊加態(tài)是“0”態(tài)和“1”態(tài)的任意線性疊加，它以一定的概率同時(shí)存在于“0”態(tài)和“1”態(tài)之間。量子疊加態(tài)通過測(cè)量或與其它物體發(fā)生相互作用而坍縮(collapse)到特定的“0”態(tài)或者“1”態(tài)。任何具有兩態(tài)的量子系統(tǒng)都可用來實(shí)現(xiàn)量子位，例如氫原子中電子的基態(tài)(groundstate)和第一激發(fā)態(tài)(thefirstexcitedstate)、質(zhì)子自旋在任意方向的+1分量和-1分量、圓偏振光的左旋和右旋等。2 2希爾伯特空間中兩維的量子體系，稱為量子比特(qubit)，兩個(gè)態(tài)一般記|。)為和11.N個(gè)量子位的有序集合稱為n位量子寄存器。它的態(tài)是n個(gè)量子位態(tài)的張量積(即直積)。2.4.2幺正變換與量子門經(jīng)典計(jì)算中用到很多基本邏輯門，包括與門、或門、非門、異或門、與非門和或非門等，這些元件組合在一起能構(gòu)成用來計(jì)算任何函數(shù)的硬件電路。量子計(jì)算機(jī)與此類似，也由一系列的量子門組合而成，以此來完成復(fù)雜計(jì)算任務(wù)。在量子力學(xué)中，封閉系統(tǒng)態(tài)矢量lw(t)〉的演化規(guī)律可以用算符U(t,t。)描述為|W(t)〉=U(t,t)|w(t) (2.1)將上式帶入薛定諤方程有

在哈密頓算符不顯含時(shí)間情況下，方程(2.1)可以重寫為Iw(t)〉二exp-iH(t—10)加GJ并且U(t,to)滿足,t0),t0)=exp-土H(t-1)=芝_1

n

n=0n人Hn滿足等式UU+=U+U=I的算符為么正算符，其對(duì)應(yīng)的變換為么正變換。不難證明，由于H為滿足H=H+的厄米(Hermitian)算法，演化算符U(t,to)符合么正算符的條件，因此封閉量子系統(tǒng)遵循么正演化的規(guī)律。換句話說，量子門對(duì)應(yīng)于么正變換。么正變換的重要特性如下描述:么正變換下態(tài)矢在Hilbert空間內(nèi)積不變;算符的本征值、線性性質(zhì)、厄米性不變;任何力學(xué)量算符的均值恒定并且么正變換存在逆變換等。根據(jù)量子門作用的量子比特?cái)?shù)不同，可以將量子門分為單量子比特門、雙量子比特門、三量子比特門等等，下面介紹幾種重要的量子門。對(duì)于單量子比特，經(jīng)常用到量子門I、X、Y、Z和H，它們分別定義如下：1.恒等門:I=|0)(0|+|1)(1|，其矩陣表示為I=(01[恒等門I的作用是保持量子比特狀態(tài)不變。其矩陣表示為2.X門(非門)：Xfx=|0)(1|+|1)(0其矩陣表示為X=X門的作用是使|0)和|1)翻轉(zhuǎn)，即|0)-|1)和|1)-|0)，若將X作用在處于態(tài)|W〉=aI0)+3I1〉的單量子比特上，則有:x|w)二01(；x|w)二01(；117\37(0)a1)+30)3.Y門：Y=qy=-iq0)-|1))，其矩陣表示為3.Y=4.Z門:Z=Qz=10)(0IT1)(11，其矩陣表示為Z二k0-01J5.H門4.Z門:Z=Qz=10)(0IT1)(11，其矩陣表示為Z二k0-01J5.H門(Hadamard門)：H=時(shí)0)+11))(0|+^0)-11))〈1I]，其矩陣表示h=H￥'k1-1J事實(shí)上，任意單量子比特門U(a,8)，可以統(tǒng)一定義為U(a，J=[cosak-ie-抑sina-iei。sinacosa)6.對(duì)于雙量子比特，受控非門(Controlled-NOT， CNOT)最重要且最常用，它的矩陣表示為〔：：CNOT=00k0000)0000)CNOT門作用在兩個(gè)量子比特上，第一個(gè)稱為控制位，第二個(gè)稱為目標(biāo)位?？梢?，當(dāng)控制位為|0時(shí)，CNOT門作用后目標(biāo)位保持不變。當(dāng)控制位為11)：時(shí)，CNOT門作用后目標(biāo)位翻轉(zhuǎn)。至于任意的多量子比特們，都可以由單量子比特門和CNOT門組合而得，這由Deutsch定理保證，下面我們簡(jiǎn)單給出結(jié)論。定理2.4.1(Deutsch定理).如果U是任意s維么正矩陣，那么U可以被分解為2s2-s個(gè)二維么正矩陣的乘積。換句話說，任何作用在多量子比特空間上的么正變換，都可以由一組單量子比特門U(a，8)和雙量子比特CNOT門依次作用實(shí)現(xiàn)。顯而易見，將經(jīng)典環(huán)境下的比特和邏輯門代替為量子比特和量子門，便得到了經(jīng)典電路的延伸一一量子電路。第三章量子計(jì)算3.1實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的基本條件量子計(jì)算機(jī)需要合適的物理載體來實(shí)現(xiàn)量子算法。那么，什么樣的物理系統(tǒng)能夠作為量子計(jì)算機(jī)的物理實(shí)現(xiàn)呢?Divincenzo以量子計(jì)算機(jī)的線路網(wǎng)絡(luò)模型為背景，總結(jié)出一個(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)作為量子計(jì)算機(jī)的候選者必須具備的條件。這就是著名的Divincenzo判據(jù)。 對(duì)于任何一種可行的量子計(jì)算實(shí)現(xiàn)技術(shù)，以下條件是必要的：可擴(kuò)展的具有良好特性的量子比特系統(tǒng).能夠制備量子比特到某個(gè)基準(zhǔn)態(tài).具有足夠長(zhǎng)的相干時(shí)間來完成量子邏輯門操作.能夠?qū)崿F(xiàn)一套通用量子邏輯門操作.能夠測(cè)量量子比特.能夠使飛行量子比特和靜止量子比特互相轉(zhuǎn)化.⑺能夠使飛行量子比特準(zhǔn)確地在不同的地方之間傳送.3.2量子計(jì)算算法3.2.1Shor大數(shù)質(zhì)因子分解算法大數(shù)質(zhì)因子分解算法是一個(gè)典型的實(shí)現(xiàn)指數(shù)加速的量子算法.根據(jù)經(jīng)典計(jì)算復(fù)雜性理論，分解大數(shù)質(zhì)因子屬于NP困難問題(即沒有多項(xiàng)式算法的問題，但不是NPC問題)，而在量子計(jì)算機(jī)上利用Shor大數(shù)質(zhì)因子分解算法，可以在多項(xiàng)式時(shí)間解決這一問題，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算的指數(shù)加速.找兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是一個(gè)很容易進(jìn)行的運(yùn)算.可是如果反過來，把一個(gè)乘積分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，則相對(duì)于前者是一個(gè)麻煩得多的問題一般情況下，一個(gè)大數(shù)N，我們要將其分解，約需要計(jì)算、'金2：logN步.計(jì)算的步數(shù)與大數(shù)的位數(shù)成指數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系一個(gè)600位的大數(shù)，使用目前最快的計(jì)算機(jī)，居然要用比整個(gè)宇宙的年齡還要長(zhǎng)的時(shí)間才能分解出.目前廣泛使用的RSA密鑰系統(tǒng)的基礎(chǔ)即是假定不存在快的大數(shù)分解算法.而使得RSA密鑰系統(tǒng)受到巨大挑戰(zhàn)，同時(shí)也推動(dòng)了人類對(duì)量子計(jì)算機(jī)的研究.在量子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)shor的大數(shù)分解算法，分解一個(gè)L位的大數(shù)，計(jì)算步數(shù)下降為O(L3)假定要分解的大數(shù)為N，shor算法的過程如下:隨機(jī)選取a(a<N并與N互質(zhì))，用量子算法求函數(shù)f(x)=axmodN的周期T. 一、.一 ,, 一T若T為奇數(shù)，則返回1，重新選取a;若T為偶數(shù)，則取y=a2求得y后，用歐幾里德輾轉(zhuǎn)相除法求得y-1,y+1與N的最大公約數(shù)n1，n2則可以找到質(zhì)因子.以上算法的關(guān)鍵在于求得函數(shù)f(x)=axmodN的周期T，這是量子計(jì)算機(jī)體現(xiàn)其優(yōu)越性的地方.以上算法在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上進(jìn)行時(shí)，需要使用比量子計(jì)算機(jī)指數(shù)多的物理資源，同時(shí)計(jì)算步驟也是呈指數(shù)增加的.3.2.2Groover量子搜索算法1996年，Groover提出了非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)庫的量子搜索算法，又稱為Groover算法.該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，與經(jīng)典算法的平均復(fù)雜度為0(N)相比，Groover量子搜索算法實(shí)現(xiàn)了計(jì)算的平方加速.Groover量子搜索算法要解決的問題是:在n個(gè)量子比特的非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)庫中，有N=2n個(gè)量子基態(tài)|i),i=1,2,...,N，其中只有一個(gè)目標(biāo)態(tài)|。滿足某一量子黑盒的查詢函數(shù)C(i)=1，其他量子態(tài)都使得查詢函數(shù)C(i)=0.量子搜索算法是以盡可能大的概率將目標(biāo)態(tài)|號(hào)找到.Groover搜索算法包括以下步驟：(1)數(shù)據(jù)庫初始化.首先，n量子比特的寄存器處在|0；態(tài)上，實(shí)施n量子比特的Walsh-Hadamard操作W=Hn，此時(shí)數(shù)據(jù)庫被初始化為一個(gè)平均疊加態(tài).i)=sinpi)=sinpt\+cospc其中(2)進(jìn)行(2)進(jìn)行Groover搜索迭代O(：'N，然后對(duì)n量子比特狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量，以一定概率得到目標(biāo)量子態(tài)而.Groover搜索迭代包括4個(gè)子步驟.|t):‘的相位，而其他態(tài)保持不變，這個(gè)作用可以表為“代|對(duì)目標(biāo)態(tài)||t):‘的相位，而其他態(tài)保持不變，這個(gè)作用可以表為“代|對(duì)目標(biāo)態(tài)|T；的相位反轉(zhuǎn)是通過查詢函數(shù)C (x)來完成的態(tài)x滿足C (x)=1，則對(duì)x態(tài)附加一個(gè)相位兀否則保持x態(tài)不變.步驟1:反轉(zhuǎn)目標(biāo)態(tài)10=1-2T如果基步驟2:進(jìn)行n量子比特的Walsh-Hadamard變換，W=Hn這個(gè)作步驟3:反轉(zhuǎn)除|0態(tài)之外的所有基態(tài)的相位，而保持|0'；?態(tài)不變這個(gè)作用可以表示為-I0-I0=-I-20槌0步驟4:進(jìn)行n量子比特的Walsh-Hadamard變換，W=Hn.將這個(gè)步驟2至步驟4的過程，相當(dāng)于對(duì)平均量子態(tài)進(jìn)行了一個(gè)反轉(zhuǎn)操作稱為擴(kuò)散操作，記為D.擴(kuò)散操作D=-WIW，D在以i)(i=1,2,...N)將這個(gè)為基矢的Hilhert空間當(dāng)中的矩陣元為2 . .—，i豐jD=D=<

ij2In-1,i=j通過分析發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)散操作D還可以表示為-通過分析發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)散操作D還可以表示為-I)W=2D=-WIW=W俱沛-I其中18｝就是n量子比特系統(tǒng)的初態(tài).我們用G來表示Groover搜索迭代的操作，則G=-WIW可以從一種更直觀的幾何可視化角度去理解葛洛沃量子搜索算法，即在以態(tài)，葛洛沃迭代操作G可以表示為t)和|c)態(tài)為基矢的二維，葛洛沃迭代操作G可以表示為G=cos2psin2pG=-sin2p cosp可以看作是使態(tài)在二維平面內(nèi)繞|c）態(tài)做鏡面反射的操作；2|8）仲|(zhì)-IT 』 1JL1可以看作是使態(tài)在二維平面內(nèi)繞I俱態(tài)做鏡面反射的操作.單個(gè)葛洛沃搜索迭代G的整體作用可以看作是在二維平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2P角度.因此，在連續(xù)j次搜索迭代之后，數(shù)據(jù)庫的量子態(tài)變?yōu)閂）二cos[（2j+1）°]|c）+sin（2j+1）°]|c） （3.1）如果要以盡可能大的概率搜索到目標(biāo)態(tài)|匚），則需要盡可能滿足條件sin[（2j+）E]=1因此最佳的搜索迭代步數(shù)是.J七 當(dāng)七為整數(shù)時(shí)七―[iNT[j：]+1當(dāng)j不為整數(shù)時(shí)其中.二兀-1乎2INT[]表示對(duì)實(shí)數(shù)取整。顯然，j?^?！?.由（3.1）式可知，對(duì)于某個(gè)特定的數(shù)據(jù)庫，（2jop+1）&不一定恰好等于:，因此葛洛沃搜索算法的最大成功率不一定為100%，它是一個(gè)隨迭代步數(shù)j變換的周期性函數(shù).第四章量子計(jì)算機(jī)的物理載體雖然目前的科學(xué)和技術(shù)條件距離實(shí)現(xiàn)一個(gè)實(shí)用的量子計(jì)算機(jī)還有很大距離，但是已經(jīng)有一些科學(xué)技術(shù)手段可以實(shí)現(xiàn)對(duì)幾個(gè)量子比特的控制操作.本章將簡(jiǎn)單介紹目前已經(jīng)提出的各種量子計(jì)算的實(shí)現(xiàn)技術(shù)和方案，包括離子阱、中性原子、光學(xué)、超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)、腔量子電動(dòng)力學(xué)、液體核磁共振、Dane的硅基半導(dǎo)體方案、富勒球、量子點(diǎn)和液氦表面電子，其中有些實(shí)現(xiàn)技術(shù)已經(jīng)成功地實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)單的量子算法.4.1離子阱利用離子阱技術(shù)實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算是Cirac和Zoller在1995年首次提出來的.離子阱技術(shù)本身的發(fā)展可以追溯到更早，1980年科學(xué)家首次觀測(cè)到了阱中的單個(gè)離子，1986年做到了對(duì)離子不同塞曼能級(jí)的區(qū)分，即具備了制備一個(gè)量子比特的能力，19%年利用拉比振蕩實(shí)現(xiàn)了單個(gè)量子比特的控制，并進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了對(duì)離子鏈中某個(gè)離子的選擇性操作，利用激光能夠以接近于1的成功率測(cè)量離子的狀態(tài).2003年，奧地利因斯布魯克大學(xué)的Blatt研究小組利用離子阱技術(shù)成功地實(shí)現(xiàn)了Cirac-Zoller控制非門，同一年同一研究小組利用離子阱技術(shù)第一次成功地演示了Deutsch-Jozs算法.離子阱技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)是具有較長(zhǎng)的相干時(shí)間（可達(dá)lOmin），有較高的制備和讀出量子比特的效率，目前已經(jīng)有人提出建造大規(guī)模離子阱量子計(jì)算裝置的設(shè)計(jì)方案.有待解決的問題是引起離子運(yùn)動(dòng)消相干的電場(chǎng)波動(dòng)的來源目前并不十分清楚，能儲(chǔ)存多條離子鏈的離子阱在實(shí)驗(yàn)上很難實(shí)現(xiàn)，離子的自發(fā)輻射會(huì)導(dǎo)致消相干，激光的相位和強(qiáng)度的波動(dòng)會(huì)影響對(duì)離子的操作，也會(huì)導(dǎo)致消相干.量子信息和量子計(jì)算研究的一個(gè)重要目的就是把信息的特性和物理規(guī)律聯(lián)系起來，離子阱量子計(jì)算為研究這種聯(lián)系提供了具體和完整的研究途徑.離子阱電極裝置如下圖4.2中性原子2000年，Deutsch等人提出了利用光格子中的中性原子進(jìn)行量子計(jì)算的方案.利用激光冷卻技術(shù)可以把原子冷卻到運(yùn)動(dòng)基態(tài)，并使其被俘獲在光格子中，如圖2所示.與離子阱技術(shù)類似，處于光格子中的中性原子有很多內(nèi)部狀態(tài)，例如塞曼能級(jí)或精細(xì)能級(jí)，它們都可以被利用來編碼量子比特.1998年，研究人員成功地把大約100萬個(gè)原子俘獲在一個(gè)三維光格子中.2002年，研究人員做到了每個(gè)格子中只有一個(gè)原子.通過調(diào)節(jié)激光可以使原子靠近發(fā)生相互作用，從而完成兩量子比特操作，如圖3所示.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是每個(gè)原子都與外界有很好的隔離，具有較長(zhǎng)的消相干時(shí)間；并且可以把很多原子俘獲在光格子中，有實(shí)現(xiàn)規(guī)?；牧孔佑?jì)算的潛力.利用中性原子進(jìn)行量子計(jì)算在理論和實(shí)驗(yàn)上都不如離子阱成熟，不過中性原子有離子不能比擬的特點(diǎn)，而且除了用于量子計(jì)算，還是目前進(jìn)行玻色一愛因斯坦凝聚實(shí)驗(yàn)研究的一種重要手段，因此中性原子量子計(jì)算仍然是十分重要和有潛力的一個(gè)研究方向.最近研究人員實(shí)現(xiàn)了光格子中原子間的糾纏，這個(gè)結(jié)果對(duì)量子信息的存儲(chǔ)有十分重要的意義.圖2通過激光冷卻和俘獲技術(shù)把原子約束在光格子中.它們與外界之間具有很好的隔離，原子的內(nèi)部狀態(tài)可用來編碼量子比特圖3通過調(diào)節(jié)激光使原子靠近.發(fā)生相互作用.從而完成兩量子比特操作4.3光學(xué)方法光學(xué)方法不僅在量子信息研究中非常重要，在量子計(jì)算領(lǐng)域光學(xué)方法也是一個(gè)十分重要的手段和研究方向.差不多在量子信息研究的每一個(gè)領(lǐng)域光學(xué)方法都有貢獻(xiàn)，其中包括量子遠(yuǎn)程傳態(tài)、量子密碼、多粒子量子糾纏、量子態(tài)和量子過程的重建以及簡(jiǎn)單量子算法的實(shí)現(xiàn)等等.事實(shí)上光子是一種十分理想的量子比特的載體:光子的偏振和光子的路徑信息都可以用來編碼量子比特；用各種半波片和半透鏡等光學(xué)器件就可以完成對(duì)量子比特的單比特操作；而且目前的單光子探測(cè)技術(shù)可以對(duì)光子進(jìn)行令人滿意的測(cè)量.光子與環(huán)境相互作用很小，具有很好的相干性，但同時(shí)也帶來一個(gè)問題，光子之間幾乎沒有相互作用，沒有辦法實(shí)現(xiàn)兩量子比特直接的邏輯門操作.雖然基于線性光學(xué)器件和單光子源的量子計(jì)算方案在2001年就被提出來了，2003年研究人員才首次通過光學(xué)方法利用糾纏光子對(duì)明確地實(shí)現(xiàn)了兩量子比特的邏輯門一控制非門，但這種實(shí)現(xiàn)是概率性的.圖4是一個(gè)通過事后選擇實(shí)現(xiàn)的控制非門的光學(xué)方案示意圖.光學(xué)方法有很多其他方法所不能比擬的優(yōu)點(diǎn)：光子是飛行比特，天然適合于分布式量子計(jì)算；精確的單比特操作;光學(xué)中有許多相當(dāng)成熟的技術(shù)可以利用；與

量子通信直接兼容；目前最成熟的糾纏源就是參量下轉(zhuǎn)換過程(parametricdownconversion)所產(chǎn)生的糾纏光子源.阪1阪1%"標(biāo)卷國(guó)6at波汁分析咨MlratJtcztz：Ml反甘IK圖4一個(gè)通過事后選擇實(shí)現(xiàn)的CONT門的光學(xué)方法(量子比特由光子的不同偏振態(tài)編碼.光子之間的相互作用由事先制各的糾纏提供)4.4超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)約瑟夫森效應(yīng)即超導(dǎo)隧道效應(yīng).在玻璃襯板上鍍一層超導(dǎo)金屬膜，使其上形成厚度很薄的絕緣氧化層，在氧化層上再鍍上一層超導(dǎo)金屬膜，就得到一個(gè)超導(dǎo)一絕緣一超導(dǎo)結(jié)，稱為約瑟夫森結(jié).理論和實(shí)驗(yàn)都證明，當(dāng)絕緣層厚度在100nm左右時(shí)，由于隧道效應(yīng)，庫柏對(duì)穿過勢(shì)壘后仍保持配對(duì)狀態(tài)，因此絕緣層中出現(xiàn)少量超導(dǎo)電子而具有了弱超導(dǎo)電性.1999年，日本NEC基礎(chǔ)研究實(shí)驗(yàn)室的Nakamura等人在實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到了約瑟夫森結(jié)中相干的量子振蕩，這是研究人員首次觀測(cè)到固體中的宏觀量子相干.此后，研究人員利用射頻超導(dǎo)量子干涉器(SQUID)中的磁通(flux)，直流超導(dǎo)量子干涉器中不同方向的電流和磁通量子等，分別實(shí)現(xiàn)了量子比特的編碼.2003年，NEC基礎(chǔ)研究實(shí)驗(yàn)室首次利用超導(dǎo)約瑟夫森效應(yīng)成功地實(shí)現(xiàn)了一個(gè)兩比特的條件邏輯門操作，他們用兩個(gè)約瑟夫森結(jié)間的電荷編碼量子比特.圖5是一個(gè)超導(dǎo)量子比特的原理圖.超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)量子計(jì)算是目前進(jìn)展最快最好的一種固體量子計(jì)算實(shí)現(xiàn)方法.與原子和光子之類的天然量子體系相比，Josephson量子電路這種人工量子體系具有以下特點(diǎn)：Josephson量子電路中的能級(jí)結(jié)構(gòu)可以通過對(duì)電路的設(shè)計(jì)來制定，也可以通過外加的電磁信號(hào)進(jìn)行調(diào)控?；诂F(xiàn)有的微電子制造工藝，Josephson量子電路具有良好的可擴(kuò)展性，這種可擴(kuò)展性既包括Josephson量子電路之間的級(jí)聯(lián)，也包括Josephson量子電路與其他量子體系之間的藕合圖5一個(gè)量子比特結(jié)構(gòu)的