二次函數(shù)復(fù)習(xí)

二次函數(shù)復(fù)習(xí)二次函數(shù)表達(dá)形式定義二次函數(shù)思維導(dǎo)圖圖象與性質(zhì)一般式頂點(diǎn)式圖象性質(zhì)拋物線開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性最大(小)值二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c、的關(guān)系a確定開(kāi)口方向a、b確定對(duì)稱(chēng)軸的位置c確定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置確定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)拋物線與x軸y軸交點(diǎn)的求法解析式的求法二次函數(shù)的應(yīng)用圖象的平移1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x

-2+x(6)y=x2-x(1+x)2、當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)是y=(m+2)x分別是一次函數(shù)？反比例函數(shù)？m2-2二次函數(shù)？一、二次函數(shù)的定義：

形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)

的函數(shù)叫做二次函數(shù)y＝ax2a>0a<0圖象開(kāi)口對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)增減性二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)開(kāi)口向上開(kāi)口向下a的絕對(duì)值越大，開(kāi)口越小關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0，0）頂點(diǎn)是最低點(diǎn)（有最小值）頂點(diǎn)是最高點(diǎn)（有最大值）左減右增左增右減方向大小x0yxy0二、頂點(diǎn)式二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

y＝ax2+ka>0a<0圖象開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性二次函數(shù)y=ax2+k的性質(zhì)開(kāi)口向上開(kāi)口向下y軸頂點(diǎn)是最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最高點(diǎn)左減右增左增右減（0，k)頂點(diǎn)在y軸上y＝a(x-h)2a>0a<0圖象開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì)開(kāi)口向上開(kāi)口向下直線x=h頂點(diǎn)是最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最高點(diǎn)左減右增左增右減（h，0)頂點(diǎn)在x軸上y＝a(x-h)2+ka>0a<0最值開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的性質(zhì)開(kāi)口向上開(kāi)口向下直線x=h頂點(diǎn)是最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最高點(diǎn)左減右增左增右減（h，k)當(dāng)x=h時(shí),最小值為k.當(dāng)x=h時(shí),最大值為k.頂點(diǎn)在象限內(nèi)y=a(x-h)2y=ax2y=ax2+k上下平移左右平移y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移三、幾種頂點(diǎn)式二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系二次函數(shù)開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x+3)2+5向上(0,2)向下向下(1,0)(1,2)向上y軸直線x=1直線x=1(0,0)1.完成下列表格:Y=3x2Y=-3x2+2Y=3(x-1)2Y=-3(x-1)2+2y軸Y=3(x+1)2-2向上直線x=-1(-1,-2)做一做向下(2,－6)直線x=2y=－5(2－x)2－6向上直線x=－3(－3,5)四、一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸開(kāi)口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下左減右增.

左增右減a<0五、a、b、c、對(duì)拋物線的影響2、a＞03、a相同拋物線的開(kāi)口向下。

1、a決定拋物線的形狀（開(kāi)口方向、開(kāi)口大?。佄锞€的形狀相同；拋物線的開(kāi)口向上；若拋物線y=ax2+3x-4與拋物線y=-2x2形狀相同，則a=

.±2開(kāi)口大小

a越大開(kāi)口越小

a越小開(kāi)口越大

2、C的符號(hào)由拋物線與___的________確定.交點(diǎn)在x軸上方c>0交點(diǎn)在x軸下方c<0經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)c=0y軸交點(diǎn)位置3、b的符號(hào)由________的位置確定對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)a、b同號(hào)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)a、b異號(hào)

對(duì)稱(chēng)軸是y軸b=0對(duì)稱(chēng)軸左同右異4、b2-4ac的符號(hào)由拋物線與___的________確定與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac>0與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

b2-4ac=0與x軸無(wú)交點(diǎn)x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2-4ac<04.已知y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,請(qǐng)?jiān)谙铝袡M線上填寫(xiě)“<”,“>”或“=”.（1）

a___0,b____0,c_____0,abc____0

b2-4ac_____0b

2a

0-11-2<<>>><>>（2）a+b+c_____0,a-b+c____0

4a-2b+c_____0xy=abc2a與bb2-4ac

a+b+c

a-b+c4a+2b+c4a-2b+c向上a>0向下a<o左側(cè)ab同號(hào)右側(cè)ab異號(hào)與y軸交點(diǎn)上半軸c>o下半軸c<0-與-1（或1）比較與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)令x=1，看縱坐標(biāo)令x=-1，看縱坐標(biāo)令x=2，看縱坐標(biāo)令x=-2，看縱坐標(biāo)規(guī)律二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0的根0xy1有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式Δ=b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0說(shuō)明：a≠0六、二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系1、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)

的圖象只可能是（）做一做2.（11安徽蕪湖）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（）Dyx02-33、小明從右邊的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象觀察得出下面的五條信息：①a＜0；②c＝0；③函數(shù)的最小值為-3；④當(dāng)x＜0時(shí)，y>0；⑤當(dāng)0＜x1＜x2＜2時(shí)，y1>y2

你認(rèn)為其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．2B．3

C．4D．5

七、拋物線y=aX2+bx+c與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法：1、令y=0，若方程aX2+bx+c=0的解為x1,x2，則拋物線y=aX2+bx+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1,0),(x2,0)2、令x=0，則拋物線y=aX2+bx+c與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c).

1、拋物線y=x2+2x-3與x軸交于點(diǎn)A（

）、B（

），與y軸交于點(diǎn)C（

），且△ABC的面積為

。

1，0

-3，0

0，-3

62、若y=ax2+bx+c(a

0)與軸交于點(diǎn)A(2,0),B(4,0),

則對(duì)稱(chēng)軸是（）

A直線x=2B直線x=4C直線x=3D直線x=-3

C二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是__________對(duì)稱(chēng)軸是_________。例1:（—，-—）125

24x=—12畫(huà)二次函數(shù)的大致圖象:①畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸②確定頂點(diǎn)③確定與y軸的交點(diǎn)④確定與x軸的交點(diǎn)⑤確定與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)⑥連線x=—12（—，-—）125

24(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)1、已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖。(1)、當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大;(2)、當(dāng)x為何值時(shí)，y<0。yOx(3)、求它的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；2.5(3)、圖象經(jīng)過(guò)(0，0)，(1，-2)，(2，3)三點(diǎn)；(1)、圖象的頂點(diǎn)(2，3)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，1)；2、根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。八、二次函數(shù)解析式的求法(2)、拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1，0)、B(1，8),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1;已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(-1，0)、B(1，8)、C(3，0),求此拋物線的解析式。法(一)：設(shè)所求拋物線的解析式為解之得：∴拋物線的解析式為：法（二）∵拋物線對(duì)稱(chēng)為直線∴頂點(diǎn)即為B(1,8)把（-1，0）代入可得：還有其它解法嗎？已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(-1，0)、B(1，8)、C(3，0),求此拋物線的解析式。法（三）：∵拋物線與x軸交于A(-1,0)、C(3,0)

∴可設(shè)解析式為把B(1,8)代入得：解之得：∴拋物線的解析式為：

解析式使用范圍y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+k八、二次函數(shù)解析式的求法一般式頂點(diǎn)式已知任意三個(gè)點(diǎn)已知頂點(diǎn)（2,3)及另一點(diǎn)（1，-2）已知對(duì)稱(chēng)軸x=2及另兩點(diǎn)（1，-2），（2，4）交點(diǎn)式已知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（-1，0），（2，0）及另一個(gè)點(diǎn)（0，-2）y=a(x-x1)(x-x2)問(wèn)題：施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米.現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為X軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）。（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門(mén)口搭建一個(gè)矩形“腳手架”CDAB，使A、D點(diǎn)在拋物線上，B、C點(diǎn)在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少？請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下

九、實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)問(wèn)題：一場(chǎng)籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。問(wèn)此球能否投中？3米4米最高4米8米籃圈中心問(wèn)題：一場(chǎng)籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。問(wèn)此球能否投中？3米8米4米4米

問(wèn)題：一場(chǎng)籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。問(wèn)此球能否投中？3米8米4米4米解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，(0≤x≤8)(0≤x≤8)此球沒(méi)有達(dá)到籃圈中心距離地面3米的高度，不能投中。這段拋物線的頂點(diǎn)為（4，4），設(shè)其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：

條件：小明球出手時(shí)離地面高米，小明與籃圈中心的水平距離為8米，球出手后水平距離為4米時(shí)最高4米，籃圈中心距離地面3米。

問(wèn)題：此球能否投中？問(wèn)題3：某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)40元一個(gè)的某種商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)一元，銷(xiāo)量減少10個(gè)，為賺得最大利潤(rùn)，售價(jià)定為多少？最大利潤(rùn)是多少？分析：利潤(rùn)=（每件商品所獲利潤(rùn)）×

（銷(xiāo)售件數(shù)）

設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，那么（3）銷(xiāo)售量可以表示為（1）銷(xiāo)售價(jià)可以表示為（50+x）元（x≥0，且為整數(shù)）(500-10x)

個(gè)（2）一個(gè)商品所獲利潤(rùn)可以表示為（50+x-40）元（4）共獲利潤(rùn)可以表示為(50+x-40)(500-10x)元答：定價(jià)為70元/個(gè)，利潤(rùn)最高為9000元.

解：

y=(50+x-40)(500-10x)

=-10x2+400x+5000(0≤x≤50,且為整數(shù))

=-10（x-20）2+9000問(wèn)題3：某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)40元一個(gè)的某種商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)一元，銷(xiāo)量減少10個(gè)，為賺得最大利潤(rùn)，售價(jià)定為多少？最大利潤(rùn)是多少？設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，利潤(rùn)為y元（2011山東泰安）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：則當(dāng)x=1時(shí)，y的值為（）A.5B.-3C.-13D.-27x-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353拓展延伸D4.(2010·遵義中考)如圖，兩條拋物線y1=-x2+1、y2=-x2-1與分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),(2,0)且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為()(A)8(B)6(C)10(D)4【解析】選A.由圖知y2可由y1向下平移2個(gè)單位得到，故陰影部分的面積為2×4=8.2、函數(shù)y=2x2的圖象是______線，開(kāi)口向____，對(duì)稱(chēng)軸是_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______，當(dāng)x=___時(shí)，函數(shù)有最____值為_(kāi)___；在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而_______，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而_______。3、函數(shù)y=-2x2+4的圖象開(kāi)口向____，對(duì)稱(chēng)軸是_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______，當(dāng)x=____時(shí)，函數(shù)有最____值為_(kāi)___；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而_______，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而_______。上下y軸(0,4)y軸(0,0)拋物00小減小增大減小增大0