不等式證明中的運(yùn)用

1.引言不等式作為一個(gè)重要的分析工具和分析手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位.可用推理性或探索性證明不等式。推理性問題即是指在特定條件下，闡述論證過程,揭示內(nèi)在規(guī)律,基本方法有比較法、分析法、綜合法；在中學(xué)階段，探索性問題大多是與自然數(shù)有關(guān)的證明問題，常采用觀察-歸納-猜想-證明的思路，以數(shù)學(xué)歸納法完成證明。不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重要組成部分，它和函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何、極限等知識關(guān)系密切，相互滲透、相互作用，所以在高考中一直是考查的重點(diǎn)內(nèi)容。由于在高中階段我們學(xué)習(xí)的這部分知識都比較零散和難懂，很多同學(xué)都無法攻克不等式這一難關(guān)。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)就是不等式的證明，大多數(shù)學(xué)生在遇到不等式證明問題不知到如何下手，實(shí)際上在許多不等式問題都存在一題多解，針對不等式的證明，總結(jié)了幾種證明不等式的方法，即中值定理法、輔助函數(shù)法、泰勒公式法、函數(shù)的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。此文將把同學(xué)們學(xué)過的不同階段的代數(shù)、幾何、三角等方面的知識縱橫聯(lián)系、融會貫通，對中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一些證明方法進(jìn)行歸納、總結(jié)，從而使讀者在讀完此文之后能夠比較系統(tǒng)的、深入的掌握一些規(guī)律，學(xué)會一些方法。2.中學(xué)常用的證明方法一般來說，凡經(jīng)過邏輯推理或論理來斷定不等式中的變量在允許取值的范圍之內(nèi)，使得不等式成立，這樣一個(gè)過程就叫做“證明不等式”，其實(shí)質(zhì)就是要證明所給的不等式在給定的條件下恒成立。在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明不等式的方法許多種。若用初等方法證明往往會造成復(fù)雜的運(yùn)算過程，如在構(gòu)造函數(shù)的背景下運(yùn)算函數(shù)的單調(diào)性、利用微分中值定理、函數(shù)的極值和最值等。將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。利用函數(shù)性質(zhì)來研究，解決不等式問題，使學(xué)生掌握不等式證明的函數(shù)思想方法，從而提高學(xué)生的分析問題與解決問題的能力。由于不等式的形式多種多樣，所以不等式的證明方法也就靈活多樣，從具體的教學(xué)實(shí)踐，我們可以歸納以下中學(xué)階段幾種常用的證明方法2.1比較法比較法是證明不等式的最基本最重要的方法之一，也是一個(gè)常用的方法，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接利用，比較法有求差、求商兩種形式。其中求差比較法是最基本的，也是高考重點(diǎn)考查的證法之一，其次用求商法時(shí)必須考慮分母的正負(fù)。作差法其一般步驟為：作差→將差變形→判斷差的正負(fù)→得出結(jié)論.例1.若，證明。證明：因?yàn)樗?。作商法若，則“”，其一般步驟為“作商→變形→判斷與1的大小→得出結(jié)論”。例2.已知求證：證明：同理可證：作差法與作商法本質(zhì)是一樣的，這從下面的轉(zhuǎn)化關(guān)系可以看出：設(shè)若，正因?yàn)檫@樣，一道題能用求差比較法證明，也一定能利用求商比較法證之，反之亦然。如果是和差形式，宜于用求差比較法證明，如果是乘積形式，宜于用求商比較法證明，具體問題要觀察結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用。2.2綜合法綜合法是指從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。其特點(diǎn)和思路“由因?qū)Ч保磸摹耙阎笨础翱芍?，逐步推向“知”。綜合法的優(yōu)點(diǎn)是宜于表述，條理清晰，形式簡潔。例3.已知在，求證即證原不等式成立2.3分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，方向明確，思路自然，易于掌握。例4.已知在，求證要證故只要證明而 即證原不等式成立[知識總結(jié)]分析法是一種執(zhí)果索因的方法,是從求證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問題.同時(shí)要特別注意分析法步驟的書寫規(guī)范問題.2.4放縮法放縮法是不等式證明中一種重要的變形技巧，就是在證明不等式時(shí)，可借助于一個(gè)或多個(gè)中間量通過適當(dāng)?shù)姆糯笫沟没蛲ㄟ^適當(dāng)?shù)乜s小，使得利用不等式的傳遞性，達(dá)到證題的目的。故放縮法包括添項(xiàng)法、拆項(xiàng)法。例5.設(shè)、、是三角形的邊長，求證≥3證明：由不等式的對稱性，不妨設(shè)≥≥，則≤≤且≤0，≥0∴≥∴≥32.5數(shù)學(xué)歸納法所謂歸納法就是由特殊到一般的推理方法就叫做歸納法，什么是“由特殊到一般”？例如對于一個(gè)正數(shù)有，對于兩個(gè)正數(shù)有，對于3個(gè)正數(shù)有，.這就使我們猜想到(或稱歸納出)對于個(gè)正數(shù)可能有，成立像這樣從特殊情況中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，就叫做“由特殊到一般”，至此，我們只是猜想到有可能結(jié)論成立，所得結(jié)論是用不完全歸納法得到的。但是這個(gè)結(jié)論究竟是否成立?還有待進(jìn)一步的推理(或證明)這便要用到數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，須用兩個(gè)步驟完成：第一步，驗(yàn)證取第一個(gè)值()時(shí)不等式成立；第二步，假定取某一個(gè)自然數(shù)時(shí)，不等式成立(歸納假設(shè))，由此能夠推出取時(shí)，此不等式也成立，便得到對于從某一自然數(shù)()開始所有自然數(shù)()，不等式成立。例6.已知是個(gè)自然數(shù)，求證：。證明：用數(shù)學(xué)歸納法.（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊即不等式成立；（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即成立，則當(dāng)時(shí)有：即由(1)(2)可知，對所有的自然數(shù)，不等式其中（）成立。說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的“關(guān)鍵”和“難點(diǎn)”是由時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立。2.6反證法反證法就是從否定結(jié)論出發(fā)，先假設(shè)所要證明的不等式不成立，也就是假設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立(可能包含一種或多種情況)，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，進(jìn)行推理論證，最后導(dǎo)出和已知條件(指前面未用過的已知條件)或已知不等式或公理、定理相矛盾，從而判定假設(shè)是錯(cuò)誤的，由此確定要證的不等式成立。有些不等式，直接從正面證明比較困難，此時(shí)可從反面考慮用反證法。例7.已知：a、b、c都是小于1的正數(shù)，求證：、、中至少有一個(gè)不大于．分析：利用反證法，配湊整理后再用均值不等式證明．證法：假設(shè)，，，．，即，這是矛盾的，假設(shè)不成立，即原結(jié)論正確．2.7換元法換元法是根據(jù)所給不等式的特點(diǎn)，通過適當(dāng)?shù)膿Q元使問題得到轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到化繁為簡，變?yōu)榇蠹沂熘膯栴}。常用的有三角換元，代數(shù)換元，平均值換元等等。例如題設(shè)中有如或分別采用三角代換。其中的取值范圍取決于的取值范圍，通過代換將原來關(guān)于兩個(gè)變元的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變元的問題。例8.已知，求證：設(shè)則可設(shè)[知識總結(jié)]換元法這里主要是三角代換，三角代換的題眼點(diǎn)有如2.8構(gòu)造法根據(jù)不等式證明的某些特點(diǎn)，引入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)、數(shù)列、方程、向量、圖形等，并利用它們的性質(zhì)證明不等式的方法，稱為構(gòu)造法。以下分別說明幾種常見的構(gòu)造對象。例9.已知，求證：證明：設(shè)向量則=2.9判別式法判別式法一般根據(jù)數(shù)學(xué)中的實(shí)際問題的特征，具體問題具體分析，觀察是否與一元二次函數(shù)有關(guān)，或能否通過等價(jià)變換轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)其有實(shí)數(shù)解或無解建立不等式求解實(shí)際問題。例10.求證：對于任意實(shí)數(shù)，都有。分析：本題分式中的分子分母都是二次式，可考慮使用二次函數(shù)或二次方程的性質(zhì)。證明：由題意知，設(shè)所以去分母，整理得當(dāng)時(shí)，解得，符合原不等式當(dāng)，因?yàn)椴坏仁匠闪ⅲ?，即對任意?shí)數(shù)，原不等式成立。3.高等數(shù)學(xué)證明中學(xué)不等式的方法證明不等式是數(shù)學(xué)的重要課題，也是分析解決其他數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)證明不等式的主要方法；利用微分中值定理；利用函數(shù)的單調(diào)性；利用最值；利用凹凸性。3.1利用單調(diào)性證明不等式定理3.1設(shè)在上連續(xù)，在（a、b）內(nèi)可導(dǎo)。若在（a、b）內(nèi)則在上單調(diào)增加（減少）。例11.證明：對任意實(shí)數(shù)a和b，成立不等式證明：取單調(diào)遞增。于是，由3.2利用函數(shù)的最值證明不等式定理3.2設(shè)的極值嫌疑點(diǎn)（即駐點(diǎn)或使不存在的點(diǎn)），a,b為邊界點(diǎn)，則中最大（小）者為上的最大(小)值。例12.證明不等式證：設(shè)則，得唯一駐點(diǎn)又當(dāng)時(shí)上的最大值，即有.所以.3.3利用中值定理證明不等式定理3.3若函數(shù)滿足條件：（1）在區(qū)間上連續(xù)；（2）在區(qū)間上可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（拉格朗日中值定理）例13.證明：分析：利用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟為：（1）從中間表達(dá)選定出及一區(qū)間，（2）運(yùn)用拉格朗日中值定理可得一等式，（3）利用此等式及便不難導(dǎo)出要證的不等式。證明：（1）設(shè)內(nèi)可導(dǎo)，故：所以3.4利用函數(shù)凹凸性證明不等式定義：構(gòu)造出函數(shù)，如果的圖像時(shí)向上凹的，則有不等式如果的圖像時(shí)向上凸的，則有定理3.4設(shè)例14.證明不等式：證明：分析構(gòu)造出函數(shù)，如果的圖像時(shí)向上凹的，則有不等式如果的圖像時(shí)向上凸的，則有可知的圖像是向上凹的，故對任意的則證明不等式是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到豐富的技術(shù)手法，我們研究了構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來證明不等式，使一些復(fù)雜的不等式的證明得到更加簡潔的證明。3.5用“零件不等式”證明一類帶界的分式不等式龐大的肌體由微小的細(xì)胞組成，復(fù)雜的機(jī)器由簡單的零件構(gòu)成，這給我們一個(gè)啟示：對于那些紛繁雜難的分式不等式，能否覓求一些簡單的不等式，以便應(yīng)用它們?nèi)デ擅詈喗莸剡_(dá)到證題的目的？答案是肯定的，下面就一類帶界的分式不等式加以討論。對于形如的不等式，常?？梢愿鶕?jù)題中的界A及不等式的左邊的特征，構(gòu)造出如下的不等式（1）或（2）其中為不等式左邊中的第個(gè)加項(xiàng)。將這些不等式相加即可得到要證的不等式。因此，問題的關(guān)鍵就是覓求“零件不等式”（1）或（2）。例15.分析將要證得不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的帶界分式不等式再去尋求“零件不等式”。證：同理將得到的三個(gè)“零件不等式”相加，即得并指明等號什么條件成立。證由得同理將上述三“零件不等式”相加，即得等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。注1：上面兩個(gè)例子都利用了如下的常用不等式：若有等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立注2：第二個(gè)例子中將變形為，實(shí)質(zhì)上是“齊次化”過程。3.6利用泰勒展開式證明泰勒展開式的證明常用的是將函數(shù)在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)（如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)）進(jìn)行展開，通過分析余項(xiàng)在點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。另外若余項(xiàng)在所給區(qū)間上不變號，也可將舍去而得到不等式。例16.設(shè)在上具有二階可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件其中都是非負(fù)常數(shù)，內(nèi)任意一點(diǎn)，證明。分析：已知二階可導(dǎo)，應(yīng)考慮用二階泰勒展開式。本題涉及證明，應(yīng)在特定點(diǎn)處將按泰勒公式展開。證：對在處用泰勒公式展開，得——（1）其中在（1）式中令有在（1）式中令有上述兩式相減得又知時(shí)，有因這里與有關(guān)，可將其記為，那么當(dāng)令分別取0和1時(shí)，對應(yīng)的可分別用和表示。4.總結(jié)證明不等式不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面。如：與數(shù)列的結(jié)合，與“二次函數(shù)”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)”這“三個(gè)二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約等。本論文主要討論用各種方法來證明不等式，為常見不等式的證明指明了方向。根據(jù)不等式的外形，不等式的基本性質(zhì)及其相關(guān)的定理，用拉格朗日中值定理、放縮法、構(gòu)造法來證明不等式，解決了常見不等式和輪換對稱不等式的證明方法，仔細(xì)總結(jié)了具有規(guī)律的輪換對稱不等式添減項(xiàng)的技巧。不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，是高考考查學(xué)生代數(shù)推理的重要素材，也是高中數(shù)學(xué)競賽常常涉及的內(nèi)容之一，所以在解決不等式問題的過程中，應(yīng)注意對數(shù)學(xué)思想進(jìn)行挖掘、提煉和滲透，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題，在平時(shí)應(yīng)多歸納、多總結(jié)，不斷提高自己的應(yīng)變能力。不僅可以有效地掌握不等式知識，駕馭不等式問題的求解及證明，而且對于開發(fā)智力，培養(yǎng)能力，優(yōu)化思維也有著十分重要的意義。參考文獻(xiàn)：[1]王傳榮、張?jiān)茣?不等式的證明及應(yīng)用[M].天津科學(xué)技術(shù)出版社1982.10.[2]張馳.不等式[M].上海教育出版社，1963.12[3]朱勝強(qiáng).淺談不等式證明的非常規(guī)方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2004.08.[4]葉殷,何志樹.用高等數(shù)學(xué)證明不等式的若干種方法[J].西昌師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004年12第16卷第4期：第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