拉格朗日插值公式-計(jì)算方法課件

§1.2拉格朗日插值公式

------《數(shù)值分析簡明教程》1、線性插值2、拋物插值3、一般情況2011-6-11拉格朗日插值公式--計(jì)算方法首先考察線性插值的簡單情形。

問題3求作一次式p1(x)，使?jié)M足條件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1

從幾何圖形上看，y=p1(x)表示通過兩點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1)的直線。因此，一次插值亦稱線性插值。上述簡單的線性插值是人們所熟悉的，它的解p1(x)可表為下列點(diǎn)斜式例2已知(3)解：這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令x=115代入（3）,求得y=10.71428，這個結(jié)果有3位有效數(shù)字（試與例1的結(jié)果相比較）.1、線性插值2011-6-12拉格朗日插值公式--計(jì)算方法

我們知道，線性公式（3）亦可表示為下列對稱式（4）若令：

則有：p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)（5）注意，這里的l0(x)和l1(x)分別可以看做是滿足條件

l0(x0)=1,l0(x1)=0l1(x1)=1,l1(x0)=0

的插值多項(xiàng)式.這兩個特殊的插值多項(xiàng)式稱作問題3的插值基函數(shù)（參考圖1-1、1-2）.

式（5）表明，插值問題3的解p1(x)可以通過插值基函數(shù)l0(x)和l1(x)組合得出，且組合系數(shù)恰為所給數(shù)據(jù)y0,y1.2011-6-13拉格朗日插值公式--計(jì)算方法yxx10x01l0(x)0x1x01l1(x)圖1-1圖1-22011-6-14拉格朗日插值公式--計(jì)算方法2、拋物插值

線性插值僅僅利用兩個節(jié)點(diǎn)上的信息，精確度自然很低，為了提高精確度，進(jìn)一步考察下述二次插值。

問題4求作二次式p2(x),使?jié)M足條件p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2(6)

二次插值的幾何解釋是，用通過三點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的拋物線y=p2(x)來近似所考察的曲線y=f(x),因此這類插值亦稱為拋物插值。2011-6-15拉格朗日插值公式--計(jì)算方法

為了得出插值公式p2(x),先解決一個特殊的二次插值問題：求作二次式l0(x)，使?jié)M足條件

l0(x)=1,l0(x1)=l0(x2)=0（7）這個問題是容易求解的，事實(shí)上，由式（7）的后兩個條件知，x1,x2是l0(x)的兩個零點(diǎn)，因而

l0(x)=c(x-x1)(x-x2)

再利用式（7）剩下的一個條件l0(x0)=1確定系數(shù)c，結(jié)果得出

類似的可以構(gòu)造出滿足條件：l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0l2(x2)=1,l2(x0)=l2(x1)=0。

2011-6-16拉格朗日插值公式--計(jì)算方法

的插值多項(xiàng)式l1(x)與l2(x),其表達(dá)式分別為：這樣構(gòu)造出的l0(x),l1(x)和l2(x)稱作問題4的插值基函數(shù)設(shè)取已知數(shù)據(jù)y0,y1,y2作為組合系數(shù)，將插值基函數(shù)l0(x),l1(x),l2(x)組合得：

容易看出這樣構(gòu)造出的p2(x)滿足條件（6）。因而他就是問題4的解2011-6-17拉格朗日插值公式--計(jì)算方法

例3利用100,121和144的開方值求解：用拋物插值，這里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=144,y2=12.令x=115代人式（8），求得近似值為10.7228.同精確值比較，這里得到有4位有效數(shù)字的結(jié)果。2011-6-18拉格朗日插值公式--計(jì)算方法3.一般情況

進(jìn)一步求解一般形式的問題2.仿照線性插值和拋物插值所采用的方法，仍從構(gòu)造所謂插值基函數(shù)入手.這里的插值基函數(shù)lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多項(xiàng)式，且滿足條件

這表明除xk以外的所有節(jié)點(diǎn)都是lk(x)的零點(diǎn)故2011-6-19拉格朗日插值公式--計(jì)算方法

這里∏的含義是累乘，表示乘積遍取下標(biāo)j從0到除k以外的全部值.

利用插值基函數(shù)容易得出問題2的解

事實(shí)上由于每個插值基函數(shù)lk(x)都是n次式，pn(x)的次數(shù)≤n，又據(jù)（9）式有

即pn(x)滿足插值條件（2）.

式（10）稱作拉格朗日插值公式.該公式的形式對稱，結(jié)構(gòu)緊湊，因而容易編寫計(jì)算程序.事實(shí)上，式（10）的邏輯結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為二重循環(huán).內(nèi)循環(huán)（j循環(huán)），然后再通過外循環(huán)（k循環(huán)）累加得出插值結(jié)果y.圖1-3是拉格朗日方法的算法圖框.2011-6-110拉格朗日插值公式--計(jì)算方法開始輸入