初中升高中數(shù)學(xué)銜接最全經(jīng)典教材

頁(yè)例4已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，∴，即．由于，所以不等式可變?yōu)?，即－整理，得所以，不等式的解是x＜－1，或x＞eq\f(6,5)．說(shuō)明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題．例5解關(guān)于的一元二次不等式為實(shí)數(shù)).分析對(duì)于一元二次不等式,按其一般解題步驟,首先應(yīng)該將二次項(xiàng)系數(shù)變成正數(shù),本題已滿足這一要求,欲求一元二次不等式的解,要討論根的判別式的符號(hào),而這里的是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式,的符號(hào)取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據(jù)解題的需要,對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論.解:,①當(dāng)所以,原不等式的解集為或；②當(dāng)Δ＝0，即a＝±2時(shí)，原不等式的解為x≠－eq\f(a,2)；③當(dāng)為一切實(shí)數(shù).綜上,當(dāng)a≤－2，或a≥2時(shí)，原不等式的解是或；當(dāng)為一切實(shí)數(shù)．例6已知函數(shù)y＝x2－2ax＋1(a為常數(shù))在－2≤x≤1上的最小值為n，試將n用a表示出來(lái)． 分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的位置有關(guān)，于是需要對(duì)對(duì)稱(chēng)軸的位置進(jìn)行分類(lèi)討論．解：∵y＝(x－a)2＋1－a2，∴拋物線y＝x2－2ax＋1的對(duì)稱(chēng)軸方程是x＝a．（1）若－2≤a≤1，由圖2.3-3①可知,當(dāng)x＝a時(shí)，該函數(shù)取最小值n＝1－a2；(2)若a＜-2時(shí),由圖2.3-3②可知,當(dāng)x＝-2時(shí)，該函數(shù)取最小值n＝4a+5；(2)若a＞1時(shí),由圖2.3-3③可知,當(dāng)x＝1時(shí)，該函數(shù)取最小值n＝-2a+2.綜上,函數(shù)的最小值為2.3方程與不等式2.3.1二元二次方程組解法練習(xí)1.（1）（2）是方程的組解；（3）（4）不是方程組的解．2．（1）（2）（3）（4）2.3.2一元二次不等式解法練習(xí)1．（1）x＜－1，或x＞eq\f(4,3)；（2）－3≤x≤4；（3）x＜－4，或x＞1；（4）x＝4．2．不等式可以變?yōu)?x＋1＋a)(x＋1－a)≤0，（1）當(dāng)－1－a＜－1＋a，即a＞0時(shí)，∴－1－a≤x≤－1＋a；（2）當(dāng)－1－a＝－1＋a，即a＝0時(shí)，不等式即為(x＋1)2≤0，∴x＝－1；（3）當(dāng)－1－a＞－1＋a，即a＜0時(shí)，∴－1＋a≤x≤－1－a．綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式的解為－1－a≤x≤－1＋a；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解為x＝－1；當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解為－1＋a≤x≤－1－a．習(xí)題2．3A組1．（1）（2）（3）（4）2．（1）無(wú)解（2）（3）1－eq\r(2)≤x≤1＋eq\r(2)（4）x≤－2，或x≥2B組1．消去，得．當(dāng),即時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解．將代入原方程組，得方程組的解為2．不等式可變形為(x－1)(x－a)＜0．∴當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解為1＜x＜a；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式的解為a＜x＜1．C組1．由題意，得－1和3是方程2x2＋bx－c＝0的兩根，∴－1＋3＝－eq\f(b,2)，－1×3＝－eq\f(c,2)，即b＝－4，c＝6．∴等式bx2＋cx＋4≥0就為－4x2＋6x＋4≥0，即2x2－3x－2≤0，∴－eq\f(1,2)≤x≤2．2．∵y＝－x2＋mx＋2＝－(x－eq\f(m,2))2＋2＋eq\f(m2,4)，∴當(dāng)0≤eq\f(m,2)≤2，即0≤m≤4時(shí)，k＝2＋eq\f(m2,4)；當(dāng)eq\f(m,2)＜0，即m＜0時(shí)，k＝2；當(dāng)eq\f(m,2)＞2，即m＞4時(shí)，k＝2m－2．∴

3．1相似形3.1.1．平行線分線段成比例定理在解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們常涉及到一些線段的長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比的問(wèn)題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長(zhǎng)度比.圖3.1-1在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交于點(diǎn)，，另作直線交于點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)圖3.1-1我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖3.1-2，，有.當(dāng)然，也可以得出.在運(yùn)用該定理解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“對(duì)應(yīng)”線段成比例.例1如圖3.1-2，，且求.圖3.1-2解圖3.1-2例2在中，為邊上的點(diǎn)，，求證：.證明（1）∽，證明（2）如圖3.1-3，過(guò)作直線，圖3.1-3.圖3.1-3過(guò)作交于，得，因而從上例可以得出如下結(jié)論：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.例3已知，在上，，能否在上找到一點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)在上.解假設(shè)能找到，如圖3.1-4，設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，作交于.，，且，，且圖3.1-4為的中點(diǎn).圖3.1-4可見(jiàn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)在上.我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥?wèn)題時(shí)，常常先假設(shè)其存在，再解之，有解則存在，無(wú)解或矛盾則不存在.例4在中，為的平分線，求證：.證明過(guò)C作CE//AD，交BA延長(zhǎng)線于E，AD平分由知圖3.1-5圖3.1-5.例4的結(jié)論也稱(chēng)為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例（等于該角的兩邊之比）.圖3.1-6練習(xí)1圖3.1-61．如圖3.1-6，，下列比例式正確的是（）A．B．C．D.圖3.1-72．如圖3.1-7，求.圖3.1-7如圖，在中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的長(zhǎng).圖3.1-8圖3.1-8如圖，在中，的外角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：.圖3.1-9圖3.1-9如圖，在的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BD=CE，DE延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F.求證：.圖3.1-10圖3.1-103.1．2．相似形我們學(xué)過(guò)三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定兩個(gè)三角形相似？有哪些方法可以判定兩個(gè)直角三角形相似？例5如圖3.1-11，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，求證：.證明在與中，∽，，即.圖3.1-11又與中，，圖3.1-11∽，.例6如圖3.1-12,在直角三角形ABC中，為直角，.求證：（1），；（2）圖3.1-12證明（1）在與中，，圖3.1-12∽，同理可證得.（2）在與中，，∽，我們把這個(gè)例題的結(jié)論稱(chēng)為射影定理，該定理對(duì)直角三角形的運(yùn)算很有用.例7在中，，求證：.圖3.1-13證明，圖3.1-13為直角三角形，又，由射影定理，知.同理可得..例8如圖3.1-14，在中，為邊的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn).某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：圖3.1-14當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14a）圖3.1-14當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14b）當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14c）在圖3.1-14d中，當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用n表示的一般結(jié)論，并給出證明（其中n為正整數(shù)）.解：依題意可以猜想：當(dāng)時(shí)，有成立.證明過(guò)點(diǎn)D作DF//BE交AC于點(diǎn)F，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，由可知，.想一想，圖3.1-14d中，若，則本題中采用了從特殊到一般的思維方法.我們常從一些具體的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，進(jìn)而作出一般性的猜想，然后加以證明或否定.數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是不斷探索的歷史.練習(xí)2圖3.1-15如圖3.1-15，D是的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE//BC交AC于E.圖3.1-15已知AD：DB=2：3，則等于（）A．B．C．D．若一個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為15，一條對(duì)角線把中位線分成兩條線段.這兩條線段的比是，則梯形的上、下底長(zhǎng)分別是__________.已知：的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5，與其相似的的最大邊長(zhǎng)是15，求的面積.已知：如圖3.1-16，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).請(qǐng)判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說(shuō)明理由；若四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD滿足什么條件時(shí)，EFGH是菱形？是正方形？圖3.1-16圖3.1-165．如圖3.1-17,點(diǎn)C、D在線段AB上，是等邊三角形，當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，∽？當(dāng)∽時(shí)，求的度數(shù).圖3.1-17圖3.1-17習(xí)題3.1A組如圖3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，F(xiàn)G=4，則（）A．DE=1，BC=7B．DE=2，BC=6C．DE=3，BC=5D．DE=2，BC=8圖3.1-18圖3.1-18如圖3.1-19，BD、CE是的中線，P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn)，則等于（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：6圖3.1-19圖3.1-19圖3.1-20如圖3.1-20，中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于點(diǎn)F，圖3.1-20已知BE：AB=2：3，，求.如圖3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，交AC于F，過(guò)F作FG//AB交AE于G，求證：.圖3.1-21圖3.1-21B組如圖3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F，則的值為（）圖3.1-22A．B．1C．D．2圖3.1-22如圖3.1-23，已知周長(zhǎng)為1，連結(jié)三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連結(jié)第二個(gè)對(duì)角線三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2003個(gè)三角形周長(zhǎng)為（）圖3.1-23A．B．C．D．圖3.1-23如圖3.1-24，已知M為的邊AB的中點(diǎn)，CM交BD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積與面積的比是（）A．B．C．D．圖3.1-24圖3.1-24如圖3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O，且EF//AD.求證：OE=OF；求的值；求證：.圖3.1-25圖3.1-25C組如圖3.1-26，中，P是邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP.要使∽，還要補(bǔ)充的一個(gè)條件是____________.圖3.1-26若∽，且，則=_____.圖3.1-26如圖3.1-27，點(diǎn)E是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且.求證：；圖3.1-27根據(jù)圖形的特點(diǎn)，猜想可能等于那兩條線段的比圖3.1-27（只須寫(xiě)出圖中已有線段的一組比即可）？并證明你的猜想.如圖3.1-28，在中，AB=AC，，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，圖3.1-28于F，于E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷是什么圖3.1-28形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.如圖3.1-29a，垂足分別為B、D，AD和BC相交于E，于F，我們可以證明成立.若將圖3.1-29a中的垂直改為斜交，如圖3.1-29b，相交于E，EF//AB交BD于F，則：還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；請(qǐng)找出和之間的關(guān)系，并給出證明.圖3.1-29圖3.1-293.1相似形練習(xí)11．D2．設(shè)，即.3．4．作交于，則，又得.5．作交于，即.練習(xí)21．2．12，183．4．（1）因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅?；?）當(dāng)時(shí)，為菱形；當(dāng)時(shí)，為正方形.5．（1）當(dāng)時(shí)，；（2）.習(xí)題3.1A組1．B2.B3.4．為直角三角形斜邊上的高，，又可證.B組1．C2.C3.A4．（1）.（2）（3）由（2）知C組1.(1)或.(2).2．（1）先證，可得；（2）.3．連交于，連，為等腰直角三角形，且AEDF為矩形，為斜邊的中線，為直角三角形.又可證，得，故為等腰直角三角形.4．（1）成立，（2），證略.3.2三角形3．2．1三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.圖3.2-3圖3.2-1圖3.2-2圖3.2-3圖3.2-1圖3.2-2如圖3.2-1，在三角形中，有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).例1求證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2：1.圖3.2-4已知D、E、F分別為三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，圖3.2-4求證AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.證明連結(jié)DE，設(shè)AD、BE交于點(diǎn)G，D、E分別為BC、AE的中點(diǎn)，則DE//AB，且，∽，且相似比為1：2，圖3.2-5.圖3.2-5設(shè)AD、CF交于點(diǎn)，同理可得，則與重合，AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.（如圖3.2-5）例2已知的三邊長(zhǎng)分別為，I為的內(nèi)心，且I在的邊上的射影分別為，求證：.證明作的內(nèi)切圓，則分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，圖3.2-6為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，，圖3.2-6同理，BD=BF，CD=CE.即.例3若三角形的內(nèi)心與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形.已知O為三角形ABC的重心和內(nèi)心.求證三角形ABC為等邊三角形.證明如圖，連AO并延長(zhǎng)交BC于D.O為三角形的內(nèi)心，故AD平分，圖3.2-7（角平分線性質(zhì)定理）圖3.2-7O為三角形的重心，D為BC的中點(diǎn)，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.為等邊三角形.三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）圖3.2-9圖3.2-8圖3.2-9圖3.2-8例4求證：三角形的三條高交于一點(diǎn).已知中，AD與BE交于H點(diǎn).求證.證明以CH為直徑作圓，在以CH為直徑的圓上，.同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得.，又與有公共角，，即.過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).練習(xí)11．求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形.2．（1）若三角形ABC的面積為S，且三邊長(zhǎng)分別為，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是___________;（2）若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為（其中為斜邊長(zhǎng)），則三角形的內(nèi)切圓的半徑是___________.并請(qǐng)說(shuō)明理由.3.2.2幾種特殊的三角形等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內(nèi)心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.例5在中，求（1）的面積及邊上的高；（2）的內(nèi)切圓的半徑；圖3.2-10（3）的外接圓的半徑.圖3.2-10解（1）如圖，作于.圖3.2-11為的中點(diǎn)，圖3.2-11又解得.（2）如圖，為內(nèi)心，則到三邊的距離均為，圖3.2-12連，圖3.2-12，即，解得.圖3.2-13（3）是等腰三角形，圖3.2-13外心在上，連，則中，解得在直角三角形ABC中，為直角，垂心為直角頂點(diǎn)A，外心O為斜邊BC的中點(diǎn)，內(nèi)心I在三角形的內(nèi)部，且內(nèi)切圓的半徑為（其中分別為三角形的三邊BC,CA,AB的長(zhǎng)），為什么？該直角三角形的三邊長(zhǎng)滿足勾股定理：.例6如圖，在中，AB=AC，P為BC上任意一點(diǎn).求證：.證明：過(guò)A作于D.圖3.2-14在中，.圖3.2-14在中，圖3.2-15正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱(chēng)為正三角形的中心.圖3.2-15例7已知等邊三角形ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到三邊AB，AC，BC的距離分別為，三角形ABC的高為，“若點(diǎn)P在一邊BC上，此時(shí)，可得結(jié)論：.”請(qǐng)直接應(yīng)用以上信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)（1）點(diǎn)P在內(nèi)（如圖b），（2）點(diǎn)在外(如圖c)，這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，與之間有什么樣的關(guān)系，請(qǐng)給出你的猜想（不必證明）.圖3.2-16解（1）當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)時(shí)，圖3.2-16法一如圖，過(guò)P作分別交于，由題設(shè)知，而，故，即.法二如圖，連結(jié)，圖3.2-17，圖3.2-17，又，，即.當(dāng)點(diǎn)P在外如圖位置時(shí)，不成立，猜想：.圖3.2-18注意：當(dāng)點(diǎn)P在外的其它位置時(shí)，還有可能得到其圖3.2-18它的結(jié)論，如，（如圖3.2-18，想一想為什么？）等.在解決上述問(wèn)題時(shí)，“法一”中運(yùn)用了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，“法二”中靈活地運(yùn)用了面積的方法.練習(xí)2直角三角形的三邊長(zhǎng)為3，4，,則________.等腰三角形有兩個(gè)內(nèi)角的和是100°，則它的頂角的大小是_________.滿足下列條件的，不是直角三角形的是（）A．B．C．D．已知直角三角形的周長(zhǎng)為，斜邊上的中線的長(zhǎng)為1，求這個(gè)三角形的面積.證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為一個(gè)常量.習(xí)題3.2A組已知：在中，AB=AC，為BC邊上的高，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．B．C．D．三角形三邊長(zhǎng)分別是6、8、10，那么它最短邊上的高為（）A．6B．4.5C．2.4D．8如果等腰三角形底邊上的高等于腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于_________.已知：是的三條邊，，那么的取值范圍是_________。若三角形的三邊長(zhǎng)分別為，且是整數(shù)，則的值是_________。B組如圖3.2-19，等邊的周長(zhǎng)為12，CD是邊AB上的中線，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BE，則的周長(zhǎng)為（）圖3.2-19A．B．圖3.2-19C．D．如圖3.2-20，在中，，BD是邊AC上的高，求的度數(shù)。圖3.2-20圖3.2-20圖3.2-21圖3.2-21如圖3.2-21，是AB的中點(diǎn)，AM=AN，MN//AC，求證：MN=AC。如圖3.2-22，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值。圖3.2-22圖3.2-22如圖3.2-23，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且，求證：.圖3.2-23圖3.2-23C組已知，則以為邊的三角形是（）等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．形狀無(wú)法確定圖3.2-24圖3.2-24如圖3.2-24，把紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A．B．圖3.2-25C．D．圖3.2-25如圖3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分線，且AB=BC+CD，求證：.圖3.2-26圖3.2-26如圖3.2-26，在等腰中，D是斜邊AB上任一點(diǎn)，于E，交CD的延長(zhǎng)線于F，于H，交AE于G.求證：BD=CG.3.2三角形練習(xí)11．證略2.（1）；（2）.練習(xí)21．5或2.或3.C4．設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為2，則，且，解得，.5.可利用面積證.習(xí)題3.2A組1．B2.D3.4.5.8B組1．A2.3．連，證.4．在AC上取點(diǎn)E，使AE=AB，則，.又BD=DE=EC，5．可證，因而與互余，得.C組1．C．不妨設(shè)，可得，為直角三角形.2．B3．在AB上取E使BE=BC，則，且AE=ED=DC，4．先證明，得CE=BF，再證，得BD=CG.3．3圓3．3．1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？圖3.3-2圖3.3-1圖3.3-2圖3.3-1觀察圖3.3-1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相離，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相切，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相交，如圓與直線.在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B.若直線經(jīng)過(guò)圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過(guò)圓心，如圖3.3-2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長(zhǎng)的一半，根據(jù)勾股定理，有.圖3.3-3當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，，且在中，.圖3.3-3如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.圖3.3-4圖3.3-4例1如圖3.3-5，已知⊙O的半徑OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中點(diǎn)，求弦BD的長(zhǎng)度。圖3.3-5解連結(jié)OD，交AB于點(diǎn)E。圖3.3-5是圓心，在中，OB=5cm,BE=3cm,在中，BE=3cm,DE=1cm,例2已知圓的兩條平行弦的長(zhǎng)度分別為6和，且這兩條線的距離為3.求這個(gè)圓的半徑.解設(shè)圓的半徑為，分兩種情況（如圖3.3-6）：若在兩條平行線的外側(cè)，如圖（1），AB=6，CD=，則由，得，解得.圖3.3-6（2）若在兩條平行線的內(nèi)側(cè)（含線上），AB=6，CD=，圖3.3-6則由，得，無(wú)解.綜合得，圓的半徑為5.設(shè)圓與圓半徑分別為，它們可能有哪幾種位置關(guān)系？圖3.3-7圖3.3-7觀察圖3.3-7，兩圓的圓心距為，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，兩圓相內(nèi)切，如圖（1）；當(dāng)時(shí)，兩圓相外切，如圖（2）；當(dāng)時(shí)，兩圓相內(nèi)含，如圖（3）；當(dāng)時(shí)，兩圓相交，如圖（4）；當(dāng)時(shí)，兩圓相外切，如圖（5）.例3設(shè)圓與圓的半徑分別為3和2，，為兩圓的交點(diǎn)，試求兩圓的公共弦的長(zhǎng)度.解連交于，圖3.3-8則，且為的中點(diǎn)，圖3.3-8設(shè)，則，解得。故弦的長(zhǎng)為.練習(xí)1如圖3.3-9，⊙O的半徑為17cm，弦AB=30cm，AB所對(duì)的劣弧和優(yōu)弧的中點(diǎn)分別為D、C，求弦AC和BD的長(zhǎng)。圖3.3-9圖3.3-9已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm,⊙O的半徑等于5cm，求梯形ABCD的面積。圖3.3-10如圖3.3-10，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，圖3.3-10求CD的長(zhǎng)。4．若兩圓的半徑分別為3和8，圓心距為13，試求兩圓的公切線的長(zhǎng)度.3．3．2點(diǎn)的軌跡在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長(zhǎng)度為的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.下面，我們討論一些常見(jiàn)的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上面對(duì)圓的討論，可以得出：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.我們學(xué)過(guò)，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.例3⊙O過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)、，圓心的軌跡是什么？畫(huà)出它的圖形.分析如圖3.3-11，如果以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，那么；反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離相等，即，那么以為圓心，OA為半徑的圓一定經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).這就是說(shuō)，過(guò)、點(diǎn)的圓的圓心的軌跡，就是到、兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，即和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡.答：經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的圓的圓心O的軌跡是線段的垂直平分線.練習(xí)21．畫(huà)圖說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：到定點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡；到直線的距離等于的點(diǎn)的軌跡；已知直線，到、的距離相等的點(diǎn)的軌跡.圖3.3-112．畫(huà)圖說(shuō)明，到直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.圖3.3-11習(xí)題3.3A組已知弓形弦長(zhǎng)為4，弓形高為1，則弓形所在圓的半徑為（）A．B．C．3D．4在半徑等于4的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)為（）A．B．C．D．AB為⊙O的直徑，弦，E為垂足，若BE=6，AE=4，則CD等于（）A．B．C．D．如圖3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，已知OB=10cm,OE=12cm，圖3.3-12求AB。圖3.3-12B組如圖3.3-13，已知在中，以C為圓心，CA為半徑的圓交斜邊于D，求AD。圖3.3-13圖3.3-13如圖3.3-14，在直徑為100mm的半圓鐵片上切去一塊高為20mm的弓形鐵片，求弓形的弦AB的長(zhǎng)。圖3.3-14圖3.3-14如圖3.3-15，內(nèi)接于⊙O，D為的中點(diǎn)，于E。求證：AD平分。圖3.3-15圖3.3-15如圖3.3-16，，C、D是的三等分點(diǎn)，AB分別交OC、OD于點(diǎn)E、F，求證：AE=BF=CD。圖3.3-16圖3.3-16已知線段.畫(huà)出到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡，再畫(huà)出到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡，指出到點(diǎn)的距離等于，且到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？3.3圓練習(xí)1取AB中點(diǎn)M，連CM，MD，則，且C，O，M，D共線，.2．O到AB，CD的距離分別為3cm,4cm，梯形的高為1cm或7cm，梯形的面積為7或49.3.半徑為3cm，OE=2cm.,OF=.4.外公切線長(zhǎng)為12，內(nèi)公切線長(zhǎng)為.練習(xí)2(1)以A為圓心，3cm為半徑的圓；（2）與平行，且與距離為2cm的兩條平行線；（3）與AB平行，且與AB,CD距離相等的一條直線.2.兩條平行直線，圖略.習(xí)題3.3A組1．B2.A3.B4.AB=8cm.B組1.作于M，AB=13cm,.2.AB=120cm.3.先證，再證.4．先證明再證AE=BF=AC=CD.5．有2個(gè)，圖略.圖2.3－3圖2.3－3yO－21x＝a①xxyO－21x＝a②xyO－21x＝a③練習(xí)1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．2.解關(guān)于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a為常數(shù)）．習(xí)題2．3A組1．解下列方程組：（1）（2）（3）2．解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；（4）4－x2≤0．B組1．取什么值時(shí),方程組有一個(gè)實(shí)數(shù)解?并求出這時(shí)方程組的解．2．解關(guān)于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a為常數(shù)）．C組1．已知關(guān)于x不等式2x2＋bx－c＞0的解為x＜－1，或x＞3．試解關(guān)于x的不等式bx2＋cx＋4≥0．2．試求關(guān)于x的函數(shù)y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．第五部分銜接知識(shí)點(diǎn)的專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練★專(zhuān)題一數(shù)與式的運(yùn)算【要點(diǎn)回顧】1．絕對(duì)值[1]絕對(duì)值的代數(shù)意義：．即．[2]絕對(duì)值的幾何意義：的距離．[3]兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示的距離．[4]兩個(gè)絕對(duì)值不等式:；．2．乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3](立方差公式)說(shuō)明:上述公式均稱(chēng)為“乘法公式”．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1)；(2)；(3)；(4)．[2]平方根與算術(shù)平方根的概念：叫做的平方根，記作，其中叫做的算術(shù)平方根．[3]立方根的概念：叫做的立方根，記為4．分式[1]分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱(chēng)為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：（1）；（2）．[2]繁分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，如，說(shuō)明：繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質(zhì)．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程【例題選講】例1解下列不等式：（1）（2）＞4．例2計(jì)算：（1） （2）（3） （4）例3已知，求的值．例4已知，求的值．例5計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：（1） （2）（3） （4）例6設(shè)，求的值．例7化簡(jiǎn)：（1）（2）（1）解法一：原式=解法二：原式=（2）解：原式= 說(shuō)明：(1)分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；(2)分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式．【鞏固練習(xí)】解不等式設(shè)，求代數(shù)式的值．當(dāng)，求的值．設(shè)，求的值．計(jì)算6．化簡(jiǎn)或計(jì)算： (1) (2) (3)(4)★專(zhuān)題二因式分解【要點(diǎn)回顧】因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能．因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4][5](立方和公式)[6](立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫(xiě)，運(yùn)用上述公式可以進(jìn)行因式分解．2．分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．常見(jiàn)題型：（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運(yùn)用公式3．十字相乘法（1）型的因式分解這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．∵，∴運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．（2）一般二次三項(xiàng)式型的因式分解由我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫(xiě)成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添項(xiàng)法【例題選講】例1（公式法）分解因式：(1)；(2)例2（分組分解法）分解因式：（1）（2）例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)(2)(3) (4)解：（1）（2）（3）分析：把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)．解：由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式．解：例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2)解：(1) (2) 說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)．例5（拆項(xiàng)法）分解因式【鞏固練習(xí)】1．把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)2．已知，求代數(shù)式的值．3.現(xiàn)給出三個(gè)多項(xiàng)式，，，，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解.4．已知，求證：．★專(zhuān)題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【要點(diǎn)回顧】1．一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：．由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]當(dāng)Δ0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：；[2]當(dāng)Δ0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；[3]當(dāng)Δ0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．2．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱(chēng)為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是．特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以?xún)蓚€(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．【例題選講】例1已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： （1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （3）方程有實(shí)數(shù)根； （4）方程無(wú)實(shí)數(shù)根．例2已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值．例3若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)．例4已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值．解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立．∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴∴，但．∴不存在實(shí)數(shù)，使成立．(2)∵∴要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為．【鞏固練習(xí)】1．若是方程的兩個(gè)根，則的值為( ) A． B． C． D．2．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( ) A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定3．設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則=_____，=_____．4．已知實(shí)數(shù)滿足，則=_____，=_____，=_____．5．已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．6．若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1． (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求的值．專(zhuān)題四平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)【要點(diǎn)回顧】1．平面直角坐標(biāo)系[1]組成平面直角坐標(biāo)系。叫做軸或橫軸，叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。[2]平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)直線方程對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)軸軸原點(diǎn)點(diǎn)直線直線直線直線2．函數(shù)圖象[1]一次函數(shù)：稱(chēng)是的一次函數(shù)，記為：(k、b是常數(shù)，k≠0)特別的，當(dāng)=0時(shí)，稱(chēng)是的正比例函數(shù)。

[2]正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是的一條直線，當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)及第一、第三象限，y隨x的增大而；當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)及第二、第四象限，y隨x的增大而．一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k、b是常數(shù)，k≠0)的圖象是過(guò)點(diǎn)(0，b)且與直線y=kx平行的一條直線.設(shè)(k≠0)，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k≠0)是雙曲線，當(dāng)時(shí)，圖象在第一、第三象限，在每個(gè)象限中，y隨x的增大而；當(dāng)時(shí)，圖象在第二、第四象限.，在每個(gè)象限中，y隨x的增大而．雙曲線是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是直線與；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)．【例題選講】例1已知、，根據(jù)下列條件，求出、點(diǎn)坐標(biāo)．(1)、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；(2)、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；(3)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．例2已知一次函數(shù)y＝kx＋2的圖象過(guò)第一、二、三象限且與x、y軸分別交于、兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若ΔAOB的面積為2，求此一次函數(shù)的表達(dá)式。例3如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．解：（1）在的圖象上，，又在的圖象上，，即，解得：，，反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為，（2）從圖象上可知，當(dāng)或時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值。【鞏固練習(xí)】1．函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（）2．如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標(biāo)原點(diǎn)，D在第一象限角平分線上，又知，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）過(guò)原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．專(zhuān)題五二次函數(shù)【要點(diǎn)回顧】1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)問(wèn)題[1]函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？問(wèn)題[2]函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值．當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值．上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)上圖直觀地表示出來(lái)．因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題．2．二次函數(shù)的三種表示方式[1]二次函數(shù)的三種表示方式：（1）．一般式：；（2）．頂點(diǎn)式：；（3）．交點(diǎn)式：．說(shuō)明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時(shí)，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡(jiǎn)單為原則．二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：①給出三點(diǎn)坐標(biāo)可利用一般式來(lái)求；②給出兩點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)可利用頂點(diǎn)式來(lái)求．③給出三點(diǎn)，其中兩點(diǎn)為與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).時(shí)可利用交點(diǎn)式來(lái)求．3．分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)．【例題選講】例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？例3已知函數(shù)，其中，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．例4根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．（1）已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1）；（2）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2；（3）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．例5在國(guó)內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g不超過(guò)40g付郵資160分，超過(guò)40g不超過(guò)60g付郵資240分，依此類(lèi)推，每封xg(0＜x≤100)的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）？寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象．分析：由于當(dāng)自變量x在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的．所以，可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)x在各個(gè)小范圍內(nèi)（如20＜x≤40）變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）．解：設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的解析式為由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖所示．【鞏固練習(xí)】1．選擇題：（1）把函數(shù)y＝－(x－1)2＋4的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）（2）函數(shù)y＝－x2＋4x＋6的最值情況是（）（A）有最大值6（B）有最小值6（C）有最大值10（D）有最大值2（3）函數(shù)y＝2x2＋4x－5中，當(dāng)－3≤x＜2時(shí)，則y值的取值范圍是（）（A）－3≤y≤1（B）－7≤y≤1（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜112．填空：（1）已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(－2，0)，B(1，0)，且過(guò)點(diǎn)C（2，4），則該二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）已知某二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（－1，0），（0，3），（1，4），則該函數(shù)的表達(dá)式為．3．根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，），B（1，0），C（，2）；（2）已知拋物線的頂點(diǎn)為（1，），且與y軸交于點(diǎn)（0，1）；（3）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)M（，0），（5，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，）；（4）已知拋物線的頂點(diǎn)為（3，），且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4．4.如圖，某農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞．已知墻的長(zhǎng)度為6m，問(wèn)怎樣圍才能使得該矩形面積最大？5.如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABCD移動(dòng)一周后，回到A點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的路程為x，ΔPAC的面積為y．（1）求函數(shù)y的解析式；（2）畫(huà)出函數(shù)y的圖像；（3）求函數(shù)y的取值范圍．★專(zhuān)題六二次函數(shù)的最值問(wèn)題【要點(diǎn)回顧】1．二次函數(shù)的最值．二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無(wú)最小值．2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法．第一步確定a的符號(hào)，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值．3．求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值．如：在（其中）的最值．第一步：先通過(guò)配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸：；第二步：討論：[1]若時(shí)求最小值或時(shí)求最大值，需分三種情況討論：①對(duì)稱(chēng)軸小于即，即對(duì)稱(chēng)軸在的左側(cè)；②對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的內(nèi)部；③對(duì)稱(chēng)軸大于即，即對(duì)稱(chēng)軸在的右側(cè)。[2]若時(shí)求最大值或時(shí)求最小值，需分兩種情況討論：①對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的中點(diǎn)的左側(cè)；②對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的中點(diǎn)的右側(cè)；說(shuō)明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對(duì)稱(chēng)軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置，具體情況，參考例4?！纠}選講】例1求下列函數(shù)的最大值或最小值．（1）；（2）．例2當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．例3當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍．例4當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))．分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱(chēng)軸與其范圍的相對(duì)位置．解：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為．畫(huà)出其草圖．(1)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍左側(cè)．即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍之間．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍右側(cè)．即時(shí)：當(dāng)時(shí)，．綜上所述：例5某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量(件)與每件的銷(xiāo)售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)．(1)寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)與每件銷(xiāo)售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？【鞏固練習(xí)】1．拋物線，當(dāng)=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)=_____時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)．2．用一長(zhǎng)度為米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成的最大面積為_(kāi)_______．3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值．4．已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值．5．求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))．★專(zhuān)題七不等式【要點(diǎn)回顧】1．一元二次不等式及其解法[1]定義：形如為關(guān)于的一元二次不等式．[2]一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)：三個(gè)二次)．（?。┮话愕兀辉尾坏仁娇梢越Y(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2)觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象．①如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)．則②如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)．則： ③如果圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)．則：（ⅱ）解一元二次不等式的步驟是：(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2)若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱(chēng)兩根之外)；“”型的解為(俗稱(chēng)兩根之間)；否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法解簡(jiǎn)單的分式不等式的方法：對(duì)簡(jiǎn)單分式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零.3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式．[1]當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；[2]當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；[3]當(dāng)時(shí)，不等式化為：；①若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；②若，則不等式無(wú)解．【例題選講】例1解下列不等式：(1) (2)⑴解法一：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是．解法二：解相應(yīng)的方程得：，所以原不等式的解是．(2)解法一：原不等式可化為：，即于是：，所以原不等式的解是．解法二：原不等式可化為：，即，解相應(yīng)方程，得，所以原不等式的解是．說(shuō)明：解一元二次不等式，實(shí)際就是先解相應(yīng)的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解．例2解下列不等式：(1) (2) (3)例3已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例4解下列不等式： (1) (2)例5求關(guān)于的不等式的解．解：原不等式可化為：(1)當(dāng)時(shí)，，不等式的解為；(2)當(dāng)時(shí)，．①時(shí)，不等式的解為；②時(shí)，不等式的解為；③時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)．(3)當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解．【鞏固練習(xí)】1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4)2．解下列不等式： (1) (2)(3) (4)3．解下列不等式： (1) (2)4．解關(guān)于的不等式．5．已知關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍．6．若不等式的解是，求的值．7．取何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于0？●各專(zhuān)題參考答案●專(zhuān)題一數(shù)與式的運(yùn)算參考答案例1（1）解法1：由，得；①若，不等式可變?yōu)?，即；②若，不等式可變?yōu)?，即，解得：．綜上所述，原不等式的解為．解法2：表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離，所以不等式的幾何意義即為x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標(biāo)為x的點(diǎn)在坐標(biāo)為3的點(diǎn)的左側(cè)，在坐標(biāo)為1的點(diǎn)的右側(cè)．所以原不等式的解為．解法3：，所以原不等式的解為．（2）解法一：由，得；由，得；①若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變?yōu)?，?＞4，∴不存在滿足條件的x；③若，不等式可變?yōu)椋矗?，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．解法二：如圖，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)．所以原不等式的解為x＜0，或x＞4．例2（1）解：原式=說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列．（2）原式=（3）原式=（4）原式=例3解：原式=例4解：原式=①②，把②代入①得原式=例5解：（1）原式= （2）原式=說(shuō)明：注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類(lèi)討論．（3）原式=（4）原式=例6解：原式=說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量．【鞏固練習(xí)】1．2．3．或 4．5．6．專(zhuān)題二因式分解答案例1分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或．解：(1)．(2)例2（1）分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式．解：（2）分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．解：例5解：【鞏固練習(xí)】1．．2．；3．其他情況如下：；.4．專(zhuān)題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案例1解：∵，∴(1)；(2)； (3)；(4)．例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1)(2)(3)(4)說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．【鞏固練習(xí)】1．A；2．A；3．；4．；5． (1)當(dāng)時(shí)，方程為，有實(shí)根；(2)當(dāng)時(shí)，也有實(shí)根．6．(1)； (2)．專(zhuān)題四平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)參考答案例1解：(1)因?yàn)椤㈥P(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它們橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以，，則、．(2)因?yàn)椤㈥P(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它們橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以，，，則、．(3)因?yàn)椤㈥P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，所以，，則、．例2分析：因?yàn)橹本€過(guò)第一、三象限，所以可知k>0，又因?yàn)閎＝2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過(guò)第二象限，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出此一次函數(shù)的表達(dá)式。解：∵B是直線y＝kx＋2與y軸交點(diǎn)，∴B（0，2），∴OB＝2，，過(guò)第二象限，【鞏固練習(xí)】1．B2．D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）．（2）點(diǎn)的坐標(biāo)是或．專(zhuān)題五二次函數(shù)參考答案例1解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨著x的增大而減??；采用描點(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象（如圖2－5所示）．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．例2分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷(xiāo)售量y×(銷(xiāo)售價(jià)x－120)，日銷(xiāo)售量y又是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是x的