南通市重點(diǎn)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

南通市重點(diǎn)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.2．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.213．圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，并與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.4．設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.5．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（）A. B.C. D.6．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是，若，則的通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.7．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，且其外形上下對(duì)稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.458．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若、、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離為A B.4C. D.9．已知過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知直線l的方向向量，平面α的一個(gè)法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)11．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.412．已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列an滿足，則__________14．已知點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最大值是__________15．拋物線（）上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離______.16．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過(guò)棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍20．（12分）已知的展開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中含的項(xiàng)21．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC面積的最大值.22．（10分）等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.2、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因?yàn)?，所?故選：A3、A【解析】設(shè)圓的圓心，表示出半徑，再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上，∴設(shè)圓心為(a，－a)，∵圓過(guò)，∴半徑r＝，又∵圓與相切，∴半徑r＝，則，解得a＝2，故圓心為(2，－2)，半徑為，故方程為.故選：A.4、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)閳A：①和圓：②交于A，B兩點(diǎn)所以由①-②得：,即，故坐標(biāo)滿足方程，又過(guò)AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A5、B【解析】當(dāng)可求得；當(dāng)時(shí)，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，故選：B.6、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯(cuò)誤；若，則，與題意矛盾，故C錯(cuò)誤；若，則，符合題意.故選：D.7、C【解析】設(shè)雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長(zhǎng)【詳解】設(shè)點(diǎn)是雙曲線與截面的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為故選：8、D【解析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為根據(jù)橢圓方程求得c，進(jìn)而判斷出，即得或令，進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離【詳解】解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M由于，，；，只能或令，得，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力是基礎(chǔ)題9、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最長(zhǎng)為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，所以弦長(zhǎng)，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最長(zhǎng)等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D10、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)椋?，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D11、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.12、C【解析】由拋物線的定義可知點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離等于，所以點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2019【解析】將已知化為代入可以左右相消化簡(jiǎn)，將已知化為，代入可以上下相消化簡(jiǎn)，再全部代入求解即可.【詳解】由知故所以故答案為：201914、【解析】設(shè)點(diǎn)，則且，計(jì)算得出，再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)即可求得的最大值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，可得：且，由為圓的任意一條直徑可得：，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：.15、【解析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程中可求得拋物線的方程，從而可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出【詳解】解：為拋物線上一點(diǎn)，即有，，拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，即有.故答案為：5.16、【解析】由直線垂直可得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再計(jì)算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間中直線與平面所成角的常見(jiàn)方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長(zhǎng)的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正弦值.18、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問(wèn)1詳解】解：以點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樗渣c(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為19、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分離參數(shù)法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.20、（1）10；（2）；【解析】(1)利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求出的值；(2)求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為即可求解【小問(wèn)1詳解】∵的展開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴展開(kāi)后一共有11項(xiàng)，則，解得；【小問(wèn)2詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，∴展開(kāi)式中含的項(xiàng)為21、（1）（2）【解析】（1）對(duì)，利用正弦定理和誘導(dǎo)公式整理化簡(jiǎn)得到，即可求出；（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值為1，代入面積公式求面積.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于.由正弦定理知：即.所以.所以.所以因?yàn)?，，所?所以.因?yàn)?/p>