量子力學(xué)練習(xí)答案

《量子力學(xué)》試題(A)

答案及評分標準一、簡答題(30分，每小題5分)何謂勢壘貫穿？是舉例說明。答：微觀粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象，稱為勢壘貫穿。它是一種量子效應(yīng)，是微觀粒子波粒二象性的體現(xiàn)。例如金屬電子冷發(fā)射、a衰變等現(xiàn)象都是由隧道效應(yīng)產(chǎn)生的，利用微觀粒子勢壘貫穿效應(yīng)的特性制造了隧道二極管。波函數(shù)wG,J是應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？^僅〃2的物理含義是什么？答：波函數(shù)是用來描述體系的狀態(tài)的復(fù)函數(shù)，除了應(yīng)滿足平方可積的條件之外，它還應(yīng)該是單值、有限和連續(xù)的。k(r,t)|2表示在t時刻r附近d'體積元中粒子出現(xiàn)的幾率密度。分別說明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)、正宇稱態(tài)和負宇稱態(tài)？答：當粒子的坐標趨向無窮遠時，波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。若一個本征值對應(yīng)一個以上的本征態(tài)，則稱該本征值是簡并的，所對應(yīng)的本征態(tài)即為簡并態(tài)，本征態(tài)的個數(shù)就是本征值相應(yīng)的簡并度。將波函數(shù)中的坐標變量改變一個負號，若新波函數(shù)與原波函數(shù)一樣，則稱其為正宇稱態(tài)；將波函數(shù)中的坐標變量改變一個負號，若新波函數(shù)與原波函數(shù)相差一個負號，則稱其為負宇稱態(tài)。物理上可觀測量應(yīng)該對應(yīng)什么樣的算符？為什么？答：物理上可觀測量對應(yīng)線性厄米算符。線性是狀態(tài)疊加原理要求的，厄米算符的本征值是實數(shù)，可與觀測值比較。坐標工分量算符與動量工分量算符Px的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關(guān)系。答：對易關(guān)系為L,px]=訪，測不準關(guān)系為Ax-Ap^>2一……q一. … . .......厄米算符F的本征值人孔與本征矢|〃)分別具有什么性質(zhì)?答：本征值為實數(shù)，本征矢為正交、歸一和完備的函數(shù)系二、證明題：(10分，每小題5分)證明：SSS=ixyz證明:由對易關(guān)系SS—證明:由對易關(guān)系SS—SS=2iSxyyx z及反對易關(guān)系SS+SS=0，得.qqq上式兩邊乘Sz，得SxSybz=Rz證明幺正變換不改變矩陣的本征值。

證：設(shè)F在A表象中的本征值方程為Fa=Xa,人為本征值，a為本征矢。將F和a從A表象變換到B表象，則有F=S-1FS,b=S-ia。在B表象中F'b=S-iFsS-ia=S-1Fa=S-Xa=XS-ia，即Fb=Xb。從而說明算符F在B表象中的本征值仍是X。三、（15分）質(zhì)量為m的粒子，在一維無限深勢阱中成）=；。，0<x<a[3, x<0,x>a中運動。（1）求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。（2）若t=0時，粒子處于W（W（x,0）=p（x）—」1平（x）+1平（x）21狀態(tài)上，其中，pG）為粒子能量的第n個本征態(tài)。求t=0時能量的可測值與相n應(yīng)的取值幾率。（3）求t>0時的波函數(shù)wG,'及能量可測值與相應(yīng)的取值幾率。解：（1）（5分）非對稱一維無限深勢阱中粒子的本征解為兀2力2E=——n2, n=1,2,3,…n2ma2p（x）=;-sinnxn\aa（2）（5分）將w（x,0）歸一化。 '12- '12-|c|2=1可知，歸一化常數(shù)為c=.^—。u2J于是，歸一化后的波函數(shù)為wG,0）wG,0）=昏1UQ+點G）能量的取值幾率為W（E）=—;W（E）=—; W（E）=—1 13 2 13 3 13能量取其它值的幾率皆為零。（3）（5分）因為哈密頓算符不顯含時間，故t>0時的波函數(shù)為

wG,t)=(iwG,t)=(iXRE3t(\s--Et"力1-I1—甲(x)exp-

\132F由于哈密頓量是守恒量，所以t>0時的取值幾率與t=0時相同。、二四、（15分）自旋為2、固有磁矩為M5（其中中為實常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場B=B0k中，（1）求粒子的本征值和本征函數(shù)。（2）設(shè)t=0時，粒子處于s=2的狀態(tài)，求出t>0時的波函數(shù)。（3）求出t>0時s與J的可測值及相應(yīng)的取值幾率。解：（1）（5分）體系的哈密頓算符為YBo16YBo16三方①6,①二一，B02zz 2H=—M-B=—YB0s=—在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為E=方①,1E=—枷,2（2）（5（2）（5分）在t=0時，方2|w(0)=|+)=*(：xV2k17粒子處于sz的狀態(tài)，即而0T滿足的本征方程為Xk0k1k0k1解之得氣2+氣2T(1X+:+\2k-1氣2+氣2T(1X+:+\2k-1JX由于，哈密頓算符不顯含時間，故t>0時刻的波函數(shù)為w(tw(t)=j,

E1t)+)+(ijexjp-^Et'一=3（3）（5分）因為E,孔10，所以S《是守恒量，它的取值幾率與平均值不隨時間改變，換句話說，只要計算t=0時S的取值幾率就知道了，＞0時S的取值幾率。由于ws由于ws=-,0=-；

"z2)2故有而s,的取值幾率為-Et方2))(+|+(-|)expf-Et方2))l方1)'IBy

=C0SBy

=C0S2—t2exp一一Et+exp一l方1=-四,t]=s"土t) 2五、(15分)設(shè)氫原子處于wG,o,^)^j_R2i(r)y-0g&)-；R31G)Y10g,G-%R21S1g,g的狀態(tài)上，求其能量、角動量平方及角動量z分量的可能取值與相應(yīng)的取值幾率，進而求出它們的平均值。解：選H,L2,L「為描述體系的力學(xué)量完全集，氫原子的本征解為E=一―e41n2力2n2 2分中（r,e,q=R （r）Y（0,中）其中，量子數(shù)的取值范圍是 n川n=1,2,3,??.l=0,1.2,…，n-1m=l,l-1,l-2,...,—l+1,-l利用歸一化條件求出歸一化常數(shù)為、一-、一-2主量子數(shù)n的可能取值只有兩個，即n=2,3，于是E3 18力2E=-些W（E）=2WE3 18力2E=-些W（E）=2W（E）=1.3 4f1+1[122）_1—58力25 18力2即1=1，故有角動量量子數(shù)1的可能取值只有一個，L2—2力2,W°2—3力2）=1,L2—2力2角動量磁量子數(shù)m的可能取值有兩個，即m=—1,0，于是L=0,W（L=—力）-1.4—2z255f11）—+—.124）5W（L=0）二六、（15分）一個電荷為q弱電場u=。,0,0）的作用，、質(zhì)量為H和角頻率為°的線諧振子，受到恒定 …一即H=—q&x，求其能量近似至二級修正，波函數(shù)至一級修正。 工 工解：體系的哈密頓算符為HH=—q&xH0的解為E「HGJ,nH0的解為E「、 _J.加 一? . _ 一 、由于H0的解無簡并，可以利用無簡并微擾論的計算公式H'H^E=E0+H'+Z_kn nk-k力n nk進行計算。由何中｝=:中以\2可知，H，可知，H，=一q8mna（% +\2m,n-1.n+1&1 2 m,n+1顯然，能量-級修正Hkk=0，于是，得到能量二級近似為E5+Z2、nnk豐E0-E02ri、n+-2ri、n+-力①+I2:n+1o+_： ok,n+1Eo-Eo2q282q282呻2n+—力①+I2)ri\n+一力①+I2J波函數(shù)的一級近似為E上oH=knnn'n+1E上oH=knnn'n+1oE2 k,n+1歸"-1〉lk>nlk>《量子力學(xué)》試題（B）答案及評分標準一、簡答題（30分，每小題5分）何謂定態(tài)？它有什么特點？答：能量具有確定值的狀態(tài)稱為定態(tài)。它用定態(tài)波函數(shù)中G,t）=wG2-門描寫。在定態(tài)中幾率密度和幾率流密度都與時間無關(guān)；在定態(tài)中力學(xué)量的平均值與時間無關(guān)。簡述全同性原理。答：在全同粒子所組成的體系中,兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)。3、 分別說明愛因斯坦的自發(fā)發(fā)射系數(shù)、受激輻射系數(shù)與吸收系數(shù)的物理意義。答：入威稱為原子體系由七能級躍遷到七能級的自發(fā)發(fā)射系數(shù)，它表示原子在單位時間內(nèi)由孔能級自發(fā)躍遷到氣能級的幾率。8麻稱為受激發(fā)射系數(shù)，B*稱為吸收系數(shù)。它們的意義分別是：設(shè)作用于原子的光波在oro+do頻率范圍內(nèi)的能量密度是I（W》（W），則在單位時間內(nèi)原子由孔能級受激躍遷到氣能級、并發(fā)射出能量為homk的光子的幾率是BI（omk）；在單位時間內(nèi)原子由孔能級躍

遷到e能級、并吸收能量為袍k的光子的幾率是Bk低4.簡述pauli原理。答：在Fermi子體系中，不允許有兩個或兩個以上的Fermi子處于同一量子態(tài)。5.軌道角動量x分量算符與軌道角動量y分量算符的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關(guān)系。答:對易關(guān)系為L,LLi方L。測不準關(guān)系為(AL)2偵)>馬頊2,在L的答:對易關(guān)系為x目 二 x y4zz本征態(tài)下為(本征態(tài)下為(AL)2 L)6.幺正變換具有什么性質(zhì)？答：不改變矩陣對本征值、不改變矩陣的跡。二、證明題：(10分，每小題5分)(1)證明：厄密算符的本征值是實數(shù)。證：設(shè)F的本征值方程為即=人曜，人為本征值，v為本征函數(shù)。根據(jù)厄密算符的定義』w*的定義』w*F?&=』Fv)?&，令?=v，于是有xfv叩&=人」v叩&，由此得x*=x，即人為實數(shù)。1(2)證明2(Xpx+px)是厄米算符：證：Jv*[1(xp+px)WdT=1Jv*(xp)vdT+1Jv*(px)v血12xx2 2 1x2 2 1x2=2J(pxxv1)*v2dT+2J(xpxV1)*v2dT=J=J[1(xp2x+px))v1]*v2dT=J[2(pxx+xpx)v1]*v2dT1^(xpx+p廣)是厄米算符。三、(15分)在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為。，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)v(x)=Ax(o-x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：由波函數(shù)v(x)的形式可知一維無限深勢阱的分布。粒子能量的本征函

數(shù)和本征值為,、12sin呸x,0<x<aW(x“\P a0,x<0,x>an2n2兀2方2

2^a2(n=1,2,3,…)動量的幾率分布函數(shù)為w(E)=\C|2nTOC\o"1-5"\h\zC=「w*(x)w(xx)dx=Jasin呸xW(x)dxn-x 0a先把W(x)歸一化，由歸一化條件，1=JxW(x)|2dx=JaA2x2(a—x)dx=A2Jax2(a2—2ax+x2)dx—8 0 0=A2Ja(a2x2-2ax3+x4)dx0a5a5a5 a5=A2( — + )=A2-2 5 3030A=?A\a530 n兀C 一sin——x-x(a—x)dx2^15 .n冗 ^ ,n冗xsinxdx—Jx2sinxdx]a3 0 a 0 a2^15a2 n冗 a3 .n冗 a n冗= [— xcos——x+ sin——x+ x2cos——xa3 n冗 a n2冗2 a nn a2a2 .nn 2a3 nn,a一 xsin—x一 cos—x]n2n2 a n3n3a0=^15[1—(—1)n]n3n3 5分240切(E)=CI2= [1—(—1)n]2n n6n6

960,n―1,3,5,,??n6冗60,n—2,4,6,…E="甲(x)即(x)dx—JaW(x)^W(x)dx

y 0 2g30 方2d2=卜 x(x-a)-[-- x(x-a>)}dx0a5 2gdx2-些Iax(x-a)dx-30竺(竺-竺)

ga50 ga52 3_5力2ga2,一.一…一一..一一 .一....JL.四、（15分）設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：41及氣2，現(xiàn)在受到微擾H'的作用，微擾矩陣兀為H'=H'=a,H'=H'=b；a、b都是實數(shù)。用微擾公12 21 11 22式求能量至二級修正值。并嚴格求解，然后和微擾論結(jié)果比較。解：由微擾公式得叮=氣H'mn之E（0）一E（0）EE⑴=H'=b

01 11E⑴=H'=b

02 2201￡ \HfJ201￡ \HfJ2 =a2mE01-E0/E01^E⑵02￡H12=a2mE02-E07^02^能量的二級修正值為=E01a2E=E01a2E01一E02=E02+b+a2E^⑵嚴格求解得E⑵嚴格求解得E=即（"+E傘。土E^X1 2J在\b?|E（0）-E/l條件下作級數(shù)展開，取前兩項，結(jié)果與微擾論結(jié)果相同。五、（15）設(shè)兩個電子在諧振子勢場中運動，每個電子的勢能是U(r)=若體系的Hamilton算符與電子的自旋無關(guān)，求當一個電子處于基態(tài)，另一個電子處于沿x方向運動的第一激發(fā)態(tài)時，兩電子組成的體系的波函數(shù)和相應(yīng)的體系的能量。解：電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S-方程方2—史0W(r)+U(r)W(r)=Ey(r)2旦方2,82d2d2、，、 1 ,、 _,、—2「辦2+世2+邊2)W(r)+2旦①2r2y(r)=Ey(r)考慮到r2=x2+J2+z2，令y(r)=X(x)K(j)Z(z)方2,82 82 82、一1 , 、一_一—2-(8—+8—+—)XYZ+2旦①2(x2+J2+z2)XYZ=EXYZ+岬2J2)/力2182X1 、/力2+岬2J2)(— +■①2x2)+(—2旦X8x2 2 2旦Y8x2力2182Z1+(— +一口①2z2)=E2旦Z8x22=(—加182X+1 x2)=ETOC\o"1-5"\h\z2旦X8x2 2(—歸1竺+1旦①2J2)=E2旦Y8x22 j(—生—^^+1旦①2z2)=E2旦Z8x2 2 z

nX(x)=Ne-按x2H(ax)(y)=Ne-ta2y2H(ay)m m m(y)=Ne-；a2y2H(ay)mm mH(ax)H(ay)H,(az)H(ax)H(ay)H,(az)a其中N=】，一-n\ki/22〃n!nW=nW=W (r)=0 0003/2e-扣2對于沿x方向的第一激發(fā)態(tài)n=1m=/=0,H(x)=2axiW=WW=W(r)=2a5/2v2K3/41—xe2兩電子的空間波函數(shù)能夠組成一個對稱波函數(shù)和一個反對稱波函數(shù)，其形式為W(r,r)=A[W(r)W(r)+W(rW(r))]TOC\o"1-5"\h\zS1 2w「2 0 1 1 2 110 2a4 1 1 a4 1,a2(r2+r2) a2(r2+r2) a2(r2+r2) [xeca 技1 +r2)+xeca(1 +r2)]— (x+x )e ca (r1 2)I/vJ2 1/vJ2 ] \ 1/v/J2a4 1a2(a4 1a2(r2+r2) (x2-x1)e2a(r1+r2)W(r,r)=4[W(r)W(r)-W(r)W(r)]A12 .、.?2 01 12 02 11而兩電子的自旋波函數(shù)可組成三個對稱態(tài)和一個反對稱態(tài)，即可、雄、、S3）時A綜合兩方面，兩電子組成體系的波函數(shù)應(yīng)是反對稱波函數(shù)，即獨態(tài)：①]=w$rr2）知三重態(tài):氣=wA([，r2)x?)%=WA(r，r)X"中=W(r,r)x⑶三重態(tài):4A12S

六、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是W=1R(r)Y(六、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是W=TOC\o"1-5"\h\z21 11—R(r)Y(9,中)2 21 10求：（1）能量、軌道H3分2分3分2分3分2分\o"CurrentDocument"角動量平方L2、z分量L和自旋角動量平方S2、z求：（1）能量、軌道H3分2分3分2分3分2分1值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。（2）總磁矩M=-￡l-9S的z分量平2日均值。解：n=2,E2=-,幾率為1。L=2加，幾率為1。L=方,0,幾率分別為1/4,3/4,平均值為h：4。S2=3h2...?4，幾率為1。S=h2,-h2,幾率分別為1/4,3/4，平均值為-腹4。M=eh：8p。《量子力學(xué)》試題（C）

答案及評分標準一、簡答題（30分）簡述量子力學(xué)中態(tài)的疊加原理。答：如果W和W是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加W=cW+cW（c,c1 2 11 2 2 12是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能的狀態(tài)，這就是量子力學(xué)中態(tài)的疊加原理。其含義為：當粒子處于W]和W2的線性疊加態(tài)W時，粒子是既處在態(tài)W],又處在態(tài)W2。簡要解釋一維線性諧振子的零點能。答：一維線性諧振子的零點能為E0=2ho，它是諧振子基態(tài)的能量，是一種量子效應(yīng)，是測不準關(guān)系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具體體現(xiàn)，諧振子永遠不會靜止。分別說明愛因斯坦的自發(fā)發(fā)射系數(shù)、受激輻射系數(shù)與吸收系數(shù)的物理意義。答：Amk稱為原子體系由孔能級躍遷到孔能級的自發(fā)發(fā)射系數(shù)，它表示原子在單位時間內(nèi)由孔能級自發(fā)躍遷到氣能級的幾率。B^稱為受激發(fā)射系數(shù)，B^稱為吸收系數(shù)。它們的意義分別是：設(shè)作用于原子的光波在①r①+d①頻率范圍內(nèi)的能量密度是I?S)，則在單位時間內(nèi)原子由七能級受激躍遷到氣能級、并發(fā)射出能量為力①心的光子的幾率是B”(&)；在單位時間內(nèi)原子由九能級躍遷到孔能級、并吸收能量為舟、的光子的幾率是BJ叩。簡述pauli原理。答：在Fermi子體系中，不允許有兩個或兩個以上的Fermi子處于同一量子態(tài)。坐標工分量算符與動量工分量算符Px的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關(guān)系。答：對易關(guān)系為tx,px]=訪，測不準關(guān)系為Ax-Apx>2幺正變換具有什么性質(zhì)？答：不改變矩陣對本征值、不改變矩陣的跡。二、證明題：(10分)(1)證明：厄密算符的本征值是實數(shù)。證：設(shè)F的本征值方程為Fw=^W，力為本征值，W為本征函數(shù)。根據(jù)厄密算符的定義』w*=』=)?&，令gw，于是有人』W*Wdc=~』w*wdc，由此得x*=x，即人為實數(shù)。(2)證明：SSS=i。xyz證：由對易關(guān)系SS—SS=2iS及反對易關(guān)系SS+SS=0，得66=i(Sxyz上式兩邊乘S，得SSS=icy2,/S2=1 SSS=iz xyzz z xyzO8,|x|>aT 中運動。(1), [0,|x|<a求能量本證函數(shù)和本征值。(2)證明在該粒子的任一定態(tài)中，動量的平均值為零。(3)設(shè)t=0時體系處于狀態(tài)

TOC\o"1-5"\h\z1+i.2nx1 世IIsin + cos——,|x|<aa 、；2a 2a0,XI2a求t時刻的狀態(tài)wG,D=?。（4）在上述wG,D態(tài)粒子的能量可能值及其幾率、平均值。解：（1）（5分）能量本征值E="〃（n=1,2, ）n 8pa2能量本征函數(shù)J_LsinJ_LsinnK(x+a) (|x|<a)a 2a =<0 (|x|>a)■—sin^^x, (|x|<a),n=2,4,—\a 2acos^-x, (XI<a),n=1,3,—\a 2a0,(X>a)（2）由于粒子在所有定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱，而動量算符具有奇宇稱，所以在粒子的任何一個定態(tài)中動量的平均值為零。（2分）(3)wG,0)=1-+iw4G)+#w1G)W（x,t）=1+iW4G）e-iEt/力+*WG）e-iEt/力（5分）兀2加 1 「 2兀2加1 17兀2加（4）E1 =8虹幾率 2； E4=pa2，幾率2； E=18pa2（3分）四、（15分）如果類氫原子的原子核不是點電荷，而是半徑為r0、電荷均勻分布的小球，計算這種效應(yīng)對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。解：這種分布只對r<r的區(qū)域有影響，對r>r的區(qū)域無影響。據(jù)題意知H=U(r)-U0(r)其中0（r）是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，即U（r）=-M-4雙rU（r）為考慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在r>七區(qū)域，U（r）=-^一-0在r＜七區(qū)域，U（r）可由下式得出,U(r)=—eMEdrZe4 —nr34nr333ZeZe r,4nsr300(r<r)(r>r)U(r)=—ejr0Edr—ej3Edrr r0Ze2fr/

0rdr一

4nsr3r00Ze2(r2—r2)—8nsr3000ZeZe2(r2—r2)—8nsr3000Ze2Ze2(3r2—r2)0(r<r)Ze2(3r2—r2)+0Ze28K8r300(r<r)(r>r)由于r很小，所以H<<H(0)2pV2+U0(r)可視為一種微擾，由它引起的Z3一級修正為（基態(tài)w.0）=（Z

—r

)1/2ea0na30=jv(0)*HV(0)dT1jr0[—Ze2na300(3r2—r2)8nsr3 000Ze2 —"r+ ]ear4nr2dr4nsr0??r<<a0，2Zra0 ?1Z"2 jr0(3r02r2—r4)dr+生己0000 00Z4e2 r5 Z4e2 (r5—")+ r2

2nsa3r305 2nsa30Z4e2 r210nsa30002Z4e2 『r25a3 0010分一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒五、（15分）子波函數(shù)構(gòu)成？解：體系可能的狀態(tài)有4個。1分設(shè)兩個單粒子態(tài)為七，七，則體系可能的狀態(tài)為氣二4時（5（q） 3分1I1I2i3中=4(q)4(q)4(q)2j1j2j3 3分中=上[4(q)4(q)4(q)+4(q)4(q)4(q)；3i1i 2 j3i1i3j2+4(q)4(q)4(q)]i2i3j1中二—[4 (q )4 (q )4 (q )+4 (q )4 (q )4 (q )\：3j1 j 2i 3j1j3i2+4(q)4(q)4(q)]j2j3i11R(r)Y(O,中)六、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是W二求：（六、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是W二求：（1）能量、軌道?再 八一蛆R(r)Y(O,中)2 21 10角動量平方L、Z分量L和自旋角動量平方S、Z分量S的可能值、這些可能Z Z"["[值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。（2）總磁矩M=-—L-已S的Z分量平2日日均值。TOC\o"1-5"\h\z解：n=2,氣=-簫^，幾率為1。 3分L=2力2，幾率為1。 2分、=方，0，幾率分別為1/4，3/4，平均值為W:4。 3分S2=3力2.；4，幾率為1。 2分S廣方『2,-您2，幾率分別為1/4，3/4，平均值為-方J4。 3分M=eh!如 2分°《量子力學(xué)》試題（A）答案及評分標準

一、簡答題（30分，每小題6分）簡述德布羅意假設(shè)？答：具有能量E和動量P的自由粒子與一個頻率為v、波長為人的平面波相聯(lián)系。E=ho,p=￡。波函數(shù)wG,J是應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？^僅92的物理含義是什么？答：波函數(shù)是用來描述體系的狀態(tài)的復(fù)函數(shù)，除了應(yīng)滿足平方可積的條件之外，它還應(yīng)該是單值、有限和連續(xù)的。k（r,t）|2表示在七時刻r附近d'體積元中粒子出現(xiàn)的幾率密度。什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)？它是否可看成是平面波的疊加？答：當粒子的坐標趨向無窮遠時，波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。它可以用平面波展開。坐標x分量算符與動量x分量算符px的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關(guān)系。答：對易關(guān)系為L,px]=訪，測不準關(guān)系為Ax-Apx>2一……q一. … . .......厄米算符F的本征值人孔與本征矢|〃）分別具有什么性質(zhì)?答：本征值為實數(shù)，本征矢為正交、歸一和完備的函數(shù)系二、證明題：（10分，每小題5分）ddd?（1）證明：°x°■仁證明：由對易關(guān)系SS-6cy=2i6及反對易關(guān)系SS+SS=0，得.qqq上式兩邊乘.qqq上式兩邊乘°z，得。，七氣=吒ggg?CTCTCT=Ixyz（2）證明幺正變換不改變矩陣的本征值。證：設(shè)F在A表象中的本征值方程為Fa=￡a，人為本征值，a為本征矢。將F和a從A表象變換到B表象，則有F，=S-1FS,b=S-ia。在B表象中F'b=S-1FsS-1a=S-1Fa=S-1￡a=￡S-1a，即F'b=￡b。從而說明算符F在B表象中的本征值仍是人。三、（15分）質(zhì)量為m的粒子，在一維無限深勢阱中成）=；。，0<x<aM， x<0,x>a

中運動。求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。解：（15分）非對稱一維無限深勢阱中粒子的本征解為E= 〃2, 72=1,2,3，…?2m。2（\ \2.nncpVx7=1—sm x〃 \aa四、（15分）自旋為、固有磁矩為材=?。ㄆ渲衴為實常數(shù)）的粒子，處于2均勻外磁場B=Bk中，求粒子的本征值和本征函數(shù)。解：（15分）體系的哈密頓算符為箜島三箜島三Eq一以2 2H=—M?B=—yBs=?0zl<P)=Xl<P)=X&)=l+)<p)=xG)=|—)2' -1/2zfE=力。1E=一方。2五、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是五、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是W=R21-號R(r)Y(9,(p)2 21 10(叫％)。求：（1）能量、軌道角動量平方〃、Z分量￡和自旋角動量平方。2、Z分量^的可能值、這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。（2）總磁矩M=-—L--S的z分量平2|Ll|Ll均值。TOC\o"1-5"\h\z解：n=2,E=-叩：，幾率為1。 3分2 8力2￡2=2力2,幾率為1。 2分L=九0,幾率分別為1/4,3/4,平均值為方/4。 3分S2=3/z2/4,幾率為1。 2分S=方,2,-您‘2,幾率分別為1/4,3/4,平均值為-方/4。 3分M=e/z/8p六、（15分）一個電荷為0、質(zhì)量為u和角頻率為①的線諧振子，受到恒定弱電場U=G，0,0)的作用，即H=-q$x，求其能量至二級近似。解：體系的哈密頓算符為H解：體系的哈密頓算符為HH=—q&x、里.. ... ... 由于H0的解無簡并，可以利用無簡并微擾論的計算公式H'H^E=E0+H+￡ kn nk.+|n+|n+1&m,n-1\2 m，n+1進行計算。由｛mx\n)=:i1箏以\2可知，H，可知，H，mn.n+1q om,n+1顯然，能量-級修正Hkk=0，于是，得到能量二級近似為E5+￡2、nn人豐E0—E0、n《 :n+K竺]2￡

aJk豐竺]2￡

aJk豐n*2k,n—1\'2 k,n+1Eo-E02上￡h①k豐2上￡h①k豐nq282呻2Sn+1Qo+o2k,n—1 2 k,n+1n+—力①+I 2Jr 1\n+一力①+I2J《量子力學(xué)》試題(B)答案及評分標準一、簡答題(30分，每小題6分)何謂定態(tài)？它有什么特點？答：能量具有確定值的狀態(tài)稱為定態(tài)。它用定態(tài)波函數(shù)中G,t)=wG2描寫。在定態(tài)中幾率密度和幾率流密度都與時間無關(guān)；在定態(tài)中力學(xué)量的平均值與時間無關(guān)。簡述全同性原理。

答：在全同粒子所組成的體系中,兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)。3、分別說明愛因斯坦的自發(fā)發(fā)射系數(shù)、受激輻射系數(shù)與吸收系數(shù)的物理意義。答：A^^稱為原子體系由孔能級躍遷到孔能級的自發(fā)發(fā)射系數(shù)，它表示原子在單位時間內(nèi)由孔能級自發(fā)躍遷到氣能級的幾率。B^稱為受激發(fā)射系數(shù)，B^稱為吸收系數(shù)。它們的意義分別是：設(shè)作用于原子的光波在①r①+d①頻率范圍內(nèi)的能量密度是ISdS），則在單位時間內(nèi)原子由七能級受激躍遷到孔能級、并發(fā)射出能量為叫k的光子的幾率是BmI（&）；在單位時間內(nèi)原子由九能級躍遷到孔能級、并吸收能量為舟、的光子的幾率是BJ依）4.簡述pauli原理。答：在Fermi子體系中，不允許有兩個或兩個以上的Fermi子處于同一量子態(tài)。5.軌道角動量x分量算符與軌道角動量y分量算符的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關(guān)系。答:對易關(guān)系為LyL^Li方七。測不準關(guān)系為（△氣I-偵"^答:對易關(guān)系為本征態(tài)下為(本征態(tài)下為(AL)2L)二、證明題：（10分，每小題5分）（1）證明：厄密算符的本征值是實數(shù)。證：設(shè)F的本征值方程為Fw=^w，力為本征值，v為本征函數(shù)。根據(jù)厄密算符的定義』v*F^^dT=f^^v^^dT，令?=v，于是有人』w*VdT=人」v*VdT，由此得人*以，即人為實數(shù)。._1(2)證明2(xpx+pxx)是厄米算符：證：fv*[1(xp+px)]VdT=1fv*(xp)vdT+1fv*(px)vdT12xx2 2 1x2 2 1x2=-f(pxv)*vdT+-f(xpv)*vdT2x1 2 2x1 2=f[2(xpx+pxx))v1]*v2dT=f[2(px+xp)v1]*v2dT

12(xpx+pxX)是厄米算符。三、(15分)在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)v⑴=山(。-x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：由波函數(shù)v(x)的形式可知一維無限深勢阱的分布。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為,、12sin竺x,0<x<aV(x>|Ta a0, x<0,x>an2冗2力2(n=1(n=1,2,3,…)n 2pa2動量的幾率分布函數(shù)為w(E)=\C|2nTOC\o"1-5"\h\zC=』8甲*(x)v(x)dx=Jasin呸xv(x)dxn— 0a先把v(x)歸一化，由歸一化條件，1=J"V(x)|2dx=JaA2x2(a-x)dx=A2Jax2(a2-2ax+x2)dx-8 0 0=A2Ja(a2x2-lax3+x4)dx0a5a5a5、 a5=A2(a-—+a)=A2a2 5 30a2,30 n冗C=Ja—-——sin x-x(a-x)dx\'a\a5a=&5[aJaxsi xdx-Jax2si蓊xdx]a3 0a 0a2J15A3「“2 nn a3.nn a[-——xcos——x+ sin——x+——niz a 冗2a minitX2COS——a2a2?2712.nn 2a3 nn「xsinx-cosx]

a "3冗3a24ftG)(E)=|C|2=—[l-(-l)?]2?況6冗6960 9"6冗60,n—2,4,6,???E=f°°w(x)即 =Jwoo史￥(尤用-oo o2jJ,=\a30x(x-a)[-^2d2x(x-a)Vxoas 2gdx^理iU“壯=次（竺-竺呻o 呻2 3四、（15分）設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：E及E,01 02現(xiàn)在受到微擾白'的作用，微擾矩陣元為H'=H'=a,H'=H'=b；11 2212 21式求能量至二級修正值。解：由微擾公式得"、。都是實數(shù)。用微擾公&i)=Hfn nnEq)nHf mu.E(o)-E(0)mn mE⑴=H'=b01 11

E⑴=H‘=b

02 22EQ)01W ml.E-EE-Em01 0m01 02E⑵=Z- Hm12 =—^—02 m E02-E0m E02一11..?能量的二級修正值為五、E1=E01+人+EE 5分01 02 5分一一。 a2E2=E02+b+E-E 5分02 01 5分(15)設(shè)兩個電子在諧振子勢場中運動，每個電子的勢能是1”、( ,)U(r)=—日①2r2=一日①2'x2+J2+z272若體系的Hamilton算符與電子的自旋無關(guān)，求當一^電子處于基態(tài)，另一^電子處于沿x方向運動的第一激發(fā)態(tài)時，兩電子組成的體系的波函數(shù)和相應(yīng)的體系的能量。解：電子波函數(shù)的空間部分滿足定態(tài)S-方程方2 _ ,、-一Vv(r)+U(r)W(r)=E^(r)2旦方2d2 d2d2 1-京(相+斯+忘)v(r)+2岬2r2V(r)=Ev(r)考慮到 r2=x2+J2+z2，令V(r)=X(x)K(j)Z(z)力2,82d2d2、__1 , 、-一一_-2(8+8+8)XYZ+2旦①2(x2+J2+z2)XYZ=EXYZ,力2182X1 、,力2182Y1 、(-+-U①2X2)+(-+U①2J2)2旦X8x22 2旦Y8x22力2182Z1+(- +一口①2z2)=E2旦Z8x22n(-歸—竺+1旦①2x2)=ETOC\o"1-5"\h\z2旦X8x2 2(-生1竺+1旦①2J2)=E2旦Y8x22 j加182Z1(— +—?①2z2)=E2旦Z8x2 2 z

E—E+E+EnX(x)—Ne-2*x2H(ax)(y)—Ne-1a2y2H(ay)TOC\o"1-5"\h\zm m m(y)—Ne-1a2y2H(ay)mm mW (r)—NNNe-2H(ax)H(ay)H(az)nm￡ nm￡ n m ￡>>> :a :u①其中N ,a=，——n、'兀1/22nn! \方對于基態(tài)n=m=￡=0,H0—1nW=nW=W (r)—0 0003/2e-扣2對于沿X方向的第一激發(fā)態(tài)n=1m=￡=0, H(x)=2ax1W=WW=W(r)—2a5/2V2K3/41—xe2兩電子的空間波函數(shù)能夠組成一個對稱波函數(shù)和一個反對稱波函數(shù)，其形式為W(r,r)=A[W(r)W(r)+W(rW(r))]TOC\o"1-5"\h\zS12.J2 01 12 1102a4 1 1 a4 1,a2(r2+r2) a2(r2+r2) a2(r2+r2) [xeca 技1 +r2)+xeca(1 +r2)]— (x+x )e ca (r1 2)I/vJ2 1/vJ2 ] \ 1/v/J2a4 1a2(a4 1a2(r2+r2) (x2-x1)e2a(r1+r2)W(r,r)—土[W(r)W(r)-W(r)W(r)]A12 ：9 01 12 02 11而兩電子的自旋波函數(shù)可組成三個對稱態(tài)和一個反對稱態(tài)，即可、雄、、S3）時A綜合兩方面，兩電子組成體系的波函數(shù)應(yīng)是反對稱波函數(shù)，即獨態(tài)：①]=w$rr2）知三重態(tài):氣=wAr?x?)%=WA(fr)X"中=W(r,r)x⑶三重態(tài):I4A12S

六、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是W=1R(r)Y(六、（15分）設(shè)氫原子的狀態(tài)是W=TOC\o"1-5"\h\z221 11—R(r)Y(9,中)2 21 10求：（1）能量、軌道H3分2分3分2分3分2分\o"CurrentDocument"角動量平方L2、z分量L和自旋角動量平方S2、z求：（1）能量、軌道H3分2分3分2分3分2分1值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。（2）總磁矩M=-￡l-9S的z分量平2日均值。解：n=2,E2=-,幾率為1。L=2加，幾率為1。L=方,0,幾率分別為1/4,3/4,平均值為h：4。S2=3h2...?4，幾率為1。S=h2,-h2,幾率分別為1/4,3/4，平均值為-腹4。M=eh：8p?！读孔恿W(xué)》試題（C）

答案及評分標準一、簡答題（30分，每小題6分）簡述量子力學(xué)中態(tài)的疊加原理。答：如果W和W是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加W=cW+cW（c,c1 2 11 2 2 12是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能的狀態(tài)，這就是量子力學(xué)中態(tài)的疊加原理。其含義為：當粒子處于W]和W2的線性疊加態(tài)W時，粒子是既處在態(tài)W],又處在態(tài)W2。簡要解釋一維線性諧振子的零點能。答：一維線性諧振子的零點能為E0=2ho，它是諧振子基態(tài)的能量，是一種量子效應(yīng)，是測不準關(guān)系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具體體現(xiàn)，諧振子永遠不會靜止。分別說明愛因斯坦的自發(fā)發(fā)射系數(shù)、受激輻射系數(shù)與吸收系數(shù)的物理意義。答：Amk稱為原子體系由孔能級躍遷到孔能級的自發(fā)發(fā)射系數(shù)，它表示原子在單位時間內(nèi)由孔能級自發(fā)躍遷到氣能級的幾率。B^稱為受激發(fā)射系數(shù)，B^稱為吸收系數(shù)。它們的意義分別是：設(shè)作用于原子的光波在①r①+d①頻率范圍內(nèi)的能量密度是I?S），則在單位時間內(nèi)原子由七能級受激躍遷到氣能級、并發(fā)射出能量為力①心的光子的幾率是B”（&）；在單位時間內(nèi)原子由九能級躍遷到孔能級、并吸收能量為舟、的光子的幾率是BJ叩。簡述pauli原理。答：在Fermi子體系中，不允許有兩個或兩個以上的Fermi子處于同一量子態(tài)。坐標工分量算符與動量工分量算符Px的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的測不準關(guān)系。答：對易關(guān)系為tx,px]=訪，測不準關(guān)系為Ax-Apx>2二、證明題：（10分，每小題5分）（1）證明：厄密算符的本征值是實數(shù)。證：設(shè)F的本征值方程為Fw=^W，力為本征值，W為本征函數(shù)。根據(jù)厄密算符的定義』w*=』=）?&，令gw，于是有人』W*Wdc=~』w*wdc，由此得x*=x，即人為實數(shù)。（2）證明：SS