遼寧葫蘆島協(xié)作校2024屆高二數學第一學期期末經典試題含解析

遼寧葫蘆島協(xié)作校2024屆高二數學第一學期期末經典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列滿足，，則（）A. B.C. D.2．在等比數列中,，,則等于A. B.C. D.或3．在平面直角坐標系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當時，的最小值為（）A. B.C. D.4．已知數列是等比數列，，是函數的兩個不同零點，則等于（）A. B.C.14 D.165．已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.36．橢圓的一個焦點坐標為，則實數m的值為（）A.2 B.4C. D.7．小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績如下表所示，設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.8．設為空間中的四個不同點，則“中有三點在同一條直線上”是“在同一個平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件9．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.10．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.11．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）12．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨特的建筑結構而聞名，其外觀有五層而實際上內部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接2022年春節(jié)的到來，有網友建議在黃鶴樓內部掛燈籠進行裝飾，若在黃鶴樓內部九層塔樓共掛1533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數是上一層燈籠數的兩倍，則內部塔樓的頂層應掛______盞燈籠14．已知的展開式中項的系數是，則正整數______________.15．已知空間向量，，若，則______16．求值______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設數列是公比大于0的等比數列，其前項和為，數列是等差數列，其前項和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數列和的通項公式；（2）求和.18．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.19．（12分）在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離之比為.動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么圖形；（2）已知曲線與軸的交點分別為，點是曲線上異于的一點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.20．（12分）已知橢圓C：的長軸長為，P是橢圓上異于頂點的一個動點，O為坐標原點，A為橢圓C的上頂點，Q為PA的中點，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當點M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時，求直線l的方程.21．（12分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對五校高三學生進行綜合素質測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質成績的平均值和中位數；(每組數據用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.22．（10分）已知數列為正項等比數列，滿足，，數列滿足（1）求數列，的通項公式；（2）若數列的前n項和為，數列滿足，證明：數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據遞推關系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.2、D【解析】∵為等比數列，∴，又∴為的兩個不等實根，∴∴或∴故選D3、A【解析】設出點坐標，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設，根據雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設點坐標為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設，由雙曲線的定義可知，所以，當且僅當、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A4、C【解析】根據等比數列的性質求得正確答案.【詳解】是函數的兩個不同零點，所以，由于數列是等比數列，所以.故選：C5、B【解析】由直徑所對圓周角是直角，結合雙曲線的幾何性質和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即所以故選：B6、C【解析】由焦點坐標得到，求解即可.【詳解】根據焦點坐標可知，橢圓焦點在y軸上，所以有，解得故選：C.7、C【解析】根據圖表數據可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和.可知故選：C8、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過兩條平行直線,有且只有一個平面,可得,當時,同一個平面上,但中無三點共線,故必要條件不成立;故選:A【點睛】本題考查點線面的位置關系和充分必要條件的判斷,重點考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個推論：經過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面;經過兩條平行直線,有且只有一個平面;經過兩條相交直線,有且只有一個平面;9、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A10、B【解析】根據向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.11、B【解析】根據空間向量線性運算的坐標表示即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以.故選：B.12、B【解析】根據特稱命題的否定變換形式即可得出結果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據給定條件，各層燈籠數從上到下排成一列構成等比數列，利用等比數列前n項和公式計算作答.【詳解】依題意，各層燈籠數從上到下排成一列構成等比數列，公比，前9項和為1533，于是得，解得，所以內部塔樓的頂層應掛3盞燈籠.故答案為：314、4【解析】由已知二項式可得展開式通項為，根據已知條件有，即可求出值.詳解】由題設，，∴，則且為正整數，解得.故答案為：4.15、7【解析】根據題意，結合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】根據題意，易知，因為，所以，即，解得故答案為：716、【解析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結果為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據等比數列列出方程求出公比得通項公式，再由等差數列列出方程求出首項與公差可得通項公式，選②③與①相同的方法求數列的通項公式;（2）根據等比數列、等差數列的求和公式解計算即可.【小問1詳解】選條件①：設等比數列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設等比數列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數列的公差為，，，解得，，選條件③：設等比數列的公比為，，，解得或，，，.設等差數列的公差為，，，解得，【小問2詳解】由（1）知，，18、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設平面的法向量為，則，故可設.，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設，則，，，設直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.19、（1），曲線是以為焦點的橢圓；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，即求；（2）利用斜率公式及橢圓方程計算即得.【小問1詳解】設點坐標為，根據題意，得，左右同時平方，得，整理得，，即，所以曲線的方程是，曲線是以為焦點的橢圓.【小問2詳解】由題意得，設的坐標是，因為點在曲線上，所以，因為，所以，所以為定值.20、（1）（2）【解析】（1）設點，求出直線、直線的斜率相乘可得，結合可得答案；（2）設直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立，代入得，設，再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，即，則，設點，∵Q為的中點，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設直線l的方程為，聯(lián)立化簡得，，設，則，易知M，N到y(tǒng)軸的距離之和為，，設，∴，當且僅當即時等號成立，所以當時取得最大值，此時直線l的方程為.21、（1）平均值為74.6分，中位數為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數和中位數算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數在70~80之間，設為，則，解得，∴綜合素質成績的中位數為75分.【小問2詳解】設這6名同學分別為，，，，1，2，其中設1，2為文科生，從6人中選出3人，所