吉林省白城十四中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

吉林省白城十四中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來(lái)的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8202．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606年）所著.該書(shū)中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數(shù)是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.13．如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列5．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A.99 B.131C.139 D.1417．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）A. B.C. D.8．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交9．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為910．設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為Q（點(diǎn)Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.11．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.12．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)據(jù)6，8，9，10，7的方差為_(kāi)_____14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.15．函數(shù)滿足，且，則的最小值為_(kāi)__________.16．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是，則＝______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，E的離心率為.短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.18．（12分）已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.19．（12分）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.20．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解.問(wèn)題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.21．（12分）已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵已知過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，列出數(shù)列的前6項(xiàng)，將其中是數(shù)列的項(xiàng)的所有數(shù)去掉即可求解.【詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項(xiàng)分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項(xiàng)，3、27、243不是數(shù)列的項(xiàng)，且，所以數(shù)列中第7項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為.故選：C.2、A【解析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式和求和公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)這個(gè)塔頂層有盞燈，則問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為381，所以，解得，所以這個(gè)塔的最底層有盞燈.故選：A.3、A【解析】分別取的中點(diǎn)，易得，則點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，設(shè)外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點(diǎn)，在等邊三角形中，，是中位線，則都是等邊三角形，所以，所以點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，則，設(shè)外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷4、D【解析】由，化簡(jiǎn)得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.5、D【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.6、D【解析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D7、A【解析】由余弦定理計(jì)算求得角,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由余弦定理得，,∴，∴，故選：A8、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫(huà)圖說(shuō)明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過(guò)點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.9、C【解析】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對(duì)于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對(duì)于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對(duì)于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對(duì)于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對(duì)于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）故D正確.故選：C10、D【解析】連接Q和右焦點(diǎn)，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫(xiě)出兩直線方程，聯(lián)立可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b、c關(guān)系﹒【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過(guò)F(－c，0)，Q過(guò)(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D11、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A12、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故兩直線平行時(shí)又之間的距離為，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】首先求出數(shù)據(jù)的平均值，再應(yīng)用方差公式求它們的方差.【詳解】由題設(shè)，平均值為，∴方差.故答案為：2.14、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為，進(jìn)一步可以得到，進(jìn)而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.15、6【解析】化簡(jiǎn)得出，由化簡(jiǎn)后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為6.故答案為：616、3【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，可得的值，根據(jù)點(diǎn)M在切線上，可求得的值，即可得答案.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，又在切線上，所以，則=3，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡(jiǎn)可得，設(shè)，，可得，，由此證明，再證明當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也成立，由此確定存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立【小問(wèn)1詳解】由已知得，離心率，所以，故橢圓E的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立方程組得，，所以，..，，所以.所以.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立方程組，得，.，，所以.綜上，存在實(shí)數(shù)使得恒成立.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．18、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證，只要證，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】，，即證：，即證：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，所以，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，所以曲線的切點(diǎn)為，于是有，即；【小問(wèn)2詳解】由可得：，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，由，設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用常變量分離法，結(jié)合轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選③：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.小問(wèn)1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以數(shù)列等差數(shù)列，所以.21、（1）；（2）【解析】(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求c值，a值，然后可求出b的值．進(jìn)而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）先求出直線方程然后與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出|AB|的長(zhǎng)度【詳解】解：⑴由，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6得：所以∴橢圓方