湖南省邵陽市洞口一中、隆回一中、武岡二中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省邵陽市洞口一中、隆回一中、武岡二中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線與橢圓：有公共焦點(diǎn)，.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)為雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的余弦值為（）A. B.C. D.2．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．1852年英國(guó)來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1444．不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)7．下列語句為命題的是（）A. B.你們好！C.下雨了嗎？ D.對(duì)頂角相等8．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對(duì)立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為9．已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，從中隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.0374510．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形11．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C.1 D.212．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.14．已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是，則正整數(shù)______________.15．在公差不為0的等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則正整數(shù)______16．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交曲線于點(diǎn)，若,求面積18．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且D的離心率為.（1）求C與D的方程；（2）若，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范圍.②試問這直線PA，PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.19．（12分）在對(duì)某老舊小區(qū)污水分流改造時(shí)，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價(jià)為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價(jià)為248元/平方米，池底的建造單價(jià)為80元/平方米，池蓋的建造單價(jià)為100元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費(fèi)以及其他費(fèi)用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)）（1）現(xiàn)有財(cái)政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少萬元？20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).22．（10分）如圖長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長(zhǎng)度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A2、A【解析】直接求出，，進(jìn)而求出漸近線方程.【詳解】中，，，所以漸近線方程為，故.故選：A3、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A.4、A【解析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，然后求解即可【詳解】由，得，解得，所以原不等式的解集為，故選：A5、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因?yàn)椋?，所以，，又，即，，所以離心率故選：C6、D【解析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D7、D【解析】根據(jù)命題的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蚺袛嗾婕俚恼Z句叫作命題，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D8、D【解析】計(jì)算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對(duì)立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計(jì)算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有個(gè)基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t＝12”的概率為，故A錯(cuò)誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對(duì)立事件,如事件m=3,n=5，故B錯(cuò)誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個(gè)基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D9、D【解析】設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】用事件A，B分別表示隨機(jī)選1人為男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，則，且A，B互斥，故故選：D10、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B11、C【解析】結(jié)合遞推關(guān)系式依次求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，得由，?故選：C12、B【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出其執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】由程序框圖的邏輯，執(zhí)行步驟如下：1、：執(zhí)行循環(huán)，，；2、：執(zhí)行循環(huán)，，；3、：執(zhí)行循環(huán)，，；4、：執(zhí)行循環(huán)，，；5、：執(zhí)行循環(huán)，，；6、：不成立，跳出循環(huán).∴輸出的值為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意求得，得到，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和法，即可求解.【詳解】由，可得，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，可得，所以，所?故答案為：.14、4【解析】由已知二項(xiàng)式可得展開式通項(xiàng)為，根據(jù)已知條件有，即可求出值.詳解】由題設(shè)，，∴，則且為正整數(shù)，解得.故答案為：4.15、13【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及可求k.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.16、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，不等式恒成立，只要即可，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理解出直線方程，再求面積【小問1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡(jiǎn)得，曲線的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，所以曲線的方程為【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過的直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，由拋物線的定義可得，解得，即直線的方程為，可得到直線的距離為，，所以的面積為18、（1）C：；D：；（2）①且；②見解析.【解析】（1）根據(jù)D的離心率為，求出從而求出雙曲線的焦點(diǎn)，再由橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，即可求出，即可求出C與D的方程；（2）①根據(jù)題意容易得出，然后聯(lián)立方程，消元，利用即可求出m的取值范圍；②設(shè)，由①得：，計(jì)算出，判斷其是否為定值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)镈的離心率為，即，解得：，所以D的方程為：；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，所以，所以，所以C的方程為：；（2）①如圖：因?yàn)橹本€與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在，所以，聯(lián)立，消化簡(jiǎn)得：，所以，解得，所以且；②設(shè)，由①得：，，所以，故直線PA，PB的斜率之積不是是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓與雙曲線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中跟定直有關(guān)的問題，難度較大.19、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價(jià)直接計(jì)算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費(fèi)用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長(zhǎng)為（米），建造總費(fèi)用為：（元）因?yàn)?，所以如果污水處理池的寬建?米，那么9萬元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費(fèi)用為元，則污水處理池的長(zhǎng)為米.則因?yàn)椋忍?hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以時(shí)建造總費(fèi)用取最小值90000，所以將污水處理池建成長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.20、（1）（2）極小值為，無極大值【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得出答案.【小問1詳解】解：，則，，即切線的斜率為0，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處曲線的切線方程為；小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，函數(shù)的極小值為，無極大值.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)已知條件求出、、的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出關(guān)于、所滿足的等式，然后化簡(jiǎn)直線的方程，即可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：橢圓上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，又橢圓離心率為，故，，因此，橢圓方程為.【小問2詳解】解：設(shè)、，由題意可知且，橢圓的右頂點(diǎn)為，則，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)，所以有，則，即，聯(lián)立，，即，①由韋達(dá)定理得，，所以，，化簡(jiǎn)得，即或，均滿足①式.當(dāng)時(shí)，直線，恒過定點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，恒過定點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.22、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理