湖南省益陽市桃江縣2024屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

湖南省益陽市桃江縣2024屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，且直線始終平分圓的周長，則的最小值是（）A.2 B.C.6 D.162．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.3．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.4．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動點，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.5．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.7．已知為拋物線上一點，點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，則（）A.1 B.C.2 D.38．已知等比數(shù)列中，，，則首項（）A. B.C. D.09．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.10．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）.A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足0，，則數(shù)列的通項公式為____，則數(shù)列的前項和______14．點到直線的距離為________.15．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______16．已知雙曲線的左，右焦點分別為，P是該雙曲線右支上一點，且（O為坐標(biāo)原點），，則雙曲線C的離心率為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.18．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求19．（12分）已知點在橢圓：上，橢圓E的離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若不平行于坐標(biāo)軸且不過原點O的直線l與橢圓E交于B，C兩點，判斷是否可能為等邊三角形，并說明理由.20．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對任意正實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)21．（12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為3，直線與拋物線交于，兩點，為坐標(biāo)原點(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.22．（10分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓C交于P，Q兩點，點M是線段PQ的中點，直線過點M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點為N，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知直線過圓心得，再用均值不等式即可.【詳解】由已知直線過圓心得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.故選:B.2、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C3、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質(zhì)可得，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以；故選：D4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因為平面，所以故△面積的最小值為故選：B5、C【解析】作出輔助線，找到異面直線與所成角，進(jìn)而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長，最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，異面直線與所成角為，由勾股定理得：，，∴故選：C6、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B7、B【解析】先求出點的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的定義和已知條件列方程求解即可【詳解】因為為拋物線上一點，所以，得，所以，拋物線的焦點為，因為點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，所以，化簡得，因為，所以，故選：B8、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列出方程組，即可求得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B9、A【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.10、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C11、B【解析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件，重點考查計算，理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.12、D【解析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別，此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點情況，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】第一空：先構(gòu)造等比數(shù)列求出，即可求出的通項公式；第二空：先求出，令，通過錯位相減求出的前項和為，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，則；第二空：，設(shè)，前項和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.14、【解析】利用點到直線的距離公式即可得出【詳解】利用點到直線的距離可得：故答案為:15、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.16、【解析】由已知及向量數(shù)量積的幾何意義易知，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，再由雙曲線的定義及勾股定理構(gòu)造關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】∵，∴△為等腰三角形且，又，∴，∴．又，，∴，則，可得，∴雙曲線C的離心率為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）①1；②證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）①分離參數(shù)得，令，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可；②由①知：，時取“=”，令，即，最后累加即可.【小問1詳解】由已知條件得，其中的定義域為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】①由恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，∴的最小值為1.②由①知：，時取“=”，令，得，∴，當(dāng)時，.18、（1）（2）【解析】（1）直接利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】是等差數(shù)列，公差；即；【小問2詳解】，則由（1）可知前五項為正，第六項開始為負(fù).19、（1）（2）三角形不可能是等邊三角形，理由見解析【解析】（1）根據(jù)點坐標(biāo)和離心率可得橢圓方程；（2）假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得的中點的坐標(biāo)，，利用得出矛盾.小問1詳解】由點在橢圓上，得，即，又，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，由得，故，所以的中點為，所以，故，與等邊三角形中矛盾，所以假設(shè)不成立，故三角形不可能是等邊三角形.20、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)極值點求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，因為，且在處取得極值，所以，即，得，此時，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時。，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因為對任意正實數(shù)，恒成立，所以，得.【小問2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時取得極大值為，在時取得極小值為，因為當(dāng)大于0趨近于0時，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，所以當(dāng)，即時，有且只有一個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有三個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有一個零點.綜上所述：當(dāng)或時，有且只有一個零點；當(dāng)或時，有且只有兩個零點；當(dāng)時有且只有三個零點.21、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，算出|AB|；利用點到直線的距離公式算出點O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且過一點P（2，m），可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點的距離為3，即有P到準(zhǔn)線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；（2）聯(lián)立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設(shè)交點為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點睛】本題考查