湖南省衡陽八中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

湖南省衡陽八中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.42．圓與的公共弦長為（）A. B.C. D.3．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或4．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p（0＜p＜1）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為f（p），當(dāng)p=p0時，f（p）最大，則p0=（）A. B.C. D.5．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.6．如圖，是對某位同學(xué)一學(xué)期次體育測試成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計得到的散點圖，關(guān)于這位同學(xué)的成績分析，下列結(jié)論錯誤的是（）A.該同學(xué)的體育測試成績總的趨勢是在逐步提高，且次測試成績的極差超過分B.該同學(xué)次測試成績的眾數(shù)是分C.該同學(xué)次測試成績的中位數(shù)是分D.該同學(xué)次測試成績與測試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)7．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.8．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.109．在中，已知角A，B，C所對邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.110．已知雙曲線，點F為其左焦點，點B，若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-212．若數(shù)列等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是______________14．定義在上的函數(shù)滿足，且對任意都有，則不等式的解集為__________.15．已知定點，點在直線上運動，則，兩點的最短距離為________16．已知拋物線C：，經(jīng)過點P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且點P恰為AB的中點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19．（12分）已知關(guān)于的不等式（1）若不等式的解集為，求的值（2）若不等式的解集為，求的取值范圍20．（12分）已知橢圓C對稱中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且，兩點（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M、N分別為橢圓與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸的交點，P為橢圓上在第一象限內(nèi)一點，直線PM與y軸交于點S，直線PN與x軸交于點T，求證：四邊形MSTN的面積為定值21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀22．（10分）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用向量方法證明：已知直線l，a和平面，，，，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計算即可【詳解】因為，所以.故選：A2、D【解析】已知兩圓方程，可先讓兩圓方程作差，得到其公共弦的方程，然后再計算圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理即可完成弦長的求解.【詳解】已知圓，圓，兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，而圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以，所以.故選：D.3、C【解析】分類討論:當(dāng)兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當(dāng)兩圓外切時，有，此時.②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有，此時.綜上，當(dāng)時兩圓外切；當(dāng)時兩圓內(nèi)切.故選：C【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】解設(shè)事件A為：檢測了5人確定為“感染高危戶”，設(shè)事件B為：檢測了6人確定為“感染高危戶”，則，再利用基本不等式法求解.【詳解】解：設(shè)事件A為：檢測了5人確定為“感染高危戶”，設(shè)事件B為：檢測了6人確定為“感染高危戶”，則，，所以，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，故選：A5、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結(jié)合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.6、C【解析】根據(jù)給定的散點圖，逐一分析各個選項即可判斷作答.【詳解】對于A，由散點圖知，8次測試成績總體是依次增大，極差為，A正確；對于B，散點圖中8個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48，B正確；對于C，散點圖中的8個數(shù)由小到大排列，最中間兩個數(shù)都是48，則次測試成績的中位數(shù)是分，C不正確；對于D，散點圖中8個點落在某條斜向上的直線附近，則次測試成績與測試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)，D正確.故選：C7、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】由已知設(shè)雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A9、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.10、C【解析】設(shè)出雙曲線半焦距c，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合垂直關(guān)系列式計算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，直線BF的斜率為，雙曲線的漸近線為：，因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C11、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D12、B【解析】令、可得等差數(shù)列的首項和第三項，即可求出第五項，從而求出.【詳解】令得，令得，所以數(shù)列的公差為，所以，解得，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，可得．設(shè)，由點M到直線l的距離不小于，即有，解得．再利用離心率計算公式即可得出范圍【詳解】設(shè)左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設(shè)，則，故，從而，，，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是【點睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題14、【解析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：15、【解析】線段最短，就是說的距離最小，此時直線和直線垂直，可先求的斜率，再求直線的方程，然后與直線聯(lián)立求交點即可【詳解】定點，點在直線上運動，當(dāng)線段最短時，就是直線和直線垂直，的方程為：，它與聯(lián)立解得，所以的坐標(biāo)是，所以，故答案為：16、9【解析】過A、、作準(zhǔn)線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，如圖，過點A作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，由拋物線的定義可得，再根據(jù)為線段的中點，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：9.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因為直線的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.18、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為為的中點，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因為，，為的中點，所以，，而，因為，所以，而平面，所以平面；【小問2詳解】根據(jù)（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，于是有：，則平面的法向量為：，設(shè)平面的法向量為：，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為，得到和1是方程的兩個實數(shù)根，再利用韋達(dá)定理求解.（2）根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為．又因為，利用判別式法求解.【詳解】（1）因為關(guān)于的不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，得（2）因為關(guān)于的不等式的解集為因為所以，解得，故的取值范圍為【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解集和恒成立問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，利用待定系數(shù)法求得的值，即可得出答案；（2）設(shè)，，，易得，分別求出直線PM和直線PN的方程，從而可求出的坐標(biāo)，再根據(jù)即可得出答案.【小問1詳解】解：依題意設(shè)橢圓方程為，將，代入得，解得得，，∴所求橢圓方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)，，，，P點坐標(biāo)滿足，即，直線PM：，可得，直線PN：，可得，.21、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得