湖南省2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

湖南省2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共個(gè)，從中隨機(jī)取出個(gè)，若是肉餡包子的概率為，不是豆沙餡包子的概率為，則素餡包子的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.2．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，3．點(diǎn)分別為橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓與兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.32 B.16C.8 D.44．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.5．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（）A.10 B.C.5 D.6．已知矩形，，，沿對(duì)角線將折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為（）A. B.C. D.7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.8．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點(diǎn)，BE，DH的交點(diǎn)為G，則的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A. B.C. D.9．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離10．設(shè),,,則,,大小關(guān)系為A. B.C. D.11．在中國(guó)，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為（）A. B.C. D.12．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．必然事件的概率是________.14．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，則的周長(zhǎng)取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則___________.16．已知三棱錐中，平面BCD，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）經(jīng)觀測(cè)，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).試求y關(guān)于x回歸方程.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.18．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）求的極大值19．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大?。唬?）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積20．（12分）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線l是的外角平分線，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（1）求的值；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.22．（10分）已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M（）（1）求圓C的方程；（2）已知點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)P到直線的距離的最小值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】計(jì)算出肉餡包子和豆沙餡包子的個(gè)數(shù)，即可求得素餡包子的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知，肉餡包子的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出個(gè)，不是豆沙餡包子的概率為，則該包子是豆沙餡包子的概率為，所以，豆沙餡包子的個(gè)數(shù)為，因此，素餡包子的個(gè)數(shù)為.故選：C.2、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計(jì)算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則,，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】由題意結(jié)合橢圓的定義可得，而的周長(zhǎng)等于，從而可得答案【詳解】解：由得，由題意得，所以的周長(zhǎng)等于，故選：B4、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D5、B【解析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線與直線垂直，可得，解得.故選：B.6、C【解析】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理求出，證明出，再利用勾股定理可求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因?yàn)?，，，則，因?yàn)?，由等面積法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，故四邊形為矩形，所以，，因?yàn)?，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，，，，則，，因?yàn)?，平面，平面，則，，由勾股定理可得.故選：C.7、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A8、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運(yùn)算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點(diǎn)，，，故選：D9、A【解析】先計(jì)算兩圓心之間的距離，判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，兩圓心之間的距離，故兩圓內(nèi)切.故選：A.10、C【解析】由,可得,,故選C.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)11、C【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長(zhǎng)的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為，則.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為故選：C12、D【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】直接由必然事件的定義求解【詳解】因?yàn)楸厝皇录且欢ㄒl(fā)生的，所以必然事件的概率是1，故答案為：114、【解析】作點(diǎn)分別關(guān)于直線和的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性即可求出三角形周長(zhǎng)的最小值，利用三點(diǎn)共線求出的坐標(biāo).【詳解】如圖所示：定點(diǎn)關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)與直線和的交點(diǎn)分別為時(shí)，此時(shí)的周長(zhǎng)取最小值，且最小值為此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，即點(diǎn).故答案為：.15、36【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：16、【解析】由題意可知三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，進(jìn)而求出三棱柱的外接球的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，故，又因?yàn)槠矫鍮CD，因此三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，如圖：取的中點(diǎn)，則為外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，則為外接圓的圓心，則的中點(diǎn)即為外接球的球心，因此，,因此，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，即可判斷；(2)令，利用最小二乘法即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程.【小問1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型；【小問2詳解】令，則，；，∴；∴y關(guān)于x的回歸方程為.18、（1）-3（2）2【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以；【小問2詳解】令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值.19、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關(guān)系可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)求其大小即可.（2）由（1）及題設(shè)有，應(yīng)用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個(gè)內(nèi)角，則，所以或；【小問2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負(fù)值），則∴20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進(jìn)一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長(zhǎng)，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問1詳解】由題意可知：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題意可知，，,①當(dāng)過(guò)的直線與軸垂直時(shí)，，,②當(dāng)過(guò)的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長(zhǎng)公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)?，令，原式變?yōu)楫?dāng)時(shí)，故，由①②可知.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時(shí)的三角形的面積問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計(jì)算三角形面積時(shí)要理清運(yùn)算的思路，準(zhǔn)確計(jì)算.21、（1）（2）證明見解析，（3,0）（3）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值；（2）首先設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，坐標(biāo)，令，可得直線過(guò)點(diǎn)，再證明當(dāng)，，，三點(diǎn)共線即可；（3）設(shè)出的直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理找出根的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出最小值即可.【小問1詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，故，即，；小問2詳解】由（1）知，拋物線的方程為，設(shè)，，，，由題意，直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，令得，此時(shí)，故直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以，，，三點(diǎn)共線，所以直線過(guò)定點(diǎn).【小問3詳解】設(shè)，由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，，，故，當(dāng)即直線垂直軸時(shí)，取得最小值.22、（1）（2）【解析】（1）由圓C的圓心在坐標(biāo)